高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解

数列专项之求和数列专项之求和 4 4 一 等差等比数列前 n 项求和 1 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 二 非等差等比数列前 n 项求和 错位相减法错位相减法 数列为等差数列 数列为等比数列 则数列的求和就要采用此法 n a n b nn ab 将数列的每一项分别乘以的公比 然后在错位相减 进而可得到数列 nn ab n b 的前项和 nn ab n 此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法 n 例例 23 23 求和 132 12 7531 n n xnxxxS 0 x 例例 24 24 求数列前 n 项的和 2 2 2 6 2 4 2 2 32n n 裂项相消法裂项相消法 一般地 当数列的通项 时 往往可将 12 n c a anbanb 12 a b b c为常数 变成两项的差 采用裂项相消法求和 n a 可用待定系数法进行裂项 设 通分整理后与原式相比较 根据对应项系数相等得 12 n a anbanb 从而可得 21 c bb 122112 11 cc anbanbbbanbanb 常见的拆项公式有 111 1 1n nnn 1111 21 21 2 2121nnnn 11 ab abab 1 1 mmm nnn CCC 1 n nnn 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn 例例 25 25 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 例例 26 26 在数列 an 中 又 求数列 bn 的前 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b n 项的和 分组法求和分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几 个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 一般分两步 找通向项公 式 由通项公式确定如何分组 例例 27 27 求数列 n n 1 2n 1 的前 n 项和 例例 28 28 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 倒序相加法倒序相加法 如果一个数列 与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和 则可用把正着写与 n a 倒着写的两个和式相加 就得到了一个常数列的和 这种求和方法称为倒序相加法 特征 121 nn aaaa 例例 29 29 求证 nn nnnn nCnCCC2 1 12 53 210 例例 30 30 求的值 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 记住常见数列的前记住常见数列的前项和 项和 n 1 123 2 n n n 2 1 35 21 nn 2222 1 123 1 21 6 nn nn 23333 1 2 1 321 nnn 答案详解答案详解 例例 23 解 由题可知 的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比 1 12 n xn 数列 的通项之积 1 n x 132 12 7531 n n xnxxxS 设 设制错 n n xnxxxxxS 12 7531 432 位 得 错位相 nn n xnxxxxxSx 12 222221 1 1432 减 再利用等比数列的求和公式得 n n n xn x x xSx 12 1 1 21 1 1 2 1 1 1 12 12 x xxnxn S nn n 例例 24 24 解 由题可知 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 的 n n 2 2 n 2 1 通项之积 设 n n n S 2 2 2 6 2 4 2 2 32 设制错 1432 2 2 2 6 2 4 2 2 2 1 n n n S 位 得 错位相 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 nn n n S 减 11 2 2 2 1 2 nn n 1 2 2 4 n n n S 例例 25 25 解 设 裂项 nn nn an 1 1 1 则 裂项求和 1 1 32 1 21 1 nn Sn 1 23 12 nn 11 n 例例 26 26 解 211 2 1 1n n n nn an 裂项 1 11 8 2 1 2 2 nn nn bn 数列 bn 的前 n 项和 裂项求和 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 8 nn Sn 1 1 1 8 n1 8 n n 例例 27 27 解 设kkkkkkak 23 32 12 1 n k n kkkS 1 12 1 32 23 1 kkk n k 将其每一项拆开再重新组合得 Sn 分组 kkk n k n k n k 1 2 1 3 1 32 21 21 3 21 2 222333 nnn 分组求和 2 1 2 12 1 2 1 22 nnnnnnn 2 2 1 2 nnn 例例 28 28 解 设 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa S n n 将其每一项拆开再重新组合得 分组 23741 111 1 12 n aaa S n n 当 a 1 时 分组求和 2 13 nn nSn 2 13 nn 当时 1 a 2 13 1 1 1 1 nn a a S n n 2 13 1 1 nn a aa n 例例 29 29 证明 n nnnnn CnCCCS 12 53 210 把 式右边倒转过来得 反序 011 3 12 12 nn n n n nn CCCnCnS 又由可得 mn n m n CC n n n nnnn CCCnCnS 110 3 12 12 得 反序相 nn n n nnnn nCCCCnS2 1 2 22 2 110 加 n n nS2 1 例例 30 30 解 设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S 将 式