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第十四章电磁感应 法拉第 MichaelFaraday 1791 1867 英国伟大的物理学家和化学家 他创造性地提出场的思想 磁场这一名称是法拉第最早引入的 他是电磁理论的创始人之一 于1831年发现电磁感应现象 后又相继发现电解定律 物质的抗磁性和顺磁性 以及光的偏振面在磁场中的旋转 自奥斯特发现电流的磁效应后 许多物理学家致力于其逆效应的研究 1831年英国物理学家法拉第经过十年研究 终于发现了电磁感应现象 14 1法拉第实验 当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时 回路中会产生感应电动势 电磁感应 14 2电磁感应的基本定律 导体回路中的感应电动势等于通过回路的磁通量随时间的变化率的负值 1 法拉第电磁感应定律 N匝回路中感应电动势 单位 韦伯 Wb 磁通匝数 磁链 回路内感应电流产生的磁场总是企图阻止或补偿回路中磁通量的变化 2 楞次定律 3 应用法拉第电磁感应定律解题的方法 1 确定回路中的磁感应强度B 例在通有电流为I I0cos t的长直载流导线旁 放置一矩形回路 如图所示 回路以速度v水平向右运动 求回路中的感应电动势 解 如图所示取一窄带dx 非静电力 若整个闭合回路都有非静电力 则 电动势的定义 单位正电荷绕闭合回路运动一周 非静电力所做的功 非静电力做功 14 3动生电动势 1 电动势 棒内电子所受洛伦兹力 平衡时 若运动导体构成回路 则 2 动生电动势 讨论 1 洛伦兹力恒与电荷运动方向垂直 因而不做功 而动生电动势是由于洛伦兹力移动单位正电荷产生的 似乎又做功 如何解释这对矛盾 2 动生电动势的功率 由于洛伦兹力垂直于电子的速度 所以 即 动生电动势的功率 外力所提供的功率 解 例1一长为L的铜棒在磁感强度为B的均匀磁场中 以角速度 在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端转动 求铜棒两端的感应电动势 例2一导线矩形框的平面与磁感强度为B的均匀磁场相垂直 在此矩形框上 有一质量为m长为l的可移动的细导体棒MN 矩形框还接有一个电阻R 其值较之导线的电阻值要大得很多 若开始时 细导体棒以速度v0沿如图所示的矩形框运动 试求棒的速率随时间变化的函数关系 棒所受安培力 棒的运动方程为 则 计算得棒的速率为 例3在匀强磁场中 置有面积为S的可绕轴转动的N匝线圈 若线圈以角速度作匀速转动 求线圈中的感应电动势 设时 与同向 则 令 则 可见 在匀强磁场中匀速转动的线圈内的感应电流是时间的正弦函数 这种电流称交流电 练习如图 要使线圈中感应电流的幅值增加到原来的两倍 导线的电阻不能忽略 则应 A 把线圈的匝数增加到原来的两倍 B 把线圈的匝数增加到原来的两倍 而形状不变 C 把线圈切割磁感线的两条边增长到原来的两倍 D 把线圈的角速度增大到原来的两倍 14 5感生电动势 1 感生电场 在电磁感应现象的实验中 当电键K闭合时 左线圈中要产生感应电流 麦克斯韦提出 在变化的磁场周围存在一个变化的电场 这个电场就是感生电场 此电流产生的原因是什么呢 2 感生电动势 回路中的磁通量为 则 因为 所以 Er为涡旋电场 3 感生电场与静电场的区别 静电场E 感生电场Er 起源 由静止电荷激发 由变化的磁场激发 电力线形状 电力线为非闭合曲线 电力线为闭合曲线 Er 静电场为散场 保守场 感生电场为有旋场 左旋场 静电场E 感生电场Er 电场的性质 保守场 作功与路径无关 非保守场 作功与路径有关 静电场为有源场 感生电场为无源场 计算感生电动势有两种方法1 用法拉第电磁感应定律 重点掌握添辅助线的方法 2 先求涡旋电场强度 再求感生电动势 这种方法仅适用于磁场分布具有高度对称性的情况 4 感生电动势的计算 解圆形磁场区域内 外E感线为一系列同心圆 作半径为r的环形路径 1 r R区域 环路上各点的E感大小相等 方向与路径方向相同 积分面积为回路中有磁场存在的面积 2 r R区域 作半径为r的环形路径 E感分布曲线 例2圆形均匀分布的磁场半径为R 磁场随时间均匀增加 在磁场中放置一长为L的导体棒 求棒中的感生电动势 解法一E感作用在导体棒上 使导体棒上产生一个向右的感生电动势 沿E感线作半径为r的环路 分割导体元dl 在dl上产生的感生电动势为 由上题结果 圆形区域内部的感生电场 其中 则 其中 方向向右 解法二作假想回路aboa 回路总感应电动势为 由于感生电场方向与半径oa和ob垂直 故有 例3如图所示 在均匀磁场中有一金属框架aOba ab边可无摩擦自由滑动 已知 aOb ab Ox 磁场随时间变化规律为B t t2 2 若t 0时 ab边由x 0处开始以速率v作平行于x轴的匀速滑动 试求任意时刻t金属框中感应电动势的大小和方向 解由于B随时间变化 同时ab导线切割磁场线 故回路中既存在感生电动势 又存在动生电动势 t时刻金属框中感应电动势的大小为 动的方向从b指向a 感的方向为逆时针方向 将x vt l xtan vttan 代人上式 则 练习均匀磁场被限制在半径为R的无限长圆柱内 磁场随时间作线性变化 现有两个闭合曲线L1 圆形 与L2 扇形 讨论 1 L1与L2上每一点的是否为0 2 涡旋电场E旋是否为0 3 与是否为0 热效应 电磁阻尼 趋肤效应 当电键K闭合时 灯泡1立刻点亮 而灯泡2为渐亮过程 这是由于电键K闭合瞬间 电路中电流发生变化 在线圈L中产生自感电动势 阻止支路中的电流变化 电流是渐变的 当线圈中电流发生变化时 线圈中的磁通量发生变化 在线圈中产生自感电动势 14 7自感 1 自感现象 2 自感系数L 线圈的磁链与线圈中的电流I成正比 写成等式 定义自感系数 单位 亨利 H 1H 103mH 自感系数与线圈的大小 形状 磁介质 线圈密度有关 而与线圈中电流无关 3 自感电动势 由法拉第电磁感应定律可知 自感系数的计算 解 例1如图的长直密绕螺线管 已知l S N 求其自感L 忽略边缘效应 练习在一个纸筒上均匀密绕两个相同的线圈ab和a b 每个线圈的自感都是0 05H 求下列情况下 整个线圈中的自感L 1 a和a 相接时 b b 接入电路 2 a 和b相接时 a b 接入电路 解两圆筒之间 如图在两圆筒间取一长为l的面PQRS 并将其分成许多小面元 则 例2有两个同轴圆筒形导体 其半径分别为R1和R2 通过它们的电流均为I 但电流的流向相反 设在两圆筒间充满磁导率为 的均匀磁介质 求其自感L 即 由自感定义可求出 单位长度的自感为 14 8LR电路 1 电路接通时的电流 2 电路切断时的电流 由于自感的存在使电路中具有保持原有电流不变的特性 它使电路在接通或断开后 电路中的电流要经历一个过程才能达到稳定值 这个过程称为LR电路的暂态过程 解 1 K接通的瞬间 电感L中的电流不能突变 例如图 R1 R2 L和 都已知 电源和线圈L的内阻可略去不计 1 求K接通的瞬间 a b间的电压及R1 R2上的电流 2 电路稳定后 突然打开K的瞬间 问a b间的电压与电流是多少 2 突然打开K的瞬间 电感L中的电流不能突变 但此时R2支路已被切断 电流全部经过R1 I1在I2电流回路中所产生的磁通量 21 M21I1 I2在I1电流回路中所产生的磁通量 12 M12I2 互感系数仅与两个线圈形状 大小 匝数 相对位置以及周围的磁介质有关 无铁磁质时为常量 14 8互感 1 互感系数 2 互感电动势 例1有两个长度均为l 半径分别为r1和r2 r1 r2 匝数分别为N1和N2的同轴长直密绕螺线管 求它们的互感M 解设半径为r1的线圈中通有电流I1 则 则穿过半径为r2的线圈的磁通匝数为 解设长直导线通电流I 例2在磁导率为 的均匀无限大的磁介质中 一无限长直导线与一宽长分别为b和l的矩形线圈共面 直导线与矩形线圈的一侧平行 且相距为d 求二者的互感系数 练习问 下列几种情况互感是否变化 1 线框平行直导线移动 2 线框垂直于直导线移动 3 线框绕OC轴转动 4 直导线中电流变化 14 10磁场的能量 1 线圈的能量 在右面的电路中 灯泡与电感线圈并联后 接在电源上 当电键K从闭合状态 变为打开状态时 灯泡并不是立即就熄灭 而是闪亮一下才熄灭 载流线圈具有能量 自感线圈磁能 2 磁场的能量 磁场能量密度 磁场能量 自感线圈磁能 3 磁场的能量密度um 解由安培环路定律可求H 则 例1如图同轴电缆 中间充以磁介质 芯线与圆筒上的电流大小相等 方向相反 已知R1 R2 I 求单位长度同轴电缆的磁能和自感 设金属芯线内的磁场可忽略 单位长度壳层体积 例2设电子是一个半径为R的小球 并假定电荷均匀分布于其表面 当电子以速度v v c 运动时 在电子周围无限大空间内建立电磁场 试计算电磁场中的总磁能 解因为v c 所以离电子瞬时位置r处的磁感应强度仍是 设电子沿Z轴运动 为简便计 改用如图所示的球面坐标 则离电子瞬时位置r处的体积元dV为 由图可知 式中 在该体积元中的磁能为 对上式求除电子本身体积外的全部空间积分 得运动电子周围空间的总磁能为 练习两个线圈P和Q并联地接到一电动势恒定的电源上 线圈P的自感和电阻分别是线圈Q的两倍 当达到稳定后 贮存在线圈P中的磁场能量与线圈Q中的磁场能量的比值是 A 4B 2C 1D 1