教案：正弦函数余弦函数的图像

1 4 1 正弦函数 余弦函数的图象正弦函数 余弦函数的图象 保康一中保康一中 吕凤轩吕凤轩 教学分析教学分析 研究函数的性质常常以图象直观为基础 这点学生已经有些经验 通过观察函数的图象 从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法 这也是数形结合思想的应用 正弦函数 余 弦函数的教学也是如此 先研究它们的图象 在此基础上再利用图象来研究它们的性质 显 然 加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求 由于正弦线 余弦线已经从 形 的角度描述了三角函数 因此利用单位圆中的三角函 数线画正弦函数的图象是一个自然的想法 当然 我们还可以通过三角函数的定义 三角函 数值之间的内在联系性等来作图 从画出的图形中观察得出五个关键点 得到 五点法 画正弦函数 余弦函数的简图 三维目标三维目标 1 通过实验演示 让学生经历图象画法的过程及方法 通过对图象的感知 形成正弦曲 线的初步认识 进而探索正弦曲线准确的作法 养成善于发现 善于探究的良好习惯 学会 遇到新问题时善于调动所学过的知识 较好地运用新旧知识之间的联系 提高分析问题 解决问题的能力 2 通过本节学习 理解正弦函数 余弦函数图象的画法 借助图象变换 了解函数之间 的内在联系 通过三角函数图象的三种画法 描点法 几何法 五点法 体会用 五点法 作图给我们学习带来的好处 并会熟练地画出一些较简单的函数图象 3 通过本节的学习 让学生体会数学中的图形美 体验善于动手操作 合作探究的学习 方法带来的成功愉悦 渗透由抽象到具体的思想 加深数形结合思想的认识 理解动与静的 辩证关系 树立科学的辩证唯物主义观 重难点重难点 重点 正弦函数 余弦函数的图象 难点 将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点 正弦函数与余弦函数 图象间的关系 课时安排课时安排 1 课时 教学过程教学过程 导入新课导入新课 通过向学生展示章头图表示的 简谐运动 实验 让学生对正弦函数 余弦函数的图象 有一个直观的印象 遇到一个新的函数 非常自然地是画出它们的图象 观察图象的形状 看看有什么特殊 点 并借助图象研究它的性质 如 值域 单调性 奇偶性 最大值与最小值等等 我们也 很自然地想知道 y sinx 的图象是怎样的呢 回忆我们在必修 1 中学过的指数函数 对数函 数的图象是什么 是如何画出它们的图象的 列表描点法 进而引导学生通过取值 画 出当 x 0 2 时 y sinx 的图象 新知探究新知探究 提出问题提出问题 问题 1 作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值 由于对一般角 的三角函数值都是近似值 不易描出对应点的精确位置 我们如何得到任意角的三角函数 值并用线段长表示 x 角的三角函数值呢 怎样得到函数图象上的两个坐标的准确数据呢 简单地说 就是如何得到 y sinx x 0 2 的精确图象呢 问题 2 如何得到 y sinx x R 的图象 活动活动 教师先让学生阅读教材 思考讨论 对于学习较弱的学生 教师指导他们查阅课 本上的正弦线 此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象 怎样在 x 轴上标横 坐标 为什么将单位圆分成 12 份 学生思考仍不得要领时 教师可进行适时的点拨 只要 解决了 y sinx x 0 2 的图象 就很容易得到 y sinx x R 的图象了 对问题 1 第一步 可以想象把单位圆剪开并 12 等分 再把 x 轴上从 0 到 2 这一段分 成 12 等分 由于单位圆周长是 2 这样就解决了横坐标的问题 过圆 O1上各分点作 x 轴的 垂线 就可以得到对应于 2 的正弦线 这样就解决了纵坐标的问题了 6 0 3 2 相当于列表 第二步 把角 x 的正弦线向右平移 使它的起点与 x 轴上的点 x 重合 这就得到了函数 对 x y 相当于描点 第三步 再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来 我们就 得到了函数 y sinx 在 0 2 上的图象了 相当于连线 这是本节的难点 教师要和学 生共同讨论 对问题 2 因为终边相同的角有相同的三角函数值 所以函数 y sinx 在 x 2k 2 2k 上的图象与 y sinx 在 x 0 2 的图象的形状完全一致 只是位置 不同 于是我们只要将函数 y sinx 在 x 0 2 图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动 每次移动的距离为 2 就得到 y sinx x R 的图象 讨论结果讨论结果 1 利用正弦线 通过等分单位圆及平移即可得到 y sinx 在 x 0 2 图象 2 左右平移 每次 2 个单位长度即可 提出问题提出问题 如何画出余弦函数 y cosx x R 的图象 你能从正弦函数与余弦函数的关系出发 利 用正弦函数图象得到余弦函数图象吗 活动活动 如果再用余弦线作余弦函数的图像那就太麻烦了 根据已学知识 教师引导学生 观察诱导公式 思考探究两个函数之间的关系 通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象 让学生从函数解析式之间的关系思考 进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法 让学 生动手做一做 体会正弦函数图象和余弦函数图象之间的异同 感知两个函数的整体形状 为下一步学习正弦函数 余弦函数性质打下基础 讨论结果讨论结果 把正弦函数将 y sinx x R 的图象向左平移即得 y cosx x R 的图象 2 1 1 y x 6 5 6 5 4 3 2 0 4 3 2 f x sin x 1 1 y x 6 5 6 5 4 3 2 0 4 3 2 f x cos x 正弦函数 y sinx x R 和余弦函数 y cosx x R 的图象 分别叫做正弦曲线和余弦曲 线 提出问题提出问题 问题 1 以上方法作图 虽然精确但不太实用 自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图像 的方法 你认为哪些点是关键性的点 问题 2 你能确定余弦函数图象的关键点 并作出它在 0 2 上的图象吗 活动活动 对问题 1 教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象 发现在 0 2 上有五个点在起关键作用 只要描出这五个点后 函数 y sinx x 0 2 的图 象的形状就基本确定了 这五点如下 0 0 1 0 1 2 0 2 2 3 因此 在精确度要求不高时 我们常常先找出这五个关键点 然后用光滑的曲线将它们 连接起来就可快速得到函数的简图 这种近似的 五点作图法 是非常实用的 要求熟练掌 握 对问题 2 学生通过类比 很容易确定在 0 2 上起关键作用的五个点 并指导学生 画出图象 讨论结果讨论结果 1 略 2 关键点也有五个 是 0 1 0 1 0 2 1 2 2 3 应用示例应用示例 例例 1 1 作下列函数的简图 1 y sinx x 0 2 2 y cosx x 0 2 3 y 1 sinx x 0 2 4 y cosx x 0 2 解 1 列表 x0 2 2 3 2 sinx010 10 2 列表 x0 2 2 3 2 cosx10 101 3 列表 x0 2 2 3 2 sinx010 10 1 sinx 12101 4 列表 x0 2 2 3 2 cosx10 101 cosx 1010 1 知能训练 课本本节练习 课堂小结 以提问的方式 先由学生反思学习内容并回答 教师再作补充完善 1 怎样利用 周而复始 的特点把区间 0 2 上的图象扩展到整个定义域上 2 如何利