提高数学概念教学的有效性

提高数学概念教学的有效性 竹源小学 刘家雷 使学生掌握一定的数学基础知识是小学数学教学的主要任务之 一 而概念是数学基础知识中最基础的知识 概念是反映客观事物 本质属性的思维形式 对它的理解和掌握 关系到学生计算能力和逻 辑思维能力的培养 关系到学生解决实际问题的能力和对学习数学的 兴趣 因此 我认为对小学数学中概念教学有效性的研究很有意义 按概念的抽象水平可以将概念分为描述性概念和定义性概念两 类 描述性概念是可以直接通过观察获得的概念 如 我们在数 物体的时候 用来表示物体个数的 1 2 3 4 5 叫自然数 象 1 25 0 726 0 005 等都是小数 直线 这一概念 教材 是这样描述的 拿一根线 把它拉紧 就成了一条直线等 这样的 概念将随着儿童知识的增多和认识的深化而日趋完善 定义性概念 的本质性特征不能通过直接观察获得 必须通过下定义来揭示 如 有两条边相等的三角形叫等腰三角形 含有未知数的等式叫方 程 倍数与因数 图形的放大与缩小 等等 这样定义的概念 条件和结论十分明显 便于学生一下子抓住数学概念的本质 不管 是哪一类概念 都是小学生掌握数学基本知识和基本技能的基石 都将直接影响以后继续学习及思维能力的发展 一般来说 在数学教材中 小学低年级的概念采用描述式较多 随着小学生思维能力的逐步发展 中年级逐步采用定义式 不过有 些定义只是初步的 是有待发展的 在整个小学阶段 由于数学概 念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾 大部分概念没有下严格的 定义 而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发 尽可 能通过直观的具体形象 帮助学生认识概念的本质属性 对于不容 易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解 决 因此 小学数学概念呈现出两大特点 一是数学概念的直观性 二是数学概念的阶段性 在进行数学概念教学时 我们必须注意充 分领会教材的这两个特点 数学概念教学的一般要求 概念教学简单的说 就是要准确 清晰 到位 概念教学是教 学重点之一 公开课的重点之一 但也是常常会令老师顾此失彼 常常遗憾之课 因为概念教学涉及的内容多 有的是看得见 摸的 着 有是看得见 摸不着 有的是看不见 摸不着 因此 概念教 学要经历三个层面 第一个层面是操作层面 第二个层面是观察与 联系层面 第三个层面是思考与概括层面 具体的数学概念教学一 般要达到以下三个要求 1 使学生准确理解概念 理解概念 一要能举出概念所反映的现实原型 二要明确概念 的内涵与外延 三要掌握表示概念的词语或符号 2 使学生牢固掌握概念 掌握概念是指要在理解概念的基础上记住概念 正确区分概念 的肯定例证和否定例证 能对概念进行分类 形成一定的概念系统 3 使学生能正确运用概念 概念的运用主要表现在学生能在不同的具体情况下 辨认出概 念的本质属性 运用概念的有关属性进行判断推理 日常的教学中 概念教学存在的问题 主要表现在 1 比较忽视概念的形成过程 往往把一个新的概念和盘托出 让学 生死记硬背法则 定义 如 有的学生能把分数意义一字不漏地背 下来 但是不会用分数的意义去解释为什么同分母分数加减法 只 需要分子相加减 分母可以不改变的道理 这样的学生 即使会计 算同分母分数加减法 那也只是照猫画虎 知其然不知其所以然 2 比较忽视概念间的联系 许多本来是有联系的概念 却如同一粒 粒散落的珠子 分散 孤立地保存在学生的脑海里 没能将珠子串 成项链 概念不成 网络 系统 便不能帮助学生形成良好的认知 结构 3 比较忽视概念的灵活应用 教师没有主动地去创造一些条件 让学生在解决实际问题中去灵活运用 有的学生在变式题或综合性 比较强的问题面前 常常表现得束手无策 针对以上实际 本人认为 在当前积极开展课堂教学有效性研究的 背景下 可以从概念的引入 概念的形成 概念的巩固等方面入手 努力探寻提高数学概念教学有效性的策略 一 引入要恰当 1 引入的情境要突出概念的本质特征 借助直观具体 生动形象的情境引出概念 能激发学生学习的 兴趣 有助于学生对概念的理解和掌握 但情境一定要与概念的本 质属性相关联 否则会因为远离教学内容而影响教学效果 有时甚 至产生误导作用 将学生的思维引入歧途 有位老师为了引出 倒数 的概念 从孙悟空腾云驾雾翻跟斗 讲起 弄得学生一时摸不着头脑 真令人啼笑皆非 虽然学生对此 故事情境很感兴趣 但由于故事内容不能反映 倒数 的本质特征 因而也只能是无效的教学 另一位老师在教学 加法交换律 时 从 朝三暮四 这个成 语的典故引入 却带来了奇特的效果 教师讲完典故后 引起学生 的哄堂大笑 教师问学生为什么可笑 学生说猴子太愚蠢了 其实 一天吃到的桃子是一样多的 然后教师引导学生列出 3 4 和 4 3 这两个加法算式来说明道理 进而通过比较感知到两个加数 没变 和也没变 只是加数位置变了 学生在愉悦的氛围中轻松感 知了加法交换律 2 引入的方式要符合学生的认知特点 数学概念具有高度的抽象性 由于小学生的思维水平处于从形 象思维为主逐步向抽象思维为主过渡的阶段 因而理解和掌握概念 有一定困难 教学时 应当遵循学生的认知规律 结合实例 联系 学生已有知识经验 采用直观操作等实践活动的形式引入新概念 在旧概念的基础上引入新概念 从计算入手引入新概念 3 引入的路径要体现概念产生的背景 教师要根据概念产生的不同背景 因 材 施教 选定最佳的 引入路径 尽力排除非本质属性的干扰 让学生尽快触及概念的本 质特点 体现概念建立过程的高效化 如 数学里图形放大或缩小的含义与生活中的放大 缩小是不同的 生活中会把图形由小变大视作放大 由大变小视为缩小 数学里的 图形放大或缩小 它的每条边都按一定的比例变化 即每条边的长 度都放大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一 例 1 教学图形放 大 缩小的含义 先观察在电脑上放大长方形的现象 分别研究长 方形放大后与放大前长 宽的关系 然后联系长方形放大揭示图形 放大的数学含义 教材依次讲了三句话 首先是 长方形的每条边 放大到原来的 2 倍 这是对长放大到原来的 2 倍 宽也放大到原来 2 倍的概括 然后是 放大后的长方形与原来长方形对应边长的比 是 2 1 用比描述图形放大时边的长度变化 这里把放大前 后 两个长方形的长称为对应边 宽也称为对应边 必须把放大后图形 的边的长度作为前项 原来图形的边的长度作为后项 最后是 把 原来的长方形按 2 1 的比放大 让学生体会由于放大后与放大前 两个长方形的对应边的长度关系是 2 1 因而把图形的放大说成 2 1 这里还示范了图形放大的规范表述 按 2 1 的比放大 在初步理解图形放大的基础上 引导学生主动迁移 认识图形 的缩小 让学生说说缩小后的长方形的长 宽分别是原来长方形的 几分之几 解释图形按 1 2 缩小的含义 初步形成图形缩小的概念 二 理解要深刻 引入概念 仅是概念教学的第一步 要使学生获得概念 还必须引 导学生准确地理解概念 明确概念的内涵与外延 正确表述概念的 本质属性 对描述性的概念 主要揭示它的本质属性 在概念的内涵上 下功夫 对定义性的概念 不仅要准确地揭示它的内涵 而且要讲明它 的外延 使学生对概念的理解逐步达到完善 即在引入的基础上首先 感知要到位 教学中 教师要根据概念的具体特点 精心组织感知 活动 为形成表象进而抽象概括出概念提供坚实的基础 其次抽象 要适时 学生由直观感知所获得的对于概念的认识是粗略的 肤浅 的 而且具有局限性和片面性 若能及时唤起他们头脑中的有关表 象 发挥表象的中介作用 就可以使学生逐步摆脱对于具体感知材 料的依赖 克服直观感知中的局限性 以此为基础 进行通过分析 比较 综合 抽象 概括等逻辑思维方法 把握事物的本质和规律 揭 示概念的内涵 使学生最终形成概念 1 突出概念的本质属性 数学概念是从客观现实中抽象出来的 客 观事物有许多属性 这些属性有本质的和非本质的 本质属性是构成 这一事物 区别于其他事物的根本特征 教学时抓住事物的本质属 性 才能把事物讲清楚说明白 如 什么叫循环小数 课本是这样定义 的 一个数的小数部分 从某一位起 一个数字或者几个数字依次不 断重复出现 这样的数叫循环小数 这里讲了两点 一是前提是一个 数的小数部分 与整数部分没关系 二是属性是一个数字或几个数字重 复出现 且是依次不断的 明确了这两点就能迅速的判断出某些数字 是不是循环小数 2 注意比较有联系的概念的异同 数学中的一些概念是相互联系的 既有相同点 又有不同之处 划清了异同界线 才能建立明确的概念 而对这类概念 应用对比的方法找出它们之间的联系 区别 如 长方 形 正方形都是特殊的平行四边形 相同处是都有四条边 对边平行 且相等 四个角都是直角 不同处是长方形对边相等 正方形四条边都 相等 3 通过变式突出概念的内涵和外延 教学中如果总是重复某种例子 或图形 就可能把学生的注意力引导到某些非本质的属性上去 而忽视 了事物的本质属性 为突出概念的内涵和外延 例题的内容 叙述方式 和图形的位置 形状应有适当的变化 如 讲三角形 长方形 梯形 平行四边形时 不仅让学生认识标准位置的图形 还能认识变换了位置 的图形 加深学生对概念的理解 激发学习兴趣 4 对本质属性要变换表达方式去理解概念 为使学生真正理解概念 有时需从不同角度揭示概念的本质属性 可用不同的方法 不同的语 言去描述 或用不同的方法表达 用不同的图形去演示 如 最简分数 可说成分子分母是互质数的分数 也可说成分子分母只有公约数 1 的 分数 等边三角形除了用 三条边都相等的三角形定义外 还可以用 三个角都相等 三个角都等于 60 度 顶角是 60 度的等腰三角形表述方 式来揭示它的本质属性 使学生从不同的侧面来理解概念 5 使用准确的语言帮助学生确切地掌握概念 在概念的讲解中必须 注意语言的准确和精炼 否则就会影响学生形成准确的概念 甚至给 学生留下错误的印象或引起误解 例如 一年级讲 没有 时 用 0 表示 而不能讲 0 就是没有 四年级讲 自然数和零都是整数 而不能讲 整数就是自然数和零 教师教学语言要严谨 准确 要 求学生答题也要准确 完整 要用数学语言来表述 三 巩固要及时 1 注重概念的理解 一方面要帮助学生理解概念的内涵 其主要方法有 1 判断 如运 用三角形概念判断所提供的图形是不是三角形并说明理由 让学生 进一步明确三角形的本质特征 2 举例 可以让学生举实例进一步 解释概念 使概念具体化 也可举反例强化对概念内涵的理解 如 用足球场上的比分强化对比的意义的理解 3 变式 如教垂直概念 时 可运用变式方法画出各种不同的图形 引导学生观察 分析 加强对垂直的理解 4 比较 将相近易混的概念加以比较 更加突 出它们的本质属性 如 周长 和 面积 可从意义 计量单位等 方面进行比较 另一方面要帮助学生理解概念的外延 其主要方法有 1 强化 如 让学生判断 15 24 能否化成有限小数 教师故设疑问 这个分数分 母中含有因数 3 怎么也能化成有限小数呢 是不是与得到的结论相矛 盾呢 由此 强化了一个分数能否化成有限小数是在 一个最简分数 前提下归纳出来的 2 补充 概念揭示的是事物的一般性 对于特 殊性必须作补充说明 从而获得全面认识 如认识长方体后 让学 生知道有两个相对的面是正方形的长方体以及正方体都是特殊的长 方体 3 扩展 即对概念的适用范围作一定的拓展和延伸 如 对 于乘法分配律 可出现 a b c d ad bd cd a b c ac bc 等形式 2 注重概念的应用 数学概念主要是在应用中得到巩固的 通过概念的应用 除了能加 深学生对概念的理解 促进概念的巩固外 还有利于启迪学生思维 培养学生的数学能力 同时 通过概念应用 可以检验学生理解和 掌握概念的情况 以便及时弥补 小学数学概念的应用形式大致有 应用概念进行判断 应用概念分析推理 应用概念分析数量关系 指导计算 概念的综合应用 3 注重概念的建构 数学概念之间存在着种种的关系 如交 关系 反对关系 并列关系 种属关系等 当人们头脑中建立了概念间的这些联系时 就形成了 一定的概念系统 帮助学生逐步建立一定的概念系统 这是概念教 学的重要组成部分 在概念的系统中教学概念 学生容易理解 容 易掌握 比如 教某一新概念时 讲清它的来龙去脉 将它纳入到 原有的概念系统中去 不但能使学生全面 深刻地理解新概念 而 且还能使原有概念得到充实和发展 更加巩固 同时 由于系统化 结构化的知识具有良好的抗遗忘作用 所以 建立概念结构 有利 于学生掌握概念 巩固概念 四 小学数学概念教学中应注意的问题 1 把握概念教学的目标 处理好概念教学的发展性与阶段性之 间的矛盾 概念本身有自己严密的逻辑体系 在一定条件下 一个概念的 内涵和外延是固定不变的 这是概念的确定性 由于客观事物的不 断发展和变化 同时也由于人们认识的不断深化 因此 作为人们 反映客观事物本质属性的概念 也是在不断发展和变化的 但是 在小学阶段的概念教学 考虑到小学生的接受能力 往往是分阶段 进行的 如对 数 这个概念来说 在不同的阶段有不同的要求 开始只是认识 1 2 3 以后逐渐认识了零 随着学生年龄 的增大 又引进了分数 小数 以后又逐渐引进正 负数 有理数 和无理数 把数扩充到实数 复数的范围等 又如 对 0 的认识 开始时只知道它表示没有 然后知道又可以表示该数位上一个单位 也没有 还知道 0 可以表示界限等 因此 数学概念的系统性和发展性与概念教学的阶段性成了教 学中需要解决的一对矛盾 解决这一矛盾的关键是要切实把握概念 教学的阶段性目标 为了加强概念教学 教师必须认真钻研教材 掌握小学数学概念的 系统 摸清概念发展的脉络 概念是逐步发展的 而且诸概念之间 是互相联系的 不同的概念具体要求会有所不同 即使同一概念在 不同的学习阶段要求也有差别 在把握阶段性目标时 应注意以下几点 1 在每一个教学阶段 概念都应该是确定的 这样才不致于造成概 念混乱的现象 有些概念不严格下定义 但也要依据学生的接受能 力 或者用描述代替定义 或者用比较通俗易懂的语言揭示概念的 本质特征 同时注意与将来的严格定义不矛盾 2 当一个教学阶段完成以后 应根据具体情况 酌情指出概念是发 展的 不断变化的 如 有一位学生在认识了长方体之后 认为课 本中的任何一张纸的形状也是长方体的 说明该学生对长方体的概 念有了更进一步的理解 教师应加以肯定 3 当概念发展后 教师不但指出原来概念与发展后概念的联系与区 别 以便学生掌握 而且还应引导学生对有关概念进行研究 注意 其发展变化 如 倍 的概念 在整数范围内 通常所指的是 如 果把甲量当作 1 份 而乙量有这样的几份 那么乙量就是甲量的几 倍 在引入分数以后 倍 的概念发展了 发展后的 倍 的概念 就包含了原来的 倍 的概念 如果把甲量当作 l 份 乙量也可以 是甲量的几分之几 因此 在数学概念教学中 要搞清概念之间的顺序 了解概念 之间的内在联系 数学概念随着客观事物本身的发展变化和研究的 深入不断地发展演变 学生对数学概念的认识 也需要随着数学学 习的程度的提高 由浅入深 逐步深化 教学时既要注意教学的阶 段性 不能把后面的要求提到前面 超越学生的认识能力 又要注 意教学的连续性 教前面的概念要留有余地 为后继教学打下埋伏 从而处理好掌握概念的阶段性与连续性的关系 2 加强直观教学 处理好具体与抽象的矛盾 尽管教材中大部分概念