平行四边形经典例题讲解(3套)

经典例题经典例题 附带详细答案 1 如图 是平行四边形对角线上两点 求证 EF ABCDACBEDF AFCE D C A B E F 答案答案 证明 平行四边形中 ABCDADBC ADBC ACBCAD 又 BEDF BECDFA BECDFA CEAF 2 如图 6 四边形 ABCD 中 AB CD B D 3 6 ABBC 求四边形 ABCD 的周长 答案 20 A D CB 解法一 ABCD 180CB 又 BD 180DC AD BC即得ABCD是平行四边形 36ABCDBCAD 四边形ABCD的周长183262 解法二 A D CB 连接AC ABCD DCABAC 又 BDACCA ABC CDA 36ABCDBCAD 四边形ABCD的周长183262 解法三 A D CB 连接BD ABCD CDBABD 又 ABCCDA ADBCBD AD BC即ABCD是平行四边形 36ABCDBCAD 四边形ABCD的周长183262 3 在四边形 ABCD 中 D 60 B 比 A 大 20 C 是 A 的 2 倍 求 A B C 的大小 关键词 多边形的内角和 答案 设 度 则 xA 20 xBxC2 根据四边形内角和定理得 360602 20 xxx 解得 70 x 70A 90B 140C 4 如图 是四边形的对角线上两点 EF ABCDAC AFCEDFBEDFBE 求证 1 AFDCEB 2 四边形是平行四边形 ABCD A B D E F C 关键词 平行四边形的性质 判定 答案 证明 1 DFBE DFEBEF 180AFDDFE 又 180CEBBEF AFDCEB AFCEDFBE AFDCEB SAS 2 由 1 知 AFDCEB 四边形是平行四边形 一组对DACBCAADBC ADBC ABCD 边平行且相等的四边形是平行四边形 5 25 如图 13 1 在边长为 5 的正方形中 点 分别是 边上的ABCDEFBCDC 点 且 AEEF 2BE 1 求 的值 ECCF 2 延长交正方形外角平分线 如图 13 2 试判断的大小关系 EFCPP于点AEEP与 并说明理由 3 在图 13 2 的边上是否存在一点 使得四边形是平行四边形 若存在 ABMDMEP 请给予证明 若不存在 请说明理由 AD CBE BCE DA F P F 关键词 平行四边形的判定 答案 解 1 AEEF 2390 四边形 ABCD 为正方形 90BC 1390 12 90DAMABEDAAB DAMABE DMAE AEEP DMPE 四边形是平行四边形 DMEP 解法 在边上存在一点 使四边形是平行四边形 ABMDMEP 证明 在边上取一点 使 连接 ABMAMBE MEMDDP 90ADBADAMABE RtRtDAMABE 14DMAE 1590 4590 AEDM AEEP DMEP 四边形为平行四边形 DMEP BCE DA F P 5 4 1 M 6 2009 年广州市 如图 9 在 ABC 中 D E F 分别为边 AB BC CA 的中点 证明 四边形 DECF 是平行四边形 关键词 平行四边形的判定 答案 D E F 分别为 AB BC CA 的中点 DF BC DE AC 四边形 DECF 是平行四边形 7 2009 年包头 已知二次函数 的图象经过点 2 yaxbxc 0a 10 A 直线 与轴交于点 2 0 B 02 C xm 2m xD 1 求二次函数的解析式 2 在直线 上有一点 点在第四象限 使得为顶点的xm 2m EEEDB 三角形与以为顶点的三角形相似 求点坐标 用含的代数式表示 AOC Em 3 在 2 成立的条件下 抛物线上是否存在一点 使得四边形为平行四边FABEF 形 若存在 请求出的值及四边形的面积 若不存在 请说明理由 mABEF y xO 关键词 二次函数 相似三角形 运动变化 抛物线 解 1 根据题意 得 0 420 2 abc abc c y xO BA D C x m F2 F1 E1 E2 解得 132abc 2 32yxx 2 当时 EDBAOC 得或 AOCO EDBD AOCO BDED 122AOCOBDm 当时 得 AOCO EDBD 12 2EDm 2 2 m ED 点在第四象限 E 1 2 2 m Em 当时 得 AOCO BDED 12 2mED 24EDm 点在第四象限 E 2 42 E mm 3 假设抛物线上存在一点 使得四边形为平行四边形 则FABEF 点的横坐标为 1EFAB F1m 当点的坐标为时 点的坐标为 1 E 2 2 m m 1 F 2 1 2 m m 点在抛物线的图象上 1 F 2 2 1 3 1 2 2 m mm 2 211140mm 27 2 0mm 舍去 7 2 2 mm 1 53 24 F 33 1 44 ABEF S A 当点的坐标为时 点的坐标为 2 E 42 mm 2 F 142 mm 点在抛物线的图象上 2 F 2 42 1 3 1 2mmm 2 7100mm 舍去 2 5 0mm 2m 5m 2 4 6 F 1 66 ABEF S A 注 各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分 8 2009 年莆田 已知 如图在中 过对角线的中点作直线分别交ABCDABDOEF 的延长线 AB DC BC 的延长线于点 E M N F DA 1 观察图形并找出一对全等三角形 请加以证明 E B M O D N F C A E B M O D N F C A 2 在 1 中你所找出的一对全等三角形 其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样 的变换得到 关键词 四边形 全等三角形 变换 1 DOEBOF 证明 四边形是平行四边形ABCD ADBC EDOFBOEF 又 ODOB DOEBOF AAS BOMDON 证明 四边形是平行四边形ABCD ABCD MBONDOBMODNO 又 BODO BOMDON AAS ABDCDB 证明 四边形是平行四边形ABCD ADCBABCD 又 BDDB ABDCDB SSS 2 绕点旋转后得到或以点为中心作对称变换得到 8 分O180 O 9 2009 年温州 在所给的 9 9 方格中 每个小正方形的边长都是 1 按要求画平行四边 形 使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上 1 在图甲中画一个平行四边形 使它的周长是整数 2 在图乙中画一个平行四边形 使它的周长不是整数 注 图甲 图乙在答题纸上 关键词 平行四边形的性质 判定 答案 解 1 2 10 2009 年中山 在中 ABCDA10AB AD m 60D 以为直径作 ABO 1 求圆心到的距离 用含的代数式来表示 OCDm 2 当取何值时 与相切 mCDO AD BC O 关键词 利用平行四边形证明线段相等 答案 1 分别过两点作 垂足分别为点 点 AO AECDOFCD EF 就是圆心到的距离 AEOFOF OCD 四边形是平行四边形 ABCD ABCDAEOF AD BC O E F AD BC O E F 在中 RtADE 60 sinsin60 AEAE DD ADAD 333 222 AE AEmOFAEm m 圆心到 CD 的距离 PF 为 3 2 m 2 3 2 OFm 为的直径 且 ABO 10AB 当时 与相切于点 5OF CDO F 即 310 3 5 23 mm 当时 与相切 10 3 3 m CDO 11 2009 2009 年宁德市年宁德市 本题满分 8 分 如图 点 A D B E 在同一直线上 AD BE AC DF AC DF 请从图中找出一个与 E 相等的角 并加以证明 不再添加 其他的字母与线段 A F ED C B 关键词 平行四边形的判定 答案 解法 1 图中 CBA E 证明 AD BE AD DB BE DB 即 AB DE AC DF A FDE 又 AC DF ABC DEF CBA E A F ED C B 解法 2 图中 FCB E 证明 AC DF AC DF 四边形 ADFC 是平行四边形 CF AD CF AD AD BE CF BE CF BE 四边形 BEFC 是平行四边形 FCB E 12 2009 年山东青岛市 如图 在梯形 ABCD 中 ADBC 6cmAD 点由 B 出发沿 BD 方向匀速运动 速度为 1cm s 同4cmCD 10cmBCBD P 时 线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动 速度为 1cm s 交于 Q 连接 PE 若设BD 运动时间为 s 解答下列问题 t05t 1 当 为何值时 tPEAB 2 设的面积为 cm2 求与 之间的函数关系式 PEQ yyt 3 是否存在某一时刻 使 若存在 求出此时 的值 若不存在 t 2 25 PEQBCD SS t 说明理由 4 连接 在上述运动过程中 五边形的面积是否发生变化 说明理由 PFPFCDE A F ED C B A ED Q P B F C 关键词 全等三角形的性质与判定 相似三角形判定和性质 平行四边形有关的计算 答案 A ED Q P B F C NM 解 1 PEAB DEDP DADB 而 10DEtDPt 10 610 tt 15 4 t 当 15 s 4 tPEAB 2 平行且等于 EFCD 四边形是平行四边形 CDEF DEQCDQEBDC 10BCBD DEQCDQEBDC DEQBCD DEEQ BCCD 104 tEQ 2 5 EQt 过 B 作 交于 过作 交于 BMCD CDMPPNEF EFN 22 1021004964 6BM EDDQBPt 102PQt 又 PNQBMD PQPN BDBM 102 104 6 tPN 4 6 1 5 t PN 2 1124 64 6 4 6 1 2255255 PEQ t SEQ PNttt A 3 11 4 4 68 6 22 BCD SCD BM AA 若 2 25 PEQBCD SS 则有 2 4 64 62 8 6 25525 tt 解得 12 14tt 4 在和中 PDE FBP 10 DEBPt PDBFtPDEFBP PDEFBP PDEPFCDEPFCD SSS 五边形四边形 FBPPFCD SS 四边形 8 6 BCD S 在运动过程中 五边形的面积不变 PFCDE 13 2009 年达州年达州 如图 10 O 的弦 AD BC 过点 D 的切线交 BC 的延长线于点 E AC DE 交 BD 于点 H DO 及延长线分别交 AC BC 于点 G F 1 求证 DF 垂直平分 AC 2 求证 FC CE 3 若弦 AD 5 AC 8 求 O 的半径 关键词 圆 平行四边形 勾股定理 答案 1 DE 是 O 的切线 且 DF 过圆心 O DF DE 又 AC DE DF AC DF 垂直平分 AC 2 由 1 知 AG GC 又 AD BC DAG FCG 又 AGD CGF AGD CGF ASA AD FC AD BC 且 AC DE 四边形 ACED 是平行四边形 AD CE FC CE5 分 3 连结 AO AG GC AC 8cm AG 4cm 在 Rt AGD 中 由勾股定理得 GD AD2 AG2 52 42 3cm 设圆的半径为 r 则 AO r OG r 3 在 Rt AOG 中 由勾股定理得 AO2 OG2 AG2 有 r2 r 3 2 42 解得 r 256 O 的半径为 256cm 经典例题经典例题 附带答案 2 例 1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的 3 倍 那么这个平行四边形的 四个内角各是多少度 分析 根据平行四边形的对角相等 邻角互补可以求出四个内角的度数 解 设平行四边形的一个内角的度数为x 则它的邻角的度数为 3x 根据 题意 得 解得 这个平行四边形的四个内角的度数分别为 45 135 45 135 例 2 已知 如图 的周长为 60cm 对角线AC BD相交于点 O 的周长比的周长多 8cm 求这个平行四边形各边的长 分析 由平行四边形对边相等 可知平行四边形周长的一半 30cm 又由的周长比的周长多 8cm 可知cm 由此 两式 可求得各边的长 解 四边形为平行四边形 答 这个平行四边形各边长分别为 19cm 11cm 19cm 11cm 说明 学习本题可以得出两个结论 1 平行四边形两邻边之和等于平行 四边形周长的一半 2 平行四边形被对角线分成四个小三角形 相邻两个三 角形周长之差等于邻边之差 例 3 已知 如图 在中 交于点O 过O点作EF交 AB CD于E F 那么OE OF是否相等 说明理由 分析 观察图形 从而可 说明 证明 在中 交于O 例 4 已知 如图 点E在矩形ABCD的边BC上 且 垂足为F 求证 分析 观察图形 与都是直角三角形 且锐角 斜边 因此这两个直角三角形全等 在这个图形中 若连结AE 则与全等 因此可以确定图中许多有用的相等关系 证明 四边形 ABCD 是矩形 又 例 5 O是ABCD对角线的交点 的周长为 59 则 若与的周长之差为 15 则 ABCD的周长 解答 ABCD中 的周长 在ABCD中 的周长 的周长 ABCD的周长 说明 本题考查平行四边形的性质 解题关键是将与的周长 的差转化为两条线段的差 例 6 已知 如图 ABCD的周长是 由钝角顶点D向AB BC引两 条高DE DF 且 求这个平行四边形的面积 解答 设 四边形ABCD为平行四边形 又 四边形ABCD的周长为 36 解由 组成的方程组 得 说明 本题考查平行四边形的性质及面积公式 解题关键是把几何问题转 化为方程组的问题 经典例题经典例题 附带详细答案 3 例例 1 2006 年 河北 如图 1 平行四边形 ABCD 中 AD 5 AB 3 AE 平分 BAD 交 BC 边于点 E 则线段 BE EC 的长度分别是 A 2 和 3B 3 和 2C 4 和 1D 1 和 4 解析 因四边形 ABCD 是平行四边形 故 AD BC AD BC 所以 DAE BEA 又 AE 平分 BAD 故 BAE DAE BEA 所以 AB BE 3 CE 5 3 2 故选 B 例例 2 2006 年 枣庄市 如图 2 平行四边形 ABCD 中 对角线 AC 和 BD 相交于点 O 如果 AC 12 BD 10 AB m 那么 m 的取值范围是 A 10 m 12B 2 m 22C 1 m 11D 5 m 6 解析 因四边形 ABCD 是平行四边形 故 AO CO DO BO 又 AC 12 BD 10 则 AO 6 BO 5 故 6 5 m 6 5 即 1 m 11 故选 C 例例 3 2006 年 北京市海淀区 如图 3 平行四边形 ABCD 中 E F 分别是 BC 和 AD 上的点 并且 BE DF 求证 CDFABE 证明 因四边形 ABCD 是平行四边形 故 AB CD B D 又 BE DF 所以 ABE CDF SAS 点评 平行四边形具有以下性质 两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组 对角分别相等 对角线互相平分 二 考查平行四边形的判定二 考查平行四边形的判定 例例 4 2006 年 攀枝花市 如图 4 AD BC 要使四边形 ABCD 是平行四边形 还 需补充的一个条件是 解析 可选择 AD BC AB CD A B 80 C D 180 等条件中的一个 此题是答案不唯一的开放题 所添的条件灵活多样 主要考查平行四边形的判定方法 例例 5 如图 5 四边形 ABCD 中 AB DC E 是 BC 的中点 AE DC 的延长线相交于 点 F 连接 AC BF 四边形 ABF