异面直线所成角问题

学习资料 异面直线所成角问题异面直线所成角问题 1 2016 全国卷 平面 过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A 平面CB1D1 平面ABCD m 平面ABB1A1 n 则m n所成角的正弦值为 A B C D 3 2 2 2 3 3 1 3 解析 A 在正方体ABCD A1B1C1D1外依次再作两个一样的正方体 如图所示 易知 AE B1D1 AF CD1 所以平面AEF 平面CB1D1 即平面AEF就是过点A的平面 所以 AE为平面 与平面ABCD的交线 即为m AF为平面 与平面ABB1A1的交线 即为n 所以m n所成角即为AE与AF所成角 也是B1D1与CD1所成角 为 CD1B1 而 CD1B1为等 边三角形 因此 CD1B1 所以 sin CD1B1 3 3 2 2 三棱柱ABC A1B1C1的底面是正三角形 侧棱垂直于底面 底面边长为 2 高为 M是 2 AB的中点 则直线CM与BC1所成的角等于 答案 45 解析 如图所示 取A1B1的中点N 连接C1N MN 则C1N CM 所以 BC1N即为异面直线CM与BC1所成的角 由题意易得C1N BN BC1 所 336 以三角形BNC1为等腰直角三角形 则 BC1N 45 3 2015 浙江卷 如图所示 在三棱锥A BCD中 AB AC BD CD 3 AD BC 2 点 M N分别为AD BC的中点 则异面直线AN CM所成的角的余弦值是 答案 解析 连接ND 取ND的中点为E 则ME AN 则异面直线AN CM所成的角 7 8 为 EMC 因为AN ND MC 2 所以 32 122 ME CE 则 cos EMC 2 2 2 123 CM2 ME2 CE2 2CM ME 8 2 3 2 22 2 7 8 学习资料 4 2016 湖南衡阳一模 如图所示 在底面为正方形的四棱锥P ABCD中 PA PB PC PD AB 2 点E为棱PA的中点 则异面直线BE与PD所成角的余弦值为 答案 取AD的中点F 连接EF BF 因为E为PA的中点 所以EF PD EF PD 1 因 3 6 1 2 为三角形PAB为等边三角形 所以BE 因为四边形ABCD为正方形 所以BF 3 所以在三角形BEF中 由余弦定理得 cos BEF AB2 AF222 125 所以异面直线BE与PD所成角的余弦值为 3 2 12 5 2 2 3 1 3 6 3 6 5 2016 湖南郴州摸底 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是线段B1C1上的动点 则异面直线AE与D1C所成的角为 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 D 解析 1 连接AB1 AC1 CD1 B1C1 CD1 AB1 AB1 B1C1 B1 CD1 平面AB1C1 AE 平面AB1C1 AE D1C 异面直线AE与D1C所成的角为 90 6 2016 长春四模 六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形 侧棱垂直于底面 且 侧棱长等于底面边长 则直线AE与CB1所成角的余弦值为 答案 解析 连接AF1 EF1 CB1 EF1 AEF1是异面直线AE与CB1所成的角 6 4 设AB 1 则AF1 EF1 2 AE2 1 1 2 1 1 cos 120 3 即AE 3 cos AEF1 3 2 2 2 3 2 6 4 直线AE与CB1所成角的余弦值为 6 4 7 2016 海南文昌中学期末 如图所示 已知在四面体ABCD中 E F分别是AC BD的 学习资料 中点 若AB 2 CD 4 EF AB 则EF与CD所成角的大小为 答案 30 解析 取 AD 的中点 G 连接 FG EG 又 E F 分别为 AC BD 的中点 所以 FG AB 且 FG 1 EG CD 且 EG 2 所以 EF 与 CD 所成的角即为 EF 与 EG 所成的 角 即 FEG 又 EF AB 即 EFG 90 所以 FEG 30 8 2016 衡水中学六调 如图所示 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面四边形ABCD为 正方形 AA1 2AB 则异面直线A1B与AD1所成的角的余弦值为 A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 答案 D 解析 连接 BC1 A1C1 则 BC1 AD1 A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所 成的角 记 AB 1 则 A1B BC1 A1C1 在三角形 A1BC1中 由余弦定理得 52 cos A1BC1 所以异面直线 A1B 与 AD1所成的角的余弦值为 5 5 2 2 5 5 4 5 4 5 9 2016 浙江五校二联 如图所示 在边长为 1 的菱形ABCD中 DAB 60 沿BD 将 ABD翻折 得到三棱锥A BCD 则当三棱锥A BCD的体积最大时 异面直线AD与BC所 成的角的余弦值为 A B C D 5 8 1 4 13 16 2 3 答案 B 解析 在平面 BCD 内过 D 作 DE BC 且 DE BC 则 ADE 即为异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角 连接 BE AE 设 BD 的中点为 O 连接 AO EO 当三棱锥 A BCD 的 体积最大时 平面 ABD 平面 BCD 所以 AO EO 于是 AE 在三角形 AO2 EO2 6 2 AED 中 cos ADE 所以异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为 1 1 6 2 2 2 1 1 1 4 1 4 10 2016 哈尔滨六中模拟 如图所示 在四棱锥P ABCD中 ABC BAD 90 BC 2AD PAB和 PAD都是等边三角形 则异面直线CD与PB所成角的大小为 学习资料 A 90 B 75 C 60 D 45 答案 A 解析 延长 DA 到 E 使 AE DA 连接 PE BE ABC BAD 90 BC 2AD AE DA DE BC DE BC 四边形 CBED 是平行四边形 CD BE PBE 就是异面直线 CD 与 PB 所成的角 PAD 是等边三角形 PAD 60 PAE 120 在 PAE 中 AE PA PAE 120 PE AE PA2 AE2 2PA AEcos PAE3 在 ABE 中 AE AB BAE 90 BE AE 2 PAB 是等边三角形 PB AB AE 在 PBE 中 PE AE BE AE PB AE 32 PB2 BE2 PE2 PBE 是直角三角形 且 PBE 90 故选A 11 2014 全国卷 已知正四面体ABCD中 E是AB的中点 则异面直线CE与BD所成角 的余弦值为 A B C D 1 6 3 6 1 3 3 3 答案 B 解析 如图所示 取AD的中点F 连接EF CF 则EF BD 故EF与CE 所成的角即为异面直线CE与BD所成的角 设正四面体的棱长为 2 则 CE CF EF 1 在 CEF中 cos CEF 所 3 CE2 EF2 CF2 2CE EF 3 1 3 2 3 1 3 6 以异面直线CE与BD所成角的余弦值为 3 6 12 如图是三棱锥D ABC连接DO后的三视图 点O在三个视图中都是所在边的中点 则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于 A B C D 3 3 1 23 2 2 学习资料 答案 A 解析 由题意 从A出发的三条线段AB AC AD两两垂直且 AB AC 2 AD 1 O是BC的中点 取AC的中点E 连接DE OE 则OE 1 易知 AE 1 由于OE AB 故 DOE即为异面直线DO与AB所成的角或其补角 易知AB 平面 DAC 又OE AB 所以OE 平面DAC 所以OE DE 即 DEO为直角三角形 在 DBC中 易知DC DB OC 所以DO 所以 cos DOE 525 23 OE DO 1 3 3 3 13 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB AD的中点 则异面直线B1C 与EF所成的角的大小为 答案 60 解析 连接B1D1 D1C 则B1D1 EF 故 D1B1C为所求 又B1D1 B1C D1C D1B1C 60 14 直三棱柱ABC A1B1C1中 若 BAC 90 AB AC AA1 则异面直线BA1与AC1所成的 角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 如图 可补成一个正方体 AC1 BD1 BA1与AC1所成角的大小为 A1BD1 又易知 A1BD1为正三角形 A1BD1 60 学习资料 即BA1与AC1成 60 的角 15 2014 广州模拟 在正四棱锥V ABCD中 底面正方形ABCD的边长为 1 侧棱长为 2 则异面直线VA与BD所成角的大小为 A B C D 6 4 3 2 答案 D 解析 如图所示 设AC BD O 连接VO 由于四棱锥V ABCD是正四棱锥 所以VO 平面ABCD 故BD VO 又四边形ABCD是正方形 所以BD AC 所以BD 平面 VAC 所以BD VA 即异面直线VA与BD所成角的大小为 2 16 2014 西安模拟 在三棱锥P ABC中 PA 底面ABC AC BC PA AC BC 则直线 PC与AB所成角的大小是 答案 60 解析 分别取PA AC CB的中点F D E连接FD DE EF AE 则 FDE是直线PC与AB所成角或其补角 设PA AC BC 2a 在 FDE中 易求得FD a DE a FE a 226 根据余弦定理 得 cos FDE 2a2 2a2 6a2 2 2a 2a 1 2 所以 FDE 120 所以直线PC与AB所成角的大小是 60 17 如图所示 在正三棱柱ABC A1B1C1中 D是AC的中点 AA1 AB 1 则异面 2 直线AB1与BD所成的角为 学习资料 答案 60 解析 在平面ABC内 过A作DB的平行线AE 过B作BH AE于H 连 接B1H 则在 Rt AHB1中 B1AH为AB1与BD所成角 设AB 1 则A1A B1A 2 AH BD 3 3 2 cos B1AH B1AH 60 AH AB1 1 2 18 已知三棱锥A BCD中 AB CD 且直线AB与CD成 60 角 点M N分别是BC AD的 中点 求直线 AB 和 MN 所成的角 解 如图 取AC的中点P 连接PM PN 则PM AB 且PM AB 1 2 线AB和MN所成的角 PN CD 且PN CD 1 2 MPN为AB与CD所成的角 或所成角的补角 则 MPN 60 或 MPN 120 若 MPN 60 PM AB PMN是AB与MN所成的角 或所成角的补角 学习资料 又 AB CD PM PN 则 PMN是等边三角形 PMN 60 即AB与MN所成的角为 60 若 MPN 120 则易知 PMN是等腰三角形 PMN 30 19 正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求AC与A1D所成角的大小 2 若E F分别为AB AD的中点 求A1C1与EF所成角的大小 解析 1 如图所示 连接B1C 由ABCD A1B1C1D1是正方体 易知A1D B1C 从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角 AB1 AC B1C B1CA 60 即A1D与AC所成的角为 60 2 如图所示 连接AC BD 在正方体ABCD A1B1C1D1中 AC BD AC A1C1 E F分别为AB AD的中点 EF BD EF AC 学习资料 EF A1C1 即A1C1与EF所成的角为 90 20 13 分 2016 冀州中学模拟 如图 K39 9 所示 在三棱锥P ABC中 PA 平面 ABC BAC 60 PA AB AC 2 E是PC的中点 1 求证 AE与PB是异面直线 2 求异面直线AE和PB所成角的余弦值 解 1 证明 假设 AE 与 PB 共面 设平面为 A B E 平面 即为平面 ABE P 平面 ABE 这与 P 平面 ABE 矛盾 假设不成立 AE 与 PB 是异面直线 2 取 BC 的中点 F 连接 EF AF 则 EF PB AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成角 BAC 60 PA AB AC 2 PA 平面 ABC AF AE EF 322 cos AEF 2 2 3 2 2 2 1 4 异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 1 4 21 12 分 2016 湖南十三校二联 如图 K39 10 所示 在四棱锥O ABCD中 底面 ABCD是边长为 1 的菱形 ABC OA 底面ABCD OA 2 M为OA的中点 4 1 求异面直线AB与MD所成角的大小 2 求点B到平面OCD的距离 学习资料 解 1 CD AB MDC 或其补角即为异面直线 AB 与 MD 所成的角 作 AP CD 于 P 连接 MP OA 平面 ABCD OA CD 又 AP CD OA AP A CD 平面 MAP CD MP ADP AP CD AD 1 DP 4 2 2 MD cos MDP MDC MDP MA2 AD22 DP MD 1 2 3 AB 与 MD 所成角的大小为 3 2 易知 AB 平面 OCD 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等 连接 OP 过点 A 作 AQ OP 于点 Q 由 1 知 CD 平面 MAP AQ 平面 MAP AQ CD 又 AQ OP OP CD P AQ 平面 OCD 线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距 离 OP AP DP OD2 DP2OA2 AD2 DP2 4 1 1 2 32 2 2 2 AQ 点 B