2015-2016学年河北省邯郸市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

第 1 页 共 17 页 2015 2016 学年河北省邯郸市高二 上 期末数学试卷 理科 学年河北省邯郸市高二 上 期末数学试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一个符合题目要求的只有一个符合题目要求的 1 如果 a b 0 那么下列不等式成立的是 A a2 abB ab b2C D 2 x R x2 2 0 的否定是 A x R x2 2 0B x R x2 2 0 C x0 R x 2 0 D x0 R x 2 0 3 在等差数列 an 中 a5 5 a10 15 则 a15 A 20B 25C 45D 75 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c a 3 A 45 B 60 则 b A B C D 5 函数 y lnx x 在点 1 1 处的切线方程是 A 2x y 1 0B 2x y 1 0 C x 2y 1 0 D x 2y 1 0 6 m 0 是 x2 x m 0 无实根 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 7 函数 f x 的定义域为 R 其导函数 f x 的图象如图 则 f x 的极值点有 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 8 已知数列 an 是递增的等比数列 a1 a5 17 a2a4 16 则公比 q A 4B 4C 2D 2 9 经过点 3 的双曲线 1 其一条渐近线方程为 y x 该双曲线的焦距 为 A B 2C 2D 4 10 若函数 f x x4 ax2 bx 1 在 x 1 处有极值 则 9a 3b的最小值为 第 2 页 共 17 页 A 4B 9C 18D 81 11 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 直线 DC1与平面 A1BD 所成角的余弦值是 A B C D 12 设椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 P 是椭圆上一点 PF1 PF2 2 F1PF2 则椭圆离心率的取值范围为 A 0 B C D 1 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分分 共 共 20 分分 13 已知 2 3 1 x y 2 若 则 x y 14 若变量 x y 满足约束条件 则 z x 2y 的最小值为 15 已知在观测点 P 处测得在正东方向 A 处一轮船正在沿正北方向匀速航行 经过 1 小时 后在观测点 P 测得轮船位于北偏东 60 方向 B 处 又经过 t 小时发现该轮船在北偏东 45 方 向 C 处 则 t 16 对于正整数 n 设曲线 y xn 2 x 在 x 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an 则数列 an 的前 n 项和为 Sn 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知等差数列 an 公差为 2 的前 n 项和为 Sn 且 a1 S2 S4成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn n N 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 18 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 a c 2 b2 3ac 第 3 页 共 17 页 1 求角 B 2 当 b 6 sinC 2sinA 时 求 ABC 的面积 19 已知抛物线 C y2 2px p 0 的焦点为 F C 上一点 3 m 到焦点的距离为 5 1 求 C 的方程 2 过 F 作直线 l 交 C 于 A B 两点 若线段 AB 中点的纵坐标为 1 求直线 l 的方程 20 如图 在多面体 ABCDE 中 BAC 90 AB AC 2 CD 2AE 2 AE CD 且 AE 底面 ABC F 为 BC 的中点 求证 AF BD 求二面角 A BE D 的余弦值 21 已知函数 f x ax2 bx 在 x 1 处取得极值 2 求 f x 的解析式 若 m 3 x x2ex 2x2 f x 对于任意的 x 0 成立 求实数 m 的取值范 围 22 曲线 C 上的动点 M 到定点 F 1 0 的距离和它到定直线 x 3 的距离之比是 1 求曲线 C 的方程 过点 F 1 0 的直线 l 与 C 交于 A B 两点 当 ABO 面积为时 求直线 l 的方程 第 4 页 共 17 页 2015 2016 学年河北省邯郸市高二 上 期末数学试卷学年河北省邯郸市高二 上 期末数学试卷 理科 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一个符合题目要求的只有一个符合题目要求的 1 如果 a b 0 那么下列不等式成立的是 A a2 abB ab b2C D 分析 利用不等式的基本性质即可判断出结论 解答 解 a b 0 a2 ab ab b2 b2 a2即 故选 A 点评 本题考查了不等式的基本性质 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 2 x R x2 2 0 的否定是 A x R x2 2 0B x R x2 2 0 C x0 R x 2 0 D x0 R x 2 0 分析 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 解答 解 命题是全称命题 则命题的否定是特称命题 即 x0 R x 2 0 故选 D 点评 本题主要考查含有量词的命题的否定 比较基础 3 在等差数列 an 中 a5 5 a10 15 则 a15 A 20B 25C 45D 75 分析 利用等差数列的通项公式列出方程组 求出首项和公差 由此能求出数列的第 15 项 解答 解 在等差数列 an 中 a5 5 a10 15 解得 a1 3 d 2 a15 3 14 2 25 第 5 页 共 17 页 故选 B 点评 本题考查等差数列的第 15 项的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意等差数 列的性质的合理运用 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c a 3 A 45 B 60 则 b A B C D 分析 由已知利用正弦定理即可求值得解 解答 解 a 3 A 45 B 60 由正弦定理可得 b 故选 B 点评 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用 属于基础题 5 函数 y lnx x 在点 1 1 处的切线方程是 A 2x y 1 0B 2x y 1 0 C x 2y 1 0 D x 2y 1 0 分析 求函数的导数 利用导数的几何意义进行求解即可 解答 解 函数的导数为 f x 1 则 f 1 1 1 2 即切线斜率 k 2 则函数 y lnx x 在点 1 1 处的切线方程是 y 1 2 x 1 即 2x y 1 0 故选 A 点评 本题主要考查函数的切线的求解 求函数的导数 利用导数的几何意义求出切线 斜率是解决本题的关键 6 m 0 是 x2 x m 0 无实根 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 分析 x2 x m 0 无实根 0 即可判断出结论 解答 解 x2 x m 0 无实根 1 4m 0 m m 0 是 x2 x m 0 无实根 的必要不充分条件 故选 B 点评 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系 不等式的解法 简易逻辑的 判定方法 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 第 6 页 共 17 页 7 函数 f x 的定义域为 R 其导函数 f x 的图象如图 则 f x 的极值点有 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 分析 结合图象 根据导数大于零 即导函数的图象在 x 轴上方 说明原函数在该区间 上是单调递增 否则为减函数 极大值点两侧导数的符号 从左往右 符号相反 因此根 据图象即可求得极值点的个数 解答 解 结合函数图象 根据极值的定义可知在该点处从左向右导数符号相反 从图象上可看出符合条件的有 3 点 故选 A 点评 本题主要考查函数在某点取得极值的条件 以及学生的识图能力 属于基础题 8 已知数列 an 是递增的等比数列 a1 a5 17 a2a4 16 则公比 q A 4B 4C 2D 2 分析 设等比数列 an 是公比为 q 的递增的等比数列 运用等比数列的性质 求得 a1 1 a5 16 再由等比数列的通项公式求得公比即可 解答 解 设等比数列 an 是公比为 q 的递增的等比数列 由 a2a4 16 可得 a1a5 16 又 a1 a5 17 解得或 不合题意 舍去 即有 q4 16 解得 q 2 负的舍去 故选 D 点评 本题考查等比数列的通项公式的运用 是基础题 9 经过点 3 的双曲线 1 其一条渐近线方程为 y x 该双曲线的焦距 为 A B 2C 2D 4 分析 将点 3 代入双曲线的方程 由渐近线方程可得 解得 a b 可得 c 2 进而得到焦距 2c 4 解答 解 点 3 在双曲线 1 上 可得 1 第 7 页 共 17 页 又渐近线方程为 y x 一条渐近线方程为 y x 可得 解得 a b 1 可得 c 2 即有焦距为 2c 4 故选 D 点评 本题考查双曲线的焦距的求法 注意运用点满足双曲线的方程和渐近线方程的运 用 考查运算能力 属于基础题 10 若函数 f x x4 ax2 bx 1 在 x 1 处有极值 则 9a 3b的最小值为 A 4B 9C 18D 81 分析 求出函数的导数 得到 2a b 4 根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即 可 解答 解 f x 4x3 2ax b 若 f x 在 x 1 处有极值 则 f x 4 2a b 0 2a b 4 9a 3b 32a 3b 2 18 当且仅当 9a 3b时 成立 故选 C 点评 本题考查了导数的应用 考查基本不等式的性质 是一道基础题 11 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 直线 DC1与平面 A1BD 所成角的余弦值是 A B C D 分析 以 D 为原点 DA 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴 建立空间直角坐标系 利用 向量法能求出直线 DC1与平面 A1BD 所成角的余弦值 解答 解 以 D 为原点 DA 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴 建立空间直角坐标系 设正方体 ABCD A1B1C1D1中棱长为 1 则 D 0 0 0 C1 0 1 1 A1 1 0 1 B 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 设平面 A1BD 的法向量 x y z 第 8 页 共 17 页 则 取 x 1 得 1 1 1 设直线 DC1与平面 A1BD 所成角为 则 sin cos 直线 DC1与平面 A1BD 所成角的余弦值为 故选 C 点评 本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法 是中档题 解题时要认真审题 注 意向量法的合理运用 12 设椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 P 是椭圆上一点 PF1 PF2 2 F1PF2 则椭圆离心率的取值范围为 A 0 B C D 1 分析 设 F1 c 0 F2 c 0 运用椭圆的定义和勾股定理 求得 e2 令 m 1 可得 m 1 即有 2 2 运用二次函数的最值 的求法 解不等式可得所求范围 解答 解 设 F1 c 0 F2 c 0 由椭圆的定义可得 PF1 PF2 2a 可设 PF2 t 可得 PF1 t 第 9 页 共 17 页 即有 1 t 2a 由 F1PF2 可得 PF1 2 PF2 2 4c2 即为 2 1 t2 4c2 由 2 可得 e2 令 m 1 可得 m 1 即有 2 2 由 2 可得 m 3 即 则 m 2 时 取得最小值 m 或 3 时 取得最大值 即有 e2 解得 e 故选 B 点评 本题考查椭圆的定义 方程和性质 主要考查离心率的范围 同时考查不等式的 解法 属于中档题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分分 共 共 20 分分 13 已知 2 3 1 x y 2 若 则 x y 10 分析 根据向量的共线定理 列出方程组求出 x y 的值 再计算 x y 的值 解答 解 2 3 1 x y 2 且 解得 x 4 y 6 x y 10 故答案为 10 点评 本题考查了空间向量的坐标运算与共线定理的应用问题 是基础题 14 若变量 x y 满足约束条件 则 z x 2y 的最小值为 2 分析 作出可行域 变形目标函数 平移直线 y x 可得结论 解答 解 作出约束条件所对应的可行域 如图 ABC 第 10 页 共 17 页 变形目标函数可得 y x z 平移直线 y x 可知 当直线经过点 A 时 直线的截距最大 z 取最小值 2 故答案为 2 点评 本题考查简单线性规划 准确作图是解决问题的关键 属中档题 15 已知在观测点 P 处测得在正东方向 A 处一轮船正在沿正北方向匀速航行 经过 1 小时 后在观测点 P 测得轮船位于北偏东 60 方向 B 处 又经过 t 小时发现该轮船在北偏东 45 方 向 C 处 则 t 分析 设轮船的速度为 v 求出 BC 即可得出结论 解答 解 设轮船的速度为 v 则 AB v PA AC v BC 1 v t 故答案为 点评 本题考查利用数学知识解决实际问题 考查学生分析解决问题的能力 属于基础 题 第 11 页 共 17 页 16 对于正整数 n 设曲线 y xn 2 x 在 x 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an 则数列 an 的前 n 项和为 Sn 2n 2 4 分析 利用导数的几何意义求出切线方程为 y 2n x 2 从而得到 an 2n 1 利用等比数 列的求和公式能求出 Sn 解答 解 y xn 2 x y 2nxn 1 n 1 xn 曲线 y xn 2 x 在 x 2 处的切线的斜率为 k n2n n 1 2n 2n 切点为 2 0 切线方程为 y 2n x 2 令 x 0 得 an 2n 1 Sn 2n 2 4 故答案为 2n 2 4 点评 考查学生利用导数研究曲线上某点切线方程的能力 以及利用等比数列的求和公 式进行数列求和的能力 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知等差数列 an 公差为 2 的前 n 项和为 Sn 且 a1 S2 S4成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn n N 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 分析 1 由 a1 S2 S4成等比数列得 化简解得 a1 再利用等差数列的 通项公式即可得出 2 利用 裂项求和 即可得出 解答 解 1 由 a1 S2 S4成等比数列得 化简得 又 d 2 解得 a1 1 故数列 an 的通项公式 2 由 1 得 第 12 页 共 17 页 点评 本题考查了等差数列的通项公式 裂项求和 方法 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 18 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 a c 2 b2 3ac 1 求角 B 2 当 b 6 sinC 2sinA 时 求 ABC 的面积 分析 1 由余弦定理变形已知式子可得 cosB 的值 可得 B 值 2 由题意和正弦定理可得 c 2a 代入 b2 a2 ac c2可得 a 和 c 的值 可得三角形为直角 三角形 由面积公式可得 解答 解 1 a c 2 b2 3ac b2 a2 ac c2 ac a2 c2 b2 B 0 2 sinC 2sinA 由正弦定理可得 c 2a 代入 b2 a2 ac c2可得 36 a2 4a2 2a2 解得 满足 a2 b2 c2 ABC 为直角三角形 ABC 的面积 S 2 6 6 点评 本题考查正余弦定理解三角形 涉及三角形的面积公式 属基础题 19 已知抛物线 C y2 2px p 0 的焦点为 F C 上一点 3 m 到焦点的距离为 5 1 求 C 的方程 2 过 F 作直线 l 交 C 于 A B 两点 若线段 AB 中点的纵坐标为 1 求直线 l 的方程 分析 1 利用抛物线的定义 求出 p 即可求 C 的方程 2 利用点差法求出直线 l 的斜率 即可求直线 l 的方程 解答 解 1 抛物线 C y2 2px p 0 的准线方程为 由抛物线的定义可知 解得 p 4 C 的方程为 y2 8x 2 由 1 得抛物线 C 的方程为 y2 8x 焦点 F 2 0 第 13 页 共 17 页 设 A B 两点的坐标分别为 A x1 y1 B x2 y2 则 两式相减 整理得 线段 AB 中点的纵坐标为 1 直线 l 的斜率 直线 l 的方程为 y 0 4 x 2 即 4x y 8 0 点评 本题考查抛物线的定义与方程 考查点差法的运用 考查学生分析解决问题的能 力 属于中档题 20 如图 在多面体 ABCDE 中 BAC 90 AB AC 2 CD 2AE 2 AE CD 且 AE 底面 ABC F 为 BC 的中点 求证 AF BD 求二面角 A BE D 的余弦值 分析 1 推导出 AF BC 从而 AF DC 进而 AF 面 BCD 由此能证明 AF BD 2 以 A 为原点 AB 为 x 轴 AC 为 y 轴 AE 为 z 轴 建立空间直角坐标系 利用向量 法能求出二面角 A BE D 的余弦值 解答 证明 1 AB AC F 为 BC 的中点 AF BC 又 AE CD 且 AE 底面 ABC AF 底面 ABC AF DC 又 BC DC C 且 BC DC 面 BCD AF 面 BCD 又 BD 面 BCD AF BD 解 2 以 A 为原点 AB 为 x 轴 AC 为 y 轴 AE 为 z 轴 建立空间直角坐标系如图 B 2 0 0 D 0 2 2 E 0 0 1 第 14 页 共 17 页 设面 BED 的一个法向量为 则 令 z 2 得 x 1 y 1 又面 ABE 的一个法向量为 二面角 A BE D 的平面角是锐角 二面角 A BE D 的余弦值为 点评 本题考查异面直线垂直的证明 考查二面角的余弦值的求法 是中档题 解题时 要认真审题 注意向量法的合理运用 21 已知函数 f x ax2 bx 在 x 1 处取得极值 2 求 f x 的解析式 若 m 3 x x2ex 2x2 f x 对于任意的 x 0 成立 求实数 m 的取值范 围 分析 根据极值的定义得到关于 a b 的方程组 求出 a b 的值 从而求出 f x 的表达式 问题等价于 m xex x2 2x 于任意的 x 0 成立 设 h x xex x2 2x 根据函 数的单调性求出 m 的范围即可 解答 解 函数