排列数、组合数公式及二项式定理的应用

排列数 组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 刘 1 排列数公式 排列数公式 m n A 1 1 mnnn mn n n m N 且m n 2 排列恒等式排列恒等式 1 1 1 mm nn AnmA 2 1 mm nn n AA nm 3 1 1 mm nn AnA 4 1 1 nnn nnn nAAA 5 1 1 mmm nnn AAmA 6 1 2 2 3 3 1 1n nn 3 组合数公式组合数公式 m n C m n m m A A m mnnn 21 1 1 mnm n n N m N 且m n 4 组合数的两个性质组合数的两个性质 1 m n C mn n C 2 m n C 1 m n C m n C 1 5 排列数与组合数的关系排列数与组合数的关系 mm nn Am C 6 二项式定理 二项式定理 011 nnnrn rrnn nnnn abC aC abC abC bnN 注 1 基本概念 二项式展开式 右边的多项式叫做的二项展开式 nab 二项式系数 展开式中各项的系数 r n C 0 1 2 rn 项数 共项 是关于与的齐次多项式 1 r ab 通项 展开式中的第项叫做二项式展开式的通项 用表1r rn rr n C ab 1 rn rr rn TC ab 示 2 注意关键点 项数 展开式中总共有项 1 n 顺序 注意正确选择 其顺序不能更改 与是不同的 ab nab nba 指数 的指数从逐项减到 是降幂排列 的指数从逐项减到 是升幂排列 an0b0n 各项的次数和等于 n 系数 注意正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数依次是 项的系数是与的系数 包括二项式系数 012 rn nnnnn CC CCC ab 3 常用的结论 令 1 abx 0122 1 nrrnn nnnnn xCC xC xC xC xnN 令 1 abx 0122 1 1 nrrnnn nnnnn xCC xC xC xC xnN 4 性质 二项式系数的对称性 与首末两端 对距离 的两个二项式系数相等 即 0n nn CC 1kk nn CC 二项式系数和 令 则二项式系数的和为1ab 012 2 rnn nnnnn CCCCC 变形式 12 21 rnn nnnn CCCC 奇数项的二项式系数和 偶数项的二项式系数和 在二项式定理中 令 则 1 1ab 0123 1 1 1 0 nnn nnnnn CCCCC 从而得到 024213211 1 22 2 rrnn nnnnnnn CCCCCCC 奇数项的系数和与偶数项的系数和 0011222012 012 0011222021 210 0123 0123 1 1 1 1 nnnnnnn nnnnn nnnnnnn nnnnn n n n n axC a xC axC axC a xaa xa xa x xaC a xC axC a xC a xa xa xa xa xaaaaaa xaaaaaa 令则 令则 024 135 1 1 2 1 1 2 nn n nn n aa aaaa aa aaaa 得奇数项的系数和 得偶数项的系数和 二项式系数的最大项 如果二项式的幂指数是偶数时 则中间一项的二项式系数n 取得最大值 如果二项式的幂指数是奇数时 则中间两项的二项式系数 2 n n Cn 1 2 n n C 同时取得最大值 1 2 n n C 系数的最大项 求展开式中最大的项 一般采用待定系数法 设展开式中各项 nabx 系数分别 为 设第项系数最大 应有 从而解 121 n A AA 1r 1 12 rr rr AA AA 出来 r 7 组合数公式的应用 公式 1 m m c m m c 1 m m c 2 m km c 1 1 m km c 此公式可由下面方法推得 从个不同元素中取出个不同元素的组合数为先将其分为1 nmm 1 1 m km c 个元素中不含其中一个元素的和含元素的两类而这两类的组合数分别为1 nm 1 a 1 a 与即得 依此再将组合数分为两类可得 1 m km c m km c 1 1 m km c 1 m km c m km c 1 m km c 1 m km c 1 1 m km c 不断将组合数上标为的项进行如此分类即得公式 1 m km c 1 1 m 公式 2 此公式可由下面方法推得 0 m c k n c 1 m c 1 k n c 2 m c 2 k n c m m c mk n c k nm c 从放在一个盒中的 m 个不同黑球与 n 个不同白球中任取出 k 的球的方法种数为 k nm c 将取出的 k 个球按所含白球数分类 分为含白球数为 0 个 1 个 2 个 k 个共 k 1 类 取 法种数分别为 即得公式 2 下面举例说明以 0 m c k n c 1 m c 1 k n c 2 m c 2 k n c m m c mk n c 上两个公式在数列求和方面的应用 例 1 1 2 2 3 3 4 n n 1 求 n s n s 解 1 2 2 3 3 4 n n 1 2 2 2 c 2 3 c 2 4 c 2 1 n c 2 n s 3 2 n c 3 1 2 nnn 例 2 求 12 22 32 n2 n s 解 2 n2 n 2 1 n c 2 1 nn 2 1 n c 2 2 2 c 2 3 c 2 4 c 2 1 n c n s 2 1 nn 2 得 3 2 n c n s 2 1 nn 3 1 2 nnn n s 2 1 nn 整理得 n s 6 12 1 nnn 例 3 求 13 23 33 n3 n s 解 6 n3 3n2 2n 3 2 n c 6 1 2 nnn 3 2 n c 6 3 2 3 3 c 3 4 c 3 5 c 3 2 n c n s 6 12 1 nnn 2 1 nn 6 3 2 解出并整理得 4 3 n c n s 6 12 1 nnn 2 1 nn n s 用类似的方法可求出 an n4 an n5 的和 n s 4 1 22n n 例 4 一盒内有大小相同的黑球 M 个 白球 N 个 从中任取 m 个球 m M m N 求含有白球的个数 的数学期望 解 由题意 的所有可能取值为 0 1 2 m 分布列为 012 m 1m p m NM m MN c cc 0 m NM m MN c cc 11 m NM m MN c cc 22 m NM M m N c cc 11 m NM M m N c cc 0 E 2 m 1 m m NM c 1 11 m MNc c 22 m MNc c 11 M m N cc 0 M m Nc c E m NM c N N 1 11 m MNc c N 2 22 m MNc c N m1 11 M m N cc N m 0 M m Nc c E m NM c N 10 1 m MN cc 21 1 m MN cc 12 1M m N cc 01 1M m N cc N m m N c 1 1 m N c E 此为超几何分布的数学期望 m NM c N 1 1 m MN c m NM c N MN m m MN c NM Nm 8 二项式定理的应用 题型一 二项式定理的逆用 例 12321 666 nn nnnn CCCC 解 与已知的有一些差距 012233 16 6666 nnn nnnnn CCCCC 12321122 1 666 666 6 nnnn nnnnnnn CCCCCCC 0122 111 6661 16 1 71 666 nnnn nnnn CCCC 练 1231 393 nn nnnn CCCC 解 设 则 1231 393n n nnnnn SCCCC 12233012233 3333333331 1 3 1 nnnnn nnnnnnnnnn SCCCCCCCCC 1 3 141 33 nn n S 题型二 利用通项公式求的系数 n x 例 在二项式的展开式中倒数第项的系数为 求含有的项的系数 32 4 1 nx x 345 3 x 解 由条件知 即 解得 2 45 n n C 2 45 n C 2 900nn 9 10nn 舍去或 由 由题意 21021 10 3434 11010 r r rrrr r TCxxC x 102 3 6 43 r rr 解得 则含有的项是第项 系数为 3 x7 633 6 110 210TC xx 210 练 求展开式中的系数 29 1 2 x x 9 x 解 令 则 2918 218 3 1999 111 222 rrrrrrrrrr r TCxC xxCx x 1839r 3r 故的系数为 9 x 33 9 121 22 C 题型三 利用通项公式求常数项 例 求二项式的展开式中的常数项 210 1 2 x x 解 令 得 所以 5 20 2 10 2 11010 11 22 r rrrrr r TCxCx x 5 200 2 r 8r 88 910 145 2256 TC 练 求二项式的展开式中的常数项 6 1 2 2 x x 解 令 得 所 666 2 166 11 2 1 1 2 22 rrrrrrrrr r TCxCx x 620r 3r 以 33 46 1 20TC 练 若的二项展开式中第项为常数项 则 2 1 nx x 5 n 解 令 得 42444212 5 1 nn nn TCxC x x 2120n 6n 题型四 利用通项公式 再讨论而确定有理数项 例 求二项式展开式中的有理项 93 xx 解 令 得 1271 9 362 199 1 r rrrrr r TCxxC x 27 6 r Z 09r 39rr 或 所以当时 3r 27 4 6 r 3344 49 1 84TC xx 当时 9r 27 3 6 r 3933 109 1 TC xx 题型五 奇数项的二项式系数和 偶数项的二项式系数和 例 若展开式中偶数项系数和为 求 2 32 1 nx x 256 n 解 设展开式中各项系数依次设为 2 32 1 nx x 01 n a aa 则有 则有1x 令 01 0 n aaa 1x 令 0123 1 2 nn n aaaaa 将 得 135 2 2 n aaa 1 135 2 n aaa 有题意得 18 22562 n 9n 练 若的展开式中 所有的奇数项的系数和为 求它的中间项 35 2 11 n xx 1024 解 解 024213211 2 rrn nnnnnnn CCCCCCC 1 21024 n 得11n 所以中间两个项分别为 6 7nn 5654 35 5 1 2 11 462 n TCx xx 61 15 6 1 462Tx 题型六 最大系数 最大项 例 已知 若展开式中第项 第项与第项的二项式系数成等差数列 求展 1 2 2 n x 567 开式中二项式系数最大项的系数是多少 解 解出 当时 展开式中二 4652 2 21980 nnn CCCnn 714nn 或7n 项式系数最大的项是 45 TT和 343 47 135 2 22 TC 的系数 当时 展开式中二项式系数最大的项是 434 57 1 270 2 TC 的系数14n 8 T 777 814 1 C 23432 2 T 的系数 练 在的展开式中 二项式系数最大的项是多少 2 n ab 解 二项式的幂指数是偶数 则中间一项的二项式系数最大 即 也就是2n 21 1 2 nn TT 第项 1n 练 在的展开式中 只有第项的二项式最大 则展开式中的常数项是多少 3 1 2 n x x 5 解 只有第项的二项式最大 则 即 所以展开式中常数项为第七项等于515 2 n 8n 62 8 1 7 2 C 例 写出在的展开式中 系数最大的项 系数最小的项 7 ab 解 因为二项式的幂指数是奇数 所以中间两项 的二项式系数相等 且同时74 5第项 取得最大值 从而有的系数最小 系数最大 343 47 TC a b 434 57 TC a b 例 若展开式前三项的二项式系数和等于 求的展开式中系数最大的项 79 1 2 2 n x 解 由解出 假设项最大 012 79 nnn CCC 12n 1r T 121212 11 2 14 22 xx 化简得到 又 11 11212 11 12 1212 44 44 rrrr rr rrrr rr AACC AA CC 9 410 4r 012r 展开式中系数最大的项为 有10r 11 T 1210101010 1112 1 416896 2 TCxx 例 在 的展开式中 系数绝对值最大项是 7 yx 解 求系数绝对最大问题都可以将 型转化为型来处理 n ba n ba 故此答案为第 4 项 和第 5 项 43 4 7 yx C 52 5 7 yx C 练 在的展开式中系数最大的项是多少 10 12 x 解 假设项最大 1r T 110 2 rrr r TCx 化简得到 11 10101 11 12 1010 222 11 12 10 22 rrrr rr rrrr rr CCAArr AArr CC 解得 又 展开式中系数最大的项为6 37 3k 010r 7r 7777 8102 15360 TCxx 题型七 含有三项变两项 例 求当的展开式中的一次项的系数 25 32 xx x 解法 当且仅当时 2525 32 2 3 xxxx 25 15 2 3 rrr r TCxx 1r 的展开式中才有 x 的一次项 此时 所以得一 1r T 124 125 2 3 r TTCxx x 次项为 144 542 3 C Cx 它的系数为 144 542 3 240C C 解法 255505145051455 555555 32 1 2 22 xxxxC xC xCC xC xC 故展开式中含的项为 故展开式中的系数为 240 x 45544 555 22240C xCC xx x 练 求式子的常数项 3 1 2 x x 解 设第项为常数项 则 36 11 2 xx x x 1r 得 66 2 6 166 1 1 1 rr rrrr r TCxCx x 620r 3r 33 3 16 1 20TC 题型八 两个二项式相乘 例 342 12 1 xxx 求展开式中的系数 解 3 33 12 2 2 mmmmm xxx 的展开式的通项是CC 4 44 1 C C1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 nnnnn xxxmn 的展开式的通项是其中 34 2 02 11 20 12 1 mnmnmnmnxx 令则且且且因此 2002211112200 343434 2 1 2 1 2 1 6xCCCCCC 的展开式中的系数等于 练 6103 4 1 1 1 x x 求展开式中的常数项 解 43 6103 3412 610610 4 1 1 1 mnmn mnmn xC xC xCCx x 展开式的通项为 0 3 6 0 1 2 6 0 1 2 10 43 0 4 8 mmm mnmn nnn 其中当且仅当即或或 003468 610610610 4246CCCCCC 时得展开式中的常数项为 练 2 3 1 1 28 n xxxnNnn x 已知的展开式中没有常数项且则 解 34 3 1 CC nrn rrrnr nn xxxx x 展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得 44142 C C C 28 rnrrnrrnr nnn xxxn 展开式中不含常数项 441424 83 72 6 5 nrnrnrnnnn 且且 即且且 题型九 奇数项的系数和与偶数项的系数和 例 2006 2 2 xxSxS 在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当时 解 20061232006 01232006 2 xaa xa xa xax 设 20061232006 01232006 2 xaa xa xa xax 35200520062006 1352005 2 2 2 a xa xa xaxxx 得 200620062006 1 2 2 2 2 xS xxx 展开式的奇次幂项之和为 3 2006 2 200620063008 12 2 2 22 22 2 22 xS 当时 题型十 赋值法 例 设二项式的展开式的各项系数的和为 所有二项式系数的和为 若 3 1 3 nx x ps 则等于多少 272ps n 解 若 有 23 012 1 3 n n n xaa xa xa x x 01n Paaa 0 2 nn nn SCC 令得 又 即解得1x 4nP 272ps 42272 217 216 0 nnnn 216217 nn 或舍去4n 练 若 n x x 1 3的展开式中各项系数之和为 则展开式的常数项为多少 64 解 令 则 n x x 1 3的展开式中各项系数之和为 所以6n 则展开1x 264 n 式的常数项为 333 6 1 3 Cx x 540 例 20091232009 200912 01232009 22009 1 2 222 aaa xaa xa xa xaxxR 若则的值为 解 200920091212 00 2200922009 1 0 2222222 aaaaaa xaa 令可得 200912 0 22009 01 1 222 aaa xa 在令可得因而 练 554321 54321012345 2 xa xa xa xa xa xaaaaaa 若则 解 0012345 032 11 xaxaaaaaa 令得令得 12345 31 aaaaa 题型十一 整除性 例 02 潍坊模拟 求证 能被 7 整除 15151 证明 15151 1 249 51 1 2 2 49 2 49 2 49 49 51 51 51 50 50 51 249 2 51 50 1 51 51 0 51 CCCCC 49P 1251 NP 又 1 2 12 17351 7 1 171 1 7 7 7 7 17 17 16 17 15 2 17 16 1 17 17 0 17 CCCCC 7Q Q N 77715151QPQP 能被 7 整除 15151 例 证明 能被 64 整除 22 389 n nnN 证 2211 389989 8 1 89 nnn nnn 0111211 11111 888889 nnnnn nnnnn CCCCCn 01112 111 8888 1 1 89 nnn nnn CCCnn 01112 111 888 nnn nnn CCC 由于各项均能被 64 整除 22 389 64 n nnN 能被整除 题型十二 利用二项式定理求近似值 例 15 求的近似值 使误差小于 6 998 0 001 0 分析 因为 故可以用二项式定理展开计算 6 998 0 6 002 0 1 解 6 998 0 6 002 0 1 621 002 0 002 0 15 002 0 61 001 0 00006 0 002 0 15 002 0 22 2 6 3 CT 且第 3 项以后的绝对值都小于 001 0 从第 3 项起 以后的项都可以忽略不计 6 998 0 6 002 0 1 002 0 61 988 0 012 0 1 小结 由 当的绝对值与 1 相比很小 n n nnn n xxxx CCC 1 1 2 21 x 且很大时 等项的绝对值都很小 因此在精确度允许的范围内可以忽略n n xxx 32 不计 因此可以用近似计算公式 在使用这个公式时 要注意按问nxx n 1 1 题对精确度的要求 来确定对展开式中各项的取舍 若精确度要求较高 则可以使用更 精确的公式 2 2 1 1 1 x nn nxx n 作业 1 求的展开式 4 1 3 x x 解 原式 4 13 x x 2 4 13 x x 3 3 3 3 14 4 3 4 2 2 4 3 1 4 4 0 42CCCCC xxxx x 112548481 1 234 2 xxxx x 54 112 8481 2 2 xx xx 2 计算 cCCC n n nn nnn 3 1 27931 321 解 原式 nnn nnnnnCCCCC 2 31 3 3 3 3 3 3 3 2 2 1 10 3 03 全国 展开式中的系数是 92 2 1 x x 9 x 解 rr r r x xT C 2 1 92 9 1 rrr r x x C 1 2 1 218 9 xr r x C 318 9 2 1 令则 从而可以得到的系数为 9318 x3 r 9 x 填 2 21 2 1 3 3 9 C 2 21 4 02 全国 的展开式中 项的系数是 72 2 1 xx 3 x 解 在展开式中 的来源有 3 x 第一个因式中取出 则第二个因式必出 其系数为 2 xx 6 6 7 2 C 第一个因式中取出 1 则第二个因式中必出 其系数为 3 x 4 4 7 2 C 的系数应为 填 3 x 1008 2 2 4 4 7 6 6 7CC 1008 5 04 安徽改编 的展开式中 常数项是 3 2 1 x x 解 3 6 3 2 3 1 1 2 1 x x x x x x 上述式子展开后常数项只有一项 即 3 33 3 6 1 x x C 20 6 00 京改编 求 的展开式的中间项 10 3 1 x x 解 展开式的中间项为 1 3 10 10 1 rr r r x xT C 5 3 5 5 10 1 x x C 即 6 5 252x 当为奇数时 的展开式的中间项是和 n n ba 2 1 2 1 2 1 nn n n ba C 2 1 2 1 2 1 nn n n ba