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对数函数 一般的 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是R 定义域 R 过点 0 1 即x 0时 y 1 在R上是增函数 在R上是减函数 复习 指数式和对数式的互化 将ab N化成对数式 会得到logaN b 从y ax可以解得 x logay因此指数函数y ax的反函数是y logax a 0 且a 1 又因为y ax的值域为 0 所以y logax a 0 且a 1 的定义域为 0 函数y logax a 0 且a 1 叫做对数函数 其中x是自变量 函数的定义域是 0 函数y logax a 0 且a 1 是指数函数y ax的反函数 结论 对数函数和指数函数互为反函数 问题 作出函数y log2x和函数y logx的图像 分析 互为反函数的两个函数图像关于直线y x对称 y x y 2x y log2x y x y logx y x 两个对数函数的图象特征和性质的分析 x y 0 1 y log2x y logx 图像都在y轴右侧 图像都经过 1 0 点 1的对数是0 当底数a 1时 x 1 则logax 00 x 1 则logax 0当底数0 a 1时 x 1 则logax 00 x 1 则logax 0 图像 在 1 0 点右边的纵坐标都大于0 在 1 0 点左边的纵坐标都小于0 图像 则正好相反 自左向右看 图像 逐渐上升图像 逐渐下降 当a 1时 y logax在 0 是增函数当0 a 1时 y logax在 0 是减函数 定义域是 0 定义域 0 值域 R 过点 1 0 即当x 1时 y 0 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 对数函数的图象和性质 讲解 例1比较下列各组数中两个值的大小 log23 4 log28 5 log0 31 8 log0 32 7 loga5 1 loga5 9 a 0 a 1 解 考察对数函数y log2x 因为它的底数2 1 所以它在 0 上是增函数 于是log23 4 log28 5 考察对数函数y log0 3x 因为它的底数为0 3 即0 0 3 1 所以它在 0 上是减函数 于是log0 31 8 log0 32 7 例题 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1 而已知条件中并未指出底数a与1哪个大 因此需要对底数a进行讨论 loga5 1 loga5 9 a 0 a 1 注 例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的 对底数与1的大小关系未明确指出时 要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小 当a 1时 函数y logax在 0 上是增函数 于是loga5 1 loga5 9当0 a 1时 函数y logax在 0 上是减函数 于是loga5 1 loga5 9 例题 比较下列各题中两个值的大小 log106log108 log0 56log0 54 log0 10 5log0 10 6 log1 51 6log1 51 4 练习 例2比较下列各组中两个值的大小 log67 log76 log3 log20 8 解 log67 log66 1log76 log77 1 log67 log76 log3 log31 0log20 8 log21 0 log3 log20 8 注 例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小 当不能直接进行比较时 可在两个对数中间插入一个已知数 如1或0等 间接比较上述两个对数的大小 提示 logaa 1 提示 loga1 0 例题 例3 求下列函数的定义域 1 y loga x2 3x 2 解 1 x2 3x 2 0 x 2或x 1 函数的定义域是 x x 2或x 1 2 依题意 可知 2 x 1或1 x 3 函数的定义域是 x 2 x 1或1 x 3 例题 小结目录 对数函数的图象和性质 比较两个对数值的大小 对数函数的定义 函数y logax a 0 且a 1 叫做对数函数 其中x是自变量 函数的定义域是 0 对数函数定义 小结 两个对数函数的图象特征和性质的分析 x y 0 1 y log2x y logx 图像都在y轴右侧 图像都经过 1 0 点 1的对数是0 当底数a 1时 x 1 则logax 00 x 1 则logax 0当底数0 a 1时 x 1 则logax 00 x 1 则logax 0 图像 在 1 0 点右边的纵坐标都大于0 在 1 0 点左边的纵坐标都小于0 图像 则正好相反 自左向右看 图像 逐渐上升图像 逐渐下降 当a 1时 y logax在 0 是增函数当0 a 1时 y logax在 0 是减函数 定义域是 0 若底数为同一常数 则可由对数函数的单调性直接进行判断 若底数为同一字母