数学归纳法证明完整版本.ppt

2 3数学归纳法 1 问题1 如何证明粉笔盒中的粉笔它们都是白色的 问题2 有限步骤 考察对象无限 多米诺骨牌课件演示 多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法 1 第一块骨牌倒下 2 若第k块倒下时 则相邻的第k 1块也倒下 根据 1 和 2 可知不论有多少块骨牌 都能全部倒下 1 当n 1时猜想成立 2 若当n k时猜想成立 即 则当n k 1时猜想也成立 即 根据 1 和 2 可知对任意的正整数n 猜想都成立 已知数列 根据 1 2 可知对任意正整数n猜想都成立 证明 例 证明凸n边形内角和为中 初始值应该从几取 初始值应取3 例如 用数学归纳法证明1 3 5 2n 1 例如 用数学归纳法证明1 3 5 2n 1 证明 假设n k时等式成立 即 那么 即n k 1时等式成立 所以等式对一切正整数n均成立 证明 假设n k时等式成立 即 例如 用数学归纳法证明1 3 5 2n 1 当n k 1时 代入得 证明 1 当 左边 1 右边 12 1 等式成立 2 假设当n k时成立 即 所以等式也成立 综合 1 2 等式对一切正整数n均成立 例如 用数学归纳法证明1 3 5 2n 1 1 3 5 2k 1 2k 1 k2 2k 1 k 1 2 问题情境一 练习 某个命题当n k k N 时成立 可证得当n k 1时也成立 现在已知当n 5时该命题不成立 那么可推得 A n 6时该命题不成立B n 6时该命题成立C n 4时该命题不成立D n 4时该命题成立 C 练习巩固 1 用数学归纳法证明 在验证n 1成立时 左边计算所得的结果是 A 1B C D C 例1 用数学归纳法证明 1 2 2 3 3 4 n n 1 练习 用数学归纳法证明 1 2 2 3 3 4 n n 1 课堂小结 1 数学归纳法能够解决哪一类问题 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2 数学归纳法证明命题的步骤是什么 两个步骤和一个结论 缺一不可3 数学归纳法证明命题的关键在哪里 关键在第二步 即归纳假设要用到 解题目标要明确4 数学归纳法体现的核心思想是什么 递推思想 运用 有限 的手段 来解决 无限 的问题注意类比思想的运用 用数学归纳法证明 如果 an 是一个等差数列 则an a1 n 1 d对于一切n N 都成立 证明 1 当n 1时 左边 a1 右边 a1 1 1 d a1 当n 1时 结论成立 2 假设当n k时结论成立 即ak a1 k 1 d 当n k 1时 结论也成立 由 1 和 2 知 等式对于任何n N 都成立 证 1 当n 2时 左边 不等式成立 2 假设当n k k 2 时不等式成立 即有 则当n k 1时 我们有 即当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 原不等式对一切都成立 例2 用数学归纳法证明 4 在证明n k 1命题成立用到n k命题成立时 要分析命题的结构特点 分析 n k 1时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清右端应增加的项 例如 利用数学归纳法证明不等式由k递推到k 1左边应添加的因式是 作业 1 教材P96A组1 1 3 2 查阅资料皮亚诺公理 数学归纳法的理论根据