快速傅里叶变换及其应用实验文档及程序

试验二 快速傅里叶变换及其应用 一 试验目的 1 在理论学习的基础上 加深对FFT的理解 熟悉matlab中的有关函数 2 应用FFT对典型 信号进行频谱分析 3 了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题 4 应用FFT实现序列的线性卷积和相关 二 实验内容 1 观察高斯序列的时域和幅频特性 固定信号xa n 中参数p 8 改变q的值使q分别等于 2 4 8 观察他们的时域和幅频特性 了解当q取不同值时 对信号序列的时域和幅频特性的 影响 固定q 8 改变p 使p分别等于8 13 14 观察参数p变化对信号序列的时域和幅频特性 的影响 注意p等于多少时会发生明显的泄漏现象 混叠是否也随之出现 记录实验中观察到 的现象 绘出相应的时域序列和幅频特性曲线 1 固定p 8 使q 2和4的时域和频域图 n 0 15 x exp 16 n n 2 64 2 subplot 2 2 1 plot n x o title 时域特性 xlabel n ylabel y n y abs fft x subplot 2 2 2 stem n y o xlabel k ylabel y k title 幅频特性 x exp 16 n n 2 64 4 subplot 2 2 3 plot n x o title 时域特性 xlabel n ylabel y n y abs fft x subplot 2 2 4 stem n y o xlabel k ylabel y k title 幅频特性 使q 8的时域和频域图 n 0 15 x exp 16 n n 2 64 8 plot n x o title 时域特性 xlabel n ylabel y n y abs fft x stem n y o xlabel k ylabel y k title 幅频特性 2 固定q 8 使q 8和13的时域和频域图 n 0 15 x exp 16 n n 2 64 8 subplot 2 2 1 plot n x o title 时域特性 xlabel n ylabel y n y abs fft x subplot 2 2 2 stem n y o xlabel k ylabel y k title 幅频特性 x exp 26 n n 2 169 8 subplot 2 2 3 plot n x o title 时域特性 xlabel n ylabel y n y abs fft x subplot 2 2 4 stem n y o xlabel k ylabel y k title 幅频特性 使p 14的时域和频域图 x exp 28 n n 2 196 8 plot n x o title 时域特性 xlabel n ylabel y n y abs fft x stem n y o xlabel k ylabel y k title 幅频特性 实验结果分析 由图形可知 当固定 p q 取不同值时 随着 q 的增大 其相对应的时域幅值会增大 而且容易看出 它们的时域图关于 n 8 对称 随着 q 值的增大 q 分别等于 2 4 8 时 同一个 n 点所对应的幅度逐渐减小 幅度等于 或近似等于零的点逐渐增多 这是由于 q 值的增大 导致时域中的幅值略微增大 但通过 DFT 变换之后将这种变化放大 使得其在幅频特性中 q 的影响变大了 时域的乘积对应频 域的卷积 所以 加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积 卷积的结果 使频谱延伸到了主瓣以外 且一直延伸到无穷 可知 其 p 值固定不变时 q 值越小越容易发生泄漏现象 反之 q 值越大 越接近 其真实图形 当 p 13 时 x n 被截断 出现了明显的泄漏 边缘幅度与 x1 k 不同 因而 带有混叠现象 2观察衰减正弦序列 xb n 的时域和幅频特性 a 0 1 f 0 0625 检查谱峰出现位置是否正 确 注意频谱的形状 绘出幅频特性曲线 改变 f 使 f 分别等于 0 4375 和 0 5625 观 察这两种情况下 频谱的形状和谱峰出现位置 有无混叠和泄露现象 说明产生现象的原 因 f 0 0625的程序 n 0 15 a 0 1 f 0 0625 x exp a n sin 2 pi f n plot n x o title 时域特性 xlabel n ylabel y n y abs fft x stem n y o xlabel k ylabel y k title 幅频特性 f 0 4375的程序 n 0 15 a 0 1 f 0 4375 x exp a n sin 2 pi f n plot n x o title 时域特性 xlabel n ylabel y n y abs fft x stem n y o xlabel k ylabel y k title 幅频特性 f 0 5625的程序 n 0 15 a 0 1 f 0 5625 x exp a n sin 2 pi f n plot n x o title 时域特性 xlabel n ylabel y n y abs fft x stem n y o xlabel k ylabel y k title 幅频特性 实验结果分析 由以上实验所得的图形可知 当 a 0 1 f 0 0625 时吗 频谱主瓣较宽 呈现主瓣中间较 为平缓 两侧较高的想象 采样频率 f 太小 导致谱峰出现的位置不正确 当 a 0 1 f 分别 等于 0 4375 0 5625 时 随着采样频率 f 的增大 频谱主瓣越来越窄 频谱中间较大 两侧 较小 谱峰出现在 w 7 和 9 附近 混叠和泄漏现象相对减轻 且当 f 0 5625 时产生混叠现象 因为其 f 0 5 不满足奈奎斯特采样定理 3 观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性 用N 8点FFT分析信号序列xc n 和xd n 的 幅频特性 观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同 绘出两序列及其幅频特性曲线 在 xc n 和xd n 末尾补零 用N 32点FFT分析这两个观察幅频特性发生了什么变化 两种情况下 的FFT频谱还有相同之处吗 这些变化说明了什么 n2 0 0 0 0 4 5 6 7 A 0 0 0 0 8 8 8 8 x1 zeros 1 8 n n1 n2 x1 1 4 n 1 4 x1 5 8 A 5 8 n 5 8 subplot 2 2 1 plot n x1 grid set gca xtick n xlabel n ylabel xc n title 三角波序列时域 xk1 abs fft x1 subplot 2 2 2 stem n xk1 grid set gca xtick n xlabel k ylabel 幅度 title 幅度特性 B 4 4 4 4 4 4 4 4 x2 zeros 1 8 n n1 n2 x2 1 4 B 1 4 n 1 4 x2 5 8 n 5 8 B 5 8 subplot 2 2 3 plot n x2 grid set gca xtick n xlabel n ylabel xd n title 反三角波序列时域 xk2 abs fft x2 subplot 2 2 4 stem n xk1 grid set gca xtick n xlabel k ylabel 幅度 title 幅度特性 01234567 0 1 2 3 4 n xc n 01234567 0 5 10 15 20 k 01234567 0 1 2 3 4 n xd n 01234567 0 5 10 15 20 k 实验结果分析 由实验所得的图形知 的时域序列在 n 4 时取得最大值 两侧依次减小 且呈现 nxc 对称趋势 而序列则相反 在 n 4 时 取得最小值 两侧依次增大 且呈现对称趋势 nxd 和的幅频特性曲线基本相同 nxc nxd n1 0 1 2 3 0 0 0 0 n2 0 0 0 0 4 5 6 7 A 0 0 0 0 8 8 8 8 x1 zeros 1 8 n n1 n2 x1 1 4 n 1 4 x1 5 8 A 5 8 n 5 8 subplot 2 2 1 plot n x1 grid set gca xtick n xlabel n ylabel xc n title 三角波序列时域 N 8 xk1 abs fft x1 subplot 2 2 2 stem n xk1 grid set gca xtick n xlabel k ylabel 幅度 title 幅度特性 B 4 4 4 4 4 4 4 4 x2 zeros 1 8 n n1 n2 x2 1 4 B 1 4 n 1 4 x2 5 8 n 5 8 B 5 8 subplot 2 2 3 plot n x2 grid set gca xtick n xlabel n ylabel xd n title 反三角波序列时域 N 8 xk2 abs fft x2 subplot 2 2 4 stem n xk1 grid set gca xtick n xlabel k ylabel 幅度 title 幅度特性 n1 0 1 2 3 0 0 0 0 01234567 0 1 2 3 4 n xc n 01234567 0 5 10 15 20 k 01234567 0 1 2 3 4 n xd n 01234567 0 5 10 15 20 k 实验结果分析 由实验所得的图形知 N 32 点时和的幅频特性都更加密集 使得 栅栏效 nxc nxd 应 减小 而对于来说变化更加明显 N 32 时 认为的再之后补零 从而变动 nxd nxd 了 DFT 的点数 人为的改变了对真实频谱采样的点数和位置 相当于搬动了 尖桩栅栏 的 位置 从而使得频谱的峰点和谷点暴露出来 频谱线变密 N 32 时 和的频谱 nxc nxd 差别较大 但总体趋势仍然都是中间出现最小 两侧呈现对称趋势 4 一个连续信号含两个频率分量 经采样得 sin 20 125 cos 2 0 125f x nnn AA n 0 1 N 1 已知N 16 分别为1 16 1 64 观察其频谱 当N 128时不变 其结果有何 f f 不同 为什么 n 0 1 15 x1 sin 2 pi 0 125 n cos 2 pi 0 125 1 16 n subplot 2 2 1 plot n x1 xlabel t T f 1 16 N 15 ylabel x n title 时域特性 xk1 abs fft x1 subplot 2 2 2 stem n xk1 xlabel k ylabel X k title 频域特性 x2 sin 2 pi 0 125 n cos 2 pi 0 125 1 64 n subplot 2 2 3 plot n x2 xlabel t T f 1 64 N 15 ylabel x n title 时域特性 xk2 abs fft x2 subplot 2 2 4 stem n xk2 xlabel k ylabel X k title 频域特性 051015 2 1 0 1 2 t T f 1 16 N 15 x n 051015 0 2 4 6 8 k X k 051015 1 0 1 2 t T f 1 64 N 15 x n 051015 0 2 4 6 8 k X k n 0 1 127 x1 sin 2 pi 0 125 n cos 2 pi 0 125 1 16 n subplot 2 2 1 plot n x1 xlabel t T f 1 16 N 15 ylabel x n title 时域特性 xk1 abs fft x1 subplot 2 2 2 stem n xk1 xlabel k ylabel X k title 频域特性 x2 sin 2 pi 0 125 n cos 2 pi 0 125 1 64 n subplot 2 2 3 plot n x2 xlabel t T f 1 64 N 15 ylabel x n title 时域特性 xk2 abs fft x2 subplot 2 2 4 stem n xk2 xlabel k ylabel X k title 频域特性 050100150 2 1 0 1 2 t T f 1 16 N 15 x n 050100150 0 20 40 60 80 k X k 050100150 2 1 0 1 2 t T f 1 64 N 15 x n 050100150 0 20 40 60 80 k X k 实验结果分析 由以上实验所得的实验图形知 N 16 时 由 x1 jw 和 x2 jw 比较可以看出 越小 其每个 f 相同的点所对应的幅度值越小 可以观察到两个明显的谱峰 当 N 64 时 出现了多个谱峰 其中两个谱峰较为明显 当 N 128 时 由 x3 jw 和 x4 jw 看出 两序列的 FFT 频谱只能观测到 两个谱峰 截取长度增加 谱线变的非常密集 频谱更接近真实值 泄漏和混叠现象变小 栅 栏效应也相应变小 频谱的分辨率随之提高 5 用 FFT 分别计算和的 16 点循环卷积和线性卷积 循环相关和线性相关 n1 0 1 15 p1 8 q1 2 x exp n1 p1 2 q1 n2 0 1 15 a 0 1 f2 0 0625 y exp a n2 sin 2 pi f2 n2 N length x n 0 N 1 n3 0 30 X