函数的单调性和最大小值.ppt

1 3 1单调性与最大 小 值 函数的单调性 一 引入课题观察下列各个函数的图象 并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律 y x 1 1 1 y 问 随x的增大 y的值有什么变化 1 画出下列函数的图象 观察其变化规律 1 f x x 从左至右图象上升还是下降 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 2 f x 2x 1 从左至右图象上升还是下降 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 上升 增大 下降 减小 3 f x x2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 0 减小 0 增大 对区间D内x1 x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 图象在区间D逐渐上升 O 对区间D内x1 x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 x1 x2 D f x1 f x2 O M N 任意 区间D内随着x的增大 y也增大 图象在区间D逐渐上升 对区间D内x1 x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 x1 x2 都 f x1 f x2 O 设函数y f x 的定义域为I 区间DI 如果对于区间D上的任意 定义 M N 任意 两个自变量的值x1 x2 区间D内随着x的增大 y也增大 图象在区间D逐渐上升 D 那么就说在f x 这个区间上是单调减函数 D称为f x 的单调减区间 类比单调增函数的研究方法定义单调减函数 x 设函数y f x 的定义域为I 区间DI 如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 设函数y f x 的定义域为I 区间DI 如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 那么就说在f x 这个区间上是单调增函数 D称为f x 的单调区间 增 当x1 x2时 都有f x1 f x2 单调区间 注意 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1 x2 函数的单调性是相对某个区间而言 不能直接说某函数是增函数或减函数 下列说法是否正确 请画图说明理由 3 如果对于区间 0 上的任意x有f x f 0 则函数在区间 0 上单调递增 1 对于区间 a b 上得某3个自变量的x1 x2 x3 当a x1 x2 x3 b时 有f a f x1 f x2 f x3 f b 则函数f x 在区间 a b 上单调递增 2 对于区间 a b 上有无数个自变量的x1 x2 x3 xn 当a x1 x2 xn b时 有f a f x1 f x2 f xn f b 则函数f x 在区间 a b 上单调递增 2 单调性与单调区间如果函数y f x 在某个区间D上是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间D叫做y f x 的单调区间 1 这个单调区间可以是整个定义域如y x在定义域上是增函数 y x是减函数 2 这个单调区间也可以是定义域的真子集如y x2在定义域上没有单调性 但在 0 是减函数 在 0 是增函数 3 有的函数没有单调性区间 例1 下图是定义在 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象说出y f x 的单调区间 以及在每一单调区间上 y f x 是增函数还是减函数 二 典型例题 书写单调区间时 注意区间端点的写法 对于某一个点而言 由于它的函数值是一个确定的常数 无单调性可言 因此在写单调区间时 可以包括端点 也可以不包括端点 但对于某些不在定义域内的区间端点 书写时就必须去掉端点 单调区间之间必须用 隔开 或者用 和 连接 但千万不能用 连接 也不能用 或 且 连接 例2 指出下列函数的单调区间 无单调减区间 归纳 函数的单调性 k 0 k 0 归纳 函数的单调性 例2 指出下列函数的单调区间 思考2 函数的单调区间呢 思考1 函数的单调区间呢 解 的对称轴为 练习 判断函数的单调区间 单调递增区间 单调递减区间 成果运用 若二次函数在区间上单调递增 求a的取值范围 解 二次函数的对称轴为 由图象可知只要 即即可 若二次函数的单调增区间是 则a的取值情况是 变式1 变式2 请你说出一个单调减区间是的二次函数 变式3 请你说出一个在上单调递减的函数 A B C D 讨论函数在 2 2 内的单调性 变式4 解 f x 的开头方向向上 对称轴是x a 1 当a 2时 f x 在 2 2 单调递增 2 当 2 a 2时 f x 在 2 2 没有单调性 但是f x 在 2 a 单调递减 在 a 2 单调递增 3 当a 2时 f x 在 2 2 单调递减 变式5 讨论函数f x x2 2x 3在区间 a a 3 上的单调性 例3 指出下列函数的单调区间 思考1 思考2 函数的单调区间是什么 的单调增区间是 归纳 在和上的单调性 没有单调增区间 的单调区间 证明 函数f x 1 x在 0 上是减函数 证明 设x1 x2是 0 上任意两个实数 且x1 x2 则 f x1 f x2 由于x1 x2得x1x2 0 又由x10所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 因此f x 1 x在 0 上是减函数 取值 定号 变形 作差 下结论 3 证明函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f x 在给定的区间D上的单调性的一般步骤 任取x1 x2 D 且x1 x2 作差f x1 f x2 变形 通常是因式分解和配方 定号 即判断差f x1 f x2 的正负 下结论 即指出函数f x 在给定的区间D上的单调性 例4 物理学中的玻意耳定律告诉我们 对于一定量的气体 当其体积V减小时 压强p将增大 试用函数的单调性证明之 证明 根据单调性的定义 设V1 V2是定义域 0 上的任意两个实数 且V1 V2 则 由V1 V2 0 得V1V2 0 由V10 又k 0 于是 所以 函数是减函数 也就是说 当体积V减少时 压强p将增大 取值 定号 结论 判断函数在区间 0 1 上的单调性 解 设 则f x1 f x2 0 x1 x2 1 1 x1x2 0 x2 x1 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故此函数在 0 1 上是减函数 4 判断函数f x x3 1在 上是增函数还是减函数 并用定义证明你的结论 所以f x 在 0 上是减函数 例 已知函数f x 是定义在 上的单调增函数 解不等式f 2x f 1 x 例5 变式 例 已知函数f x 是定义在 1 1 上的单调增函数 解不等式f 2x f 1 x 练习 1 已知函数f x 是定义在 1 2 上的增函数 若f a 1 f 1 3a 求实数a的取值范围 是定义在R上的单调函数 且的图象过点A 0 2 和B 3 0 1 解不等式 2 求适合的的取值范围 变式 思考与讨论 f x 和g x 都是区间D上的单调函数 那么f x 和g x 四则运算后在该区间D内还具备单调性吗 情况如何 你能证明吗 能举例吗 1 若f x 为增函数 g x 为增函数 则F x f x g x 为增函数 2 若f x 为减函数 g x 为减函数 则F x f x g x 为减函数 3 若f x 为增函数 g x 为减函数 则F x f x g x 为增函数 4 若f x 为减函数 g x 为增函数 则F x f x g x 为减函数 1 已知函数f x 的定义域为R 且对任意 都有f a b f a f b 且当x 0时 f x 0恒成立 证明 函数f x 是R上的减函数 证明抽象函数的单调性 三 归纳小结1 函数的单调性的判定 证明和单调区间的确定 函数的单调性一般是先根据图象判断 再利用定义证明 画函数图象通常借助计算机 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域 单调性的证明一般分五步 取值 作差 变形 定号 下结论2 直接利用初等函数的单调区间 区间是 提高性练习 1 3 1单调性与最大 小 值 函数的最大 小 值 下列两个函数的图象 观察 f x M 0 1 2 存在0 使得 0 1 1 对任意的都有 x 1 1是此函数的最大值 知识要点 M是函数y f x 的最大值 maximumvalue 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的x I 都有f x M 2 存在 使得 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果实数M满足 1 对于任意的的x I 都有f x M 2 存在 使得 那么我们称M是函数y f x 的最小值 minimunvalue 2 函数最大 小 值应该是所有函数值中最大 小 的 即对于任意的x I 都有f x M f x M 注意 1 函数最大 小 值首先应该是某一个函数值 即存在x0 I 使得f x0 M 3 最大值和最小值统称为最值 判断以下说法是否正确 2 设函数f x 1 x2 则f x 2成立吗 f x 的最大值是2吗 为什么 如果函数f x 的最大值是b 最小值是a 那么函数f x 的值域是 a b 吗 函数f x 在定义域中既有最大值又有最小值 如果在函数f x 定义域内存在x1和x2 使对定义域内任意x都有成立 由此你能得到什么结论 思考1 思考2 探究 函数单调性与函数的最值的关系 1 若函数y f x 在区间 m n m n 上单调递增 则函数y f x 的最值是什么 O x y 当x m时 f x 有最小值f m 当x n时 f x 有最大值f n 2 若函数y f x 在区间 m n 上单调递减 则函数y f x 的最值是什么 O x y 当x m时 f x 有最大值f m 当x n时 f x 有最小值f n 3 若函数则函数y f x 在区间 m n 上的最值是什么 O x y 最大值f l h 有最小值f m f n 中较小者 例3 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂 如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为 h t 4 9t2 14 7t 18 那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少 精确到1m 解 作出函数h t 4 9t2 14 7t 18的图象 如图 显然 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻 纵坐标就是这时距地面的高度 由于二次函数的知识 对于h t 4 9t2 14 7t 18 我们有 于是 烟花冲出后1 5秒是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度为29m 例3求函数在区间 2 6 上的最大值和最小值 解 设x1 x2是区间 2 6 上的任意两个实数 且x1 x2 则 由于20 x1 1 x2 1 0 于是 所以 函数是区间 2 6 上的减函数 因此 函数在区间 2 6 上的两个端点上分别取得最大值和最小值 即在点x 2时取最大值 最大值是2 在x 6时取最小值 最小值为0 4 二 判断函数的最大 小 值的方法 1 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 2 利用图象求函数的最大 小 值 3 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递增 则函数y f x 在x a处有最小值f a 在x b处有最大值f b 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增则函数y f x 在x b处有最小值f b 例3写出函数的单调区间 并求出最值 例4已知二次函数 1 当时 求的最值 2 当时 求的最值 例5已知函数f x x2 2ax 1 1 当a 1时 求f x 在区间 2 4 上的最值 2 求f x 在区间 0 2 上的最小