2017届高三数学一轮复习训练2.9函数的模型及其应用

祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 2 9 函数的模型及其应用 组 基础题组 1 2015 浙江重点中学协作体适应性测试 4 已知 0 a2a log2aB 2a a2 log2a C log2a a2 2aD 2a log2a a2 2 2015 福建泉州一中期中 5 5 分 给出四个函数 分别满足 f x y f x f y g x y g x g y h xy h x h y m xy m x m y 下列为四个函数的图象 对应正确的是 A 甲 乙 丙 丁B 乙 丙 甲 丁 C 丙 甲 乙 丁D 丁 甲 乙 丙 3 2013 湖北 5 5 分 小明骑车上学 开始时匀速行驶 途中因交通堵塞停留了一段时间 后来为 了赶时间加快速度行驶 与以上事件吻合得最好的图象是 4 2015 陕西 3 5 分 如图 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin k 据此函数可知 这段时间水深 单位 m 的最大值为 6 A 5B 6C 8D 10 5 2014 北京 8 5 分 加工爆米花时 爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 可食用 率 在特定条件下 可食用率 p 与加工时间 t 单位 分钟 满足函数关系 p at2 bt c a b c 是常 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 数 下图记录了三次实验的数据 根据上述函数模型和实验数据 可以得到最佳加工时间为 A 3 50 分钟B 3 75 分钟C 4 00 分钟D 4 25 分 钟 6 2015 浙江五校第一次联考 一个容器装有细沙 acm3 细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢 地漏出 tmin 后剩余的细沙量为 y ae bt cm3 经过 8min 后发现容器内还有一半的沙子 则再经 过 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一 7 2016 杭州学军中学第二次月考 13 4 分 不等式 2x 1 m x2 1 对满足 m 2 的一切实数 m 都成立 则 x 的取值范围是 8 2015 湖南师大附中月考 某市居民自来水收费标准如下 每户每月用水不超过 4 吨时 每吨 为 1 8 元 当超过 4 吨时 超过部分按每吨 3 元收费 已知某个月甲 乙两户共交水费 y 元 并 且该月甲 乙两户的用水量分别为 5x 3x 吨 1 求 y 与 x 的函数关系式 2 若该月甲 乙两户共交水费 26 4 元 分别求出该月甲 乙两户的用水量和水费 9 2016 上海普陀调研测试 21 14 分 某中学为了落实 阳光运动一小时 活动 计划在一块 直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S 平方米的矩形 AMPN 健身场地 如图 点 M 在 AC 上 点 N 在 AB 上 且 P 点在斜边 BC 上 已知 ACB 60 且 AC 30 米 AM x 米 x 10 20 1 试用 x 表示 S 并求 S 的取值范围 2 若在矩形 AMPN 以外 阴影部分 铺上草坪 已知 矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为 元 草坪每平方米的造价为 k 为正常数 元 设总造价 T 关于 S 的函数为 T f S 试问 如 37 12 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 何选取 AM 的长 才能使总造价 T 最低 B 组 提升题组 1 2014 湖南 8 5 分 某市生产总值连续两年持续增加 第一年的增长率为 p 第二年的增长率 为 q 则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A B 2 1 1 1 2 C D 1 1 1 2 2015 北京 8 5 分 汽车的 燃油效率 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程 下图描述了 甲 乙 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 下列叙述中正确的是 A 消耗 1 升汽油 乙车最多可行驶 5 千米 B 以相同速度行驶相同路程 三辆车中 甲车消耗汽油最多 C 甲车以 80 千米 小时的速度行驶 1 小时 消耗 10 升汽油 D 某城市机动车最高限速 80 千米 小时 相同条件下 在该市用丙车比用乙车更省油 3 2015 浙江重点中学协作体摸底 一高为 H 满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示 其底部破了 一个小洞 满缸水从洞中流出 若鱼缸水深为 h 时 水的体积为 V1 则函数 V1 f h 的大致图象 可能是图 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 4 2015 浙江杭州九中期末 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运 据市场分析每 辆客车营运的总利润 y 单位 10 万元 与营运年数 x x N 为二次函数关系 如图所示 则每 辆客车营运 年时 其营运的年平均利润最大 5 求实数 a 的范围 使得关于 x 的方程 x2 ax 2 0 在 1 3 上有解 6 2016 杭州学军中学第二次月考 18 14 分 已知集合 P y log2 ax2 2x 2 的 1 2 2 定义域为 Q 1 若 P Q 求实数 a 的取值范围 2 若方程 log2 ax2 2x 2 2 在内有解 求实数 a 的取值范围 1 2 2 7 2015 江苏 17 14 分 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路 为进一步改善山区的交通 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 现状 计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路 记两条相互垂直的公路为 l1 l2 山 区边界曲线为 C 计划修建的公路为 l 如图所示 M N 为 C 的两个端点 测得点 M 到 l1 l2的距 离分别为 5 千米和 40 千米 点 N 到 l1 l2的距离分别为 20 千米和 2 5 千米 以 l2 l1所在的直线 分别为 x y 轴 建立平面直角坐标系 xOy 假设曲线 C 符合函数 y 其中 a b 为常数 模型 2 1 求 a b 的值 2 设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点 P 的横坐标为 t 请写出公路 l 长度的函数解析式 f t 并写出其定义域 当 t 为何值时 公路 l 的长度最短 求出最短长度 8 2016 超级中学原创预测卷六文 20 15 分 某市为迎接元旦的到来 拟在市观光游览区建造 一个花坛 已知用钢管焊接而成的花坛围栏如图所示 它的外框是一个等腰梯形 PQRS 内部是 一段抛物线和一根横梁 抛物线的顶点与梯形上底边的中点均是焊接点 O 梯形的腰紧靠在抛 物线上 且两腰的中点是梯形的腰 抛物线与横梁的焊接点 A B 抛物线与梯形下底边的两个 焊接点为 C D 已知梯形的高是 40 米 C D 两点间的距离是 40 米 1 求横梁 AB 的长度 2 求制作梯形外框的用料长度 注 钢管的粗细等因素忽略不计 1 41 2 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 组 基础题组 1 B 因为当 0 a1 log2aa2 log2a 故选 B 2 D 由题图可知丁是正比例函数图象 满足 甲是指数型函数图象 满足 乙是对数型函数 图象 满足 丙是幂函数图象 满足 故选 D 3 C 小明匀速运动时 所得图象为一条直线 且距离学校越来越近 故排除 A 因交通堵塞停留 了一段时间 与学校的距离不变 故排除 D 后来为了赶时间加快速度行驶 故排除 B 故选 C 4 C 因为函数 y 3sin k 的最小值为 2 所以 3 k 2 得 k 5 故这段时间水深的最大 6 值为 3 5 8 m 选 C 5 B 由已知得 9 3 0 7 16 4 0 8 25 5 0 5 解得 0 2 1 5 2 p 0 2t2 1 5t 2 当 t 3 75 时 p 最大 即最佳加工时间为 3 75 分钟 故选 1 5 15 4 2 13 16 15 4 B 6 答案 16 解析 当 t 0 时 y a 当 t 8 时 y ae 8b a e 8b 容器中的沙子只有开始时的八分之一 即 1 2 1 2 y ae bt a e bt e 8b 3 e 24b 则 t 24 24 8 16 1 8 1 8 7 答案 7 1 2 3 1 2 解析 构造函数 f m x2 1 m 2x 1 则 f m 是关于 m 的一次函数 要使 2x 1 m x2 1 对任意 m 2 恒成立 即 f m 0 对任意 m 2 2 恒成立 只需解得 x 2 0 2 4 时 y 4 1 8 3x 1 8 3 5x 4 20 4x 4 8 当乙的用水量超过 4 吨 即 3x 4 时 y 1 8 8 3 5x 4 3x 4 24x 9 6 所以 y 14 4 0 4 5 20 4 4 8 4 5 4 3 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 2 y f x 在各段区间上均为单调递增函数 当 x 时 ymax f 26 4 0 4 5 4 5 当 x 时 ymax f0 因 此 x 1 故选 D 1 1 2 D 对于 A 选项 由题图可知 当乙车速度大于 40km h 时 乙车每消耗 1 升汽油 行驶里程都 超过 5km 则 A 错 对于 B 选项 由题意可知 以相同速度行驶相同路程 燃油效率越高 耗油越少 故三辆车中甲车 耗油最少 则 B 错 对于 C 选项 甲车以 80 千米 小时的速度行驶时 燃油效率为 10km L 则行驶 1 小时 消耗了汽 油 80 1 10 8 升 则 C 错 对于 D 选项 当行驶速度小于 80km h 时 在相同条件下 丙车的燃油效率高于乙车 则在该市 用丙车比用乙车更省油 则 D 对 综上 选 D 3 答案 解析 当 h 0 时 V1 0 可排除 由于鱼缸中间粗两头细 所以当 h 在 附近时 体积变化较 2 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 快 当 h 小于 时 体积增加得越来越快 当 h 大于 时 体积增加得越来越慢 故填 2 2 4 答案 5 解析 由题图可得营运总利润 y x 6 2 11 则营运的年平均利润为 x 12 25 x N 2 12 2 25 当且仅当 x 即 x 5 时取 25 当 x 5 时 营运的年平均利润最大 5 解析 当 x 1 是方程的解时 a 3 当 x 3 是方程的解时 a 11 3 设 f x x2 ax 2 则函数在 1 3 内有唯一零点的条件为 0 1 3 0 或 0 2 1 3 解得 3 a 0 1 2 0 3 0 解得 2 a0 若 P Q 则说明在内至少有一个 x 值 使不等 1 2 2 式 ax2 2x 2 0 成立 即在内至少有一个 x 值 使 a 成立 令 u 则只需 a umin 又 u 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 当 x 时 从而 u 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 a 的取值范围是 a 4 2 方程 log2 ax2 2x 2 2 在内有解 ax2 2x 2 4 即 ax2 2x 2 0 在内有解 即存在 1 2 2 1 2 2 x 使 a 2 2 12 a 12 即 a 的取值范围是 1 2 2 2 2 2 1 1 2 21 2 3 2 1 1 2 21 2 3 2 3 2 12 7 解析 1 由题意知 点 M N 的坐标分别为 5 40 20 2 5 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 将其分别代入 y 得 2 25 40 400 2 5 解得 1 000 0 2 由 1 知 y 5 x 20 则点 P 的坐标为 y 1 000 2 1 000 2 2 000 3 设在点 P 处的切线 l 交 x y 轴分别于 A B 点 l 的方程为 y x t 由此得 A B 1 000 2 2 000 3 3 2 0 0 3 000 2 故 f t 3 2 2 3 000 2 2 t 5 20 3 2 2 4 106 4 设 g t t2 则 g t 2t 4 106 4 16 106 5 令 g t 0 解得 t 10 2 当 t 5 10 时 g t 0 g t 是增函数 2 从而 当 t 10时 函数 g t 有极小值 也是最小值 所以 g t min 300 此时 f t min 15 23 答 当 t 10时 公路 l 的长度最短 最短长度为 15千米 23 8 解析 1 建立如图所示的平面直角坐标系 设梯形的下底边与 y 轴交于点 M 抛物线的方 程为 x2 2py p 0 由题意得 D 20 40 代入抛物线的方程得 p 5 所以抛物线的方程为 x2 10y 当 y 20 时 x 10 2 即 A 10 20 B 10 20 22 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 祹 宝 微 微 一 笑 很 倾 我 所以 AB 20