平面直角坐标系知识梳理及经典题型(教师版)

平面直角坐标系平面直角坐标系 知识结构图 知识结构图 一 知识要点 一 知识要点 一 有序数对 一 有序数对 有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对 记作 a b 二 平面直角坐标系 二 平面直角坐标系 在平面内 两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐 标系 1 坐标平面上的任意一点 P 的坐标 都和惟一的一对 有序实数对有序实数对 一一对应 其ba 中 为横坐标 为 纵坐标坐标 ab 2 轴上的点 纵坐标等于 0 轴上的点 横坐标等于 0 坐标轴上的点不属于不属于任何象xy 限 三 四个象限的点的坐标具有如下特征 三 四个象限的点的坐标具有如下特征 1 点 P 所在的象限 横 纵坐标 的取值的正负性 yx xy 2 点 P 所在的数轴 横 纵坐标 中必有一数为零 yx xy 四 在平面直角坐标系中 已知点 四 在平面直角坐标系中 已知点 P P 则 则 ba 1 点 P 到轴的距离为 xb 2 点 P 到轴的距离为 ya 3 点 P 到原点 O 的距离为 PO 22 ba 五 平行直线上的点的坐标特征 五 平行直线上的点的坐标特征 1 在与轴平行的直线上 所有点的纵坐标相等 x 点 A B 的纵坐标都等于 m 2 在与轴平行的直线上 所有点的横坐标相等 y 点 C D 的横坐标都等于 n 六 对称点的坐标特征 六 对称点的坐标特征 1 点 P关于轴的对称点为 即横坐标不变 纵坐标互为相反数 nmx 1 nmP 象限横坐标x纵坐标y 第一象限正正 第二象限负正 第三象限负负 第四象限正负 P ba a b x y O X Y AB m B X Y C D n 2 点 P关于轴的对称点为 即纵坐标不变 横坐标互为相反数 nmy 2 nmP 3 点 P关于原点的对称点为 即横 纵坐标都互为相反数 nm 3 nmP 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点对称 七 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征 七 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征 1 若点 P 在第一 三象限的角平分线上 则 即横 纵坐标相等 nm nm 2 若点 P 在第二 四象限的角平分线上 则 即横 纵坐标互为相反nm nm 数 在第一 三象限的角平分线上 在第二 四象限的角平分线上 八 利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下 八 利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下 1 建立坐标系 选择一个适当的参照点为原点 确定 x 轴 y 轴的正方向 2 根据具体问题确定适当的比例尺 在坐标轴上标出单位长度 3 在坐标平面内画出这些点 写出各点的坐标和各个地点的名称 九 用坐标表示平移 见下图 九 用坐标表示平移 见下图 X y P 1 P n n m O X y P 2 P mm n O X y P 3 P m m n O n X y P m n O y P m n O X P x y P x y a P x a y P x a y P x y a 向上平移向上平移 a 个单位个单位 长度长度 向下平移向下平移 a 个单位个单位 长度长度 向右平移向右平移 a 个单位个单位 长度长度 向左平移向左平移 a 个单个单位位 长度长度 二 题型分析 二 题型分析 题型一题型一 代数式与点坐标象限判定代数式与点坐标象限判定 此类问题通常与不等式 组 联系在一起 或由点所在的象限确定字母的取值范围 或由 字母的取值范围确定点所在的象限 例 1 在平面直角坐标系中 点在 3 2 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 解析 由各象限点的特征知 点在第四象限 故选 D 3 2 点评 解答这类问题所需的知识点是第一 二 三 四象限内的点的坐标符号分别是 例 2 若点 的横坐标与纵坐标互为相反数 则点一定在 P12mm P A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 由题意知 解得于是点 P 的坐标为 1 1 于是点 P 在1 20mm 1 m 第二象限 选 B 点评 本题设置了一个小小的障碍 即先根据横坐标与纵坐标互为相反数列出方程解出 m 然后才能根据会标特点确定象限 例 3 若点 P a b 在第四象限 则点 M b a a b 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 B 分析 第四象限横坐标大于0 纵坐标小于0 例 4 如果 a b 0 且 ab 0 那么点 a b 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 B 例 5 对任意实数 x 点 P x x2 2x 一定不在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 C 例 7 点 P x y 在第四象限 且 x 3 y 2 则 P 点的坐标是 答案 3 2 例 8 若点 M 1 x x 2 在第二象限内 则 x 的取值范围为 答案 x 2 习题演练 习题演练 1 在平面直角坐标系中 点 P 一定在 象限 4 2 2 m 2 点 P x 1 x 1 不可能在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 3 如果点M a b ab 在第二象限 那么点N a b 在第 象限 4 4 点 Q 3 a 5 a 在第二象限 则 a 2 4a 4 a 2 10a 25 5 点 M a a 1 不可能在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 6 如果 x y 0 那么点 P x y 在 A 第二象限 B 第四象限 C 第四象限或第二象限 D 第一象限或第三 象限 题型二 用代数式求坐标轴上的点坐标题型二 用代数式求坐标轴上的点坐标 例例 1 1 在平面直角坐标系中 已知点 P 在轴上 则 P 点坐标为 2 5 mmx 答案 答案 7 0 例例 2 已知 A 1 2 B x y AB x 轴 且 B 到 y 轴距离为 2 则点 B 的坐标是 答案 答案 2 2 或 2 2 习题演练 习题演练 1 已知点 A m 2 点 B 3 m 1 且直线 AB x 轴 则 m 的值为 2 已知线段 AB 3 AB 轴 若点 A 的坐标为 2 则 B 点的坐标为 x1 3 3 已知点 P x2 3 1 在一 三象限夹角平分线上 则 x 题型三 求对称点的坐标题型三 求对称点的坐标 解答此类问题所需知识点是 点 a b 关于 x 轴的对称点是 a b 关于 y 轴的对称点是 a b 关于原点的对称点是 a b 例 1 在如图 1 所示的方格纸中 每个小正方形的边长为 1 如果以所在的直线为MN 轴 以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系 使点与点关于原点对称 yAB 则这时点的坐标可能是 C 13 21 21 31 解析 根据题意 点与点关于原点对称 MN 所在直线为 y 轴 于是可确定原点为图AB 中 O 点位置 即 x 轴为过 O 点的一条横线 于是 C 点的坐标为 2 1 即选 B 图 1 点评 本题逆向考查了两点关于原点对称问题 求 C 点坐标的关键是确定直角坐标系的 原点所在 例例 1 1 点 M 2 3 关于轴的对称点 N 的坐标为 关于轴的对称点 Pxy 的坐标为 关于原点的对称点 Q 的坐标为 答案 答案 2 3 2 3 3 2 例例 2 已知点 A a 5 B 8 b 根据下列要求 确定 a b 的值 1 A B 两点关于 y 轴对称 2 A B 两点关于原点对称 3 AB x 轴 4 A B 两点在一 三象限两坐标轴夹角的平分线上 分析分析 1 两点关于 y 轴对称时 它们的横坐标互为相反数 而纵坐标相同 2 两点关于原点对称时 两点的横纵坐标都互为相反数 3 两点连线平行于 x 轴时 这两点纵坐标相同 但横坐标不同 4 当两点位于一 三象限两坐标轴夹角的平分线上时 每个点的横纵坐标相同 解答解答 1 当点 A a 5 B 8 b 关于 y 轴对称时有 8 5 AB AB xxa yyb 2 当点 A a 5 B 8 b 关于原点对称时有 8 5 AB AB xxa yyb 3 当 AB x 轴时 有 8 5 AB AB xxa yyb 4 当 A B 两点位于一 三象限两坐标轴夹角平分线上时有 xA yB且 xA yB即 a 5 b 8 点评 运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键 习题演练 习题演练 1 点 P 关于轴的对称点的坐标是 关于轴的对称点的坐标1 2xy 是 关于原点的对称点的坐标是 2 在平面直角坐标系下 下列各组中关于原点对称又关于 y 轴对称的点是 A 3 2 3 2 B 0 3 0 3 C 3 0 3 0 D 3 2 3 2 题型四 根据坐标对称求代数式的值题型四 根据坐标对称求代数式的值 例例 1 1 已知点 P和点 A关于轴对称 那么 23 3 a 23 1 b xba 答案答案 2 3 习题演练 习题演练 1 已知点 A 2a 3b 2 和点 B 8 3a 2b 关于 x 轴对称 那么 a b A 2 B 2 C 0 D 4 答案 答案 A 2 已知 点 P 的坐标是 且点 P 关于轴对称的点的坐标是 则m1 x3 n2 nm 答案 答案 3 1 2 题型五 根据到坐标轴的距离求坐标题型五 根据到坐标轴的距离求坐标 例例 1 1 过点 A 2 3 且垂直于 y 轴的直线交 y 轴于点 B 则点 B 坐标为 A 0 2 B 2 0 C 0 3 D 3 0 答案 答案 C 例例 2 2 已知点 M 到 x 轴的距离为 3 到 y 轴的距离为 2 则 M 点的坐标为 A 3 2 B 3 2 C 3 2 D 2 3 2 3 2 3 2 3 答案 答案 D 例例 3 3 若点 P 到轴的距离是 到轴的距离是 则这样的点 P 有 abx2y3 个 个 个 个 答案 答案 D 习题演练 习题演练 1 1 点 P 位于 x 轴下方 y 轴左侧 距离 x 轴 4 个单位长度 距离 y 轴 2 个单位长度 那么点 P 的坐标是 A 4 2 B 2 4 C 4 2 D 2 4 答案 答案 B 2 2 点 E a b 到 x 轴的距离是 4 到 y 轴距离是 3 则有 A a 3 b 4 B a 3 b 4 C a 4 b 3 D a 4 b 3 答案 答案 D 3 3 已知点 P 的坐标为 2 a 3a 6 且点 P 到两坐标轴的距离相等 则点 P 坐标 是 A 3 3 B 3 3 C 6 一 6 D 3 3 或 6 一 6 答案 答案 D 题型六 根据图形的其他顶点坐标求点坐标题型六 根据图形的其他顶点坐标求点坐标 例例 1 1 在平面直角坐标系中 A B C 三点的坐标分别为 0 0 0 5 2 2 以这三点为平行四边形的三个顶点 则第四个顶点不可能在第 象限 答案 答案 一 习题演练 习题演练 1 一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为 1 1 1 2 3 1 则第四个顶点的坐标为 A 2 2 B 3 2 C 3 3 D 2 3 答案 答案 B 题型七 根据点的坐标求图形的面积题型七 根据点的坐标求图形的面积 例例 1 1 已知点 A 2 0 B 4 0 C 2 3 1 求 A B 两点之间的距离 2 求点 C 到 X 轴的距离 3 求 ABC 的面积 答案 答案 1 6 2 3 3 9 习题演练 习题演练 1 在坐标系中 已知 A 2 0 B 3 4 C 0 0 则 ABC 的面积为 A 4 B 6 C 8 D 3 答案 答案 A 技巧 割补法求面积技巧 割补法求面积 题型八题型八 求平移后的坐标求平移后的坐标 例例 1 1 已知三角形的三个顶点坐标分别是 1 4 1 1 4 1 现将这三个点 先向右平移 2 个单位长度 再向上平移 3 个单位长度 则平移后三个顶点的坐标是 A 2 2 3 4 1 7 B 2 2 4 3 1 7 C 2 2 3 4 1 7 D 2 2 3 3 1 7 答案 答案 A 例例 2 线段 CD 是由线段 AB 平移得到的 点 A 1 4 的对应点为 C 4 7 则点 B 4 1 的对应点 D 的坐标为 A 2 9 B 5 3 C 1 2 D 9 4 答案 答案 C 习题演练 习题演练 1 已知点 将它先向左平移 4 个单位 再向上平移 3 个单位后得到点 32M 则点的坐标是 答案 答案 1 1 题型九 图形变换后点的坐标题型九 图形变换后点的坐标 例 4 将点沿轴的正方向平移个单位得到点的坐标是 2 2 P x4 P 2 6 6 2 2 2 22 解析 将点 P 沿轴的正方向平移时 横坐标发生变化 然纵坐标是不变化的 于x 是点的坐标为 2 2 即选 C P 点评 处理类似问题不妨新建一个直角坐标系草图分析一下 沿 x 轴正方向平移时 纵坐标的不变性就很直观了 例 5 如图 2 将绕点逆时针旋转 AOB O90 得到 若点的坐标为 A OB A ab 则点的坐标为 A 解析 从图形上可以看出 逆时针旋转后 得到的所在位置也很特殊 90 A OB 即 B 恰好落在 y 轴上 于是点的纵坐标为 a 横坐标应该为 b 故点的坐标为 A A b a 点评 本题分析出得到的所在位置很特殊还算容易 但在处理坐标时更容A OB 易粗心致错 即认为点的横坐标应该为 b 忽视逆时针旋转后点 A 所在象限变化到第二 A 象限了 例例 1 1 如图 4 所示 将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2006 次 点