第三章中值定理与导数的应用学习指导

1 第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 一 知识脉络 理定 值中 分微 2 1 麦克劳林公式泰勒公式 柯西定理 推论 推论 拉格朗日定理 罗尔定理 求方程的近似解 渐屈与渐伸线 曲率和曲率半径 弧微分 其它应用 函数作图 求凹凸区间与拐点 凹凸性判别 定义 凹凸性与拐点 求单调区间 单调性判定 定义 单调性 函数性态 题最大值与最小值应用问极值的应用 极值点的判定 件函数取得极值的必要条 定义 概念 函数极值 型 型 洛必达法则 导数应用 0 0 拉格朗日定 理 罗尔定理柯西定理 泰勒公式 推广推广 推 广 特殊 bfaf 特殊 xxg 特殊0 n 2 二 重点与难点 1 重点 拉格朗日中值定理 函数增调区间 函数的凹凸区间 求函数的 极值 求具体问题的最大最小值 2 难点 柯西定理 泰勒展式 不等式证明 函数作图 三 问题与分析 1 学习洛尔定理 拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题 洛尔定理是一个函数满足 3 条 拉格朗日定理一个函数满足 2 条 柯 西定理是两个函数满足 2 条 才有相应结论 定理的条件是充分的 但不是必要的 三个定理都是存在性定理 只肯定了有存在 而未指出如何确定该 点 2 学习罗必塔法则应注意问题 罗必塔法则仅仅用于型和型未定式 0 0 如果不存在 不包括 不能断言不存在 只能说 xg xf lim xg xf lim 明罗必塔法则在此失效 应采用其它方法求极限 也叫未定型 必须转化为型或型之 0 0 0 1 0 0 0 后 方可用罗必塔法则求极限 思路 型转化为或型 0 1 0 1 0 可通分转化为型或型 0 0 型转化为 其中指数是型 0 0 0ln00ln 0 ee 0 型转化为 其中数是 1 1ln1ln ee0 型转化为 其中指数是型 0 ln0ln 0 ee 0 罗必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用 有时要连续用几次洛必塔法则 每一次都要验证是否是型或型 0 0 3 学习函数单调性应注意的问题 如果在某个区间内只有有限个点处等于零 在其它点处均为正 x f 3 或负 时 则函数在该区间内仍为单调增加 或单调减少 xf 求单调区间的步骤 先令 求出驻点与不可导点 这样的点 0 x f 将定义域分成了几个区间 再在每个区间内验证的符号 若为正 x f 则单增 若为负 则单减 4 学习函数极值应注意的问题 函数极值是一个局部性的概念 它只与极值点邻近的所有点的函数值 相比较是大还是小 并不是说它在定义区间上是最大或最小 因此一 个函数可能存在其极大值小于极小值的情形 求函数极值的步骤 先求的解以及不存在的点 这些点 0 x f x f 是可疑的极值点 其次 可疑极值点将的定义域分成了几个区间 xf 在每个区间考察的符号 最后确定极值点 x f 极值点与极值是两个不同的概念 5 学习函数最值应注意的问题 极值点是函数在一点附近函数值的大小比较 是局部性质 而最大值 最小值是在区间上的性质 ba 最值在区间的端点和极值点上产生 所以确定最大值最小值的步骤为 首先求出定义域 然后求出 求出可疑点 最后比较可疑点的函 x f 数值与边界处的函数值 6 学习凹凸性应注意的问题 用一阶导数确定单调区间 用二阶导数确定凹凸区间及拐点 确定拐 点时不但需要 而且还要在该点的左右变号 0 x f 拐点一定是坐标形式的点 拐点的表达与极值点的表达不同 xfx 拐点是曲线上的某一点 7 学习渐近线应注意的问题 函数的图形不一定有渐近线 渐近线分为水平渐近线 垂直渐近线和斜渐近线 8 学习泰勒展开式应注意的问题 4 麦克劳林展开是特殊的泰勒展式 用关于的次多项式近似表示函数时 一定有一个余项 0 xx n xf 该余项即误差一定是的高阶无穷小量 n xx 0 应该熟记一些常用的泰勒展式 9 证明不等式的方法有 利用单调性 利用中值定理 关键在于构造一个函数 这就需要分析不等式的特点 xf 10 求具体问题最值的步骤 分析问题 明确求哪个量的最值 写出函数关系式 确定函数关系常常要用几何 物理 化学 经济学 等方面的知识 函数关系式列出后 依具体情况要写出定义域 由函数式求驻点 并判断是否为极值点 根据具体问题 判别该极值点是否为最值点 一般如果函数在连 ba 续 且只求得唯一的极值点 则这个极值点就是所求的最值点 最后写出最值 四 解题格式 例 1 函数在区间上是否满足罗尔定理的条件 如 32 2 xxxf 2 3 1 满足求出定理中的 解 因是多项式 故满足 xf xf 在上连续 2 3 1 在内可导 且 2 3 1 14 xxf 0 2 3 1 ff 所以在上满足罗尔 xf 2 3 1 定理条件 5 令得 0 f 4 1 例 2 求极限 3 0 sin lim x xx x 解 原式 6 1 6 cos lim 6 sin lim 3 cos1 lim 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 x x x x x xxx 型型型 例 3 设 试证 0 xxe x 1 证法一 用中值定理 设 则 tetf t 1 在上连续 tf 0 x 在内可导 且 tf 0 x 1 t etf 则存在 使 0 x x xff f 0 0 即 xeex x 11 因为 故0 10 e 又因为 故 从而0 x 01 ex 01 xe x 所以 xe x 1 证法二 用函数的单调性 设 则 xexf x 1 1 x exf 因为 故 即0 x01 x e 0 x f 从而当时是单调减少的0 x xf 又 01limlim 00 xexf x xx 所以当时 有0 x 00 fxf 即01 xe x 故 xe x 1 例 4 求函数的单调区间和极值 5 3 2 xxxf 6 解 的定义域为 xf 3 3 25 x x xf 令 得 0 x f2 x 当时 不存在 0 x x f 故定义域分为 列