中考复习专题—二次函数压轴题

1 中考复习专题 七 中考复习专题 七 二次函数压轴题专训二次函数压轴题专训 题型一 面积问题题型一 面积问题 例例 1 1 2009 湖南益阳 如图 2 抛物线顶点坐标为点C 1 4 交x轴于点A 3 0 交y轴于点B 1 求抛物线和直线AB的解析式 2 求 CAB的铅垂高CD及S CAB 3 设点P是抛物线 在第一象限内 上的一个动点 是否存在一点P 使S PAB S 8 9 CAB 若存在 求出P点的坐标 若不存在 请说明理由 变式练习变式练习 1 2009 广东省深圳市 如图 在直角坐标系中 点A的坐标为 2 0 连结OA 将线 段OA绕原点O顺时针旋转 120 得到线段OB 1 求点B的坐标 2 求经过A O B三点的抛物线的解析式 3 在 2 中抛物线的对称轴上是否存在点C 使 BOC的周长最小 若存在 求出点C 的坐标 若不存在 请说明理由 4 如果点P是 2 中的抛物线上的动点 且在x轴的下方 那么 PAB是否有最大面 积 若有 求出此时P点的坐标及 PAB的最大面积 若没有 请说明理由 Ax y B O x C O y A B D 1 1 图 2 2 2 2010 绵阳 如图 抛物线y ax2 bx 4 与x轴的两个交点分别为A 4 0 B 2 0 与y轴交于点C 顶点为D E 1 2 为线段BC的中点 BC的垂直平分线与 x轴 y轴分别交于F G 1 求抛物线的函数解析式 并写出顶点D的坐标 2 在直线EF上求一点H 使 CDH的周长最小 并求出最小周长 3 若点K在x轴上方的抛物线上运动 当K运动到什么位置时 EFK的面积最大 并求出最大面积 3 2012 铜仁 如图 已知 直线交 x 轴于点 A 交 y 轴于点 B 抛物线3 xy y ax2 bx c 经过 A B C 1 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点 D 的坐标为 1 0 在直线上有一点 P 使 ABO 与 ADP 相3 xy 似 求出点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 在 x 轴下方的抛物线上 是否存在点 E 使 ADE 的面积等 于四边形 APCE 的面积 如果存在 请求出点 E 的坐标 如果不存在 请说明理由 C E D G A x y OBF 3 题型二 构造直角三角形题型二 构造直角三角形 例例 2 2 2010 山东聊城 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛 物线经过A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 1 求这条抛物线所对应的函数关系式 2 在抛物线的对称轴x 1 上求一点M 使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小 并求此时点M的坐标 3 设点P为抛物线的对称轴x 1 上的一动点 求使 PCB 90 的点P的坐标 E 变式练习变式练习 1 2012 广州 如图 抛物线 y 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左 侧 与 y 轴交于点 C 1 求点 A B 的坐标 2 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点 当 ACD 的面积等于 ACB 的面积时 求 点 D 的坐标 3 若直线 l 过点 E 4 0 M 为直线 l 上的动点 当以 A B M 为顶点所作的直角三角 形有且只有三个时 求直线 l 的解析式 4 O 1 1 x y 2 2009 成都 在平面直角坐标系 xOy 中 已知抛物线 y 与 x 轴交于 2 1 0 a xc a A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 其顶点为 M 若直线 MC 的函数表达式为 与 x 轴的交点为 N 且 COS BCO 3ykx 3 10 10 1 求此抛物线的函数表达式 2 在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P 使以 N P C 为顶点的三角形是以 NC 为一 条直角边的直角三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 过点 A 作 x 轴的垂线 交直线 MC 于点 Q 若将抛物线沿其对称轴上下平移 使抛物线 与线段 NQ 总有公共点 则抛物线向上最多可平移多少个单位长度 向下最多可平移多少个 单位长度 3 2012 杭州 在平面直角坐标系内 反比例函数和二次函数 y k x2 x 1 的图象交于 点 A 1 k 和点 B 1 k 1 当 k 2 时 求反比例函数的解析式 2 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大 求 k 应满足的条件以及 x 的 取值范围 3 设二次函数的图象的顶点为 Q 当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时 求 k 的值 5 4 如图 1 抛物线与y轴交于点A E 0 b 为y轴上一动点 过点E4 2 yxx 的直线与抛物线交于点B C yxb 1 求点A的坐标 2 当b 0 时 如图 2 与的面积大小关系如何 当时 上述关ABEAACEA4b 系还成立吗 为什么 3 是否存在这样的b 使得是以BC为斜边的直角三角形 若存在 求出b 若BOCA 不存在 说明理由 y x C B A O E y x C B A O E 第 26 题 图 1 图 2 6 题型三 构造等腰三角形题型三 构造等腰三角形 例例 3 3 如图 已知抛物线3 2 bxaxy a 0 与x轴交于点 A 1 0 和点 B 3 0 与 y 轴交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 在 x 轴上是否存在一点 Q 使得 ACQ 为等腰三角形 若存在 请直接写出所有符合 条件的点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 设抛物线的对称轴与x轴交于点 M 问在对称轴上是否存在点 P 使 CMP 为等腰 三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 变式练习变式练习 1 如图 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 m m 点 B 的坐标为 n n 抛物线 经过 A O B 三点 连接 OA OB AB 线段 AB 交 y 轴于点 C 已知实数 m n m n 分 别是方程 x2 2x 3 0 的两根 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 为线段 OB 上的一个动点 不与点 O B 重合 直线 PC 与抛物线交于 D E 两 点 点 D 在 y 轴右侧 连接 OD BD 当 OPC 为等腰三角形时 求点 P 的坐标 求 BOD 面积的最大值 并写出此时点 D 的坐标 7 2 如图 抛物线经过的三个顶点 已知轴 点在 2 54yaxax ABC BCx A 轴上 点 C 在轴上 且 AC BC xy 1 写出 A B C 三点的坐标并求抛物线的解析式 2 探究 若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点 是否存在是等腰三角PxPAB 形 若存在 求出所有符合条件的点坐标 不存在 请说明理由 P 3 2010 黄冈 已知抛物线顶点为 C 1 1 且过原点 O 过抛物 2 0 yaxbxc a 线上一点 P x y 向直线作垂线 垂足为 M 连 FM 如图 5 4 y 1 求字母 a b c 的值 2 在直线 x 1 上有一点 求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标 并 3 1 4 F 证明此时 PFM 为正三角形 3 对抛物线上任意一点 P 是否总存在一点 N 1 t 使 PM PN 恒成立 若存在请求 出 t 值 若不存在请说明理由 题型四 构造相似三角形题型四 构造相似三角形 A CB y x 0 1 1 8 例例 4 4 2011 临沂 如图 已知抛物线经过 A 2 0 B 3 3 及原点 O 顶点为 C 1 求抛物线的解析式 2 若点 D 在抛物线上 点 E 在抛物线的对称轴上 且 A O D E 为顶点的四边形是平 行四边形 求点 D 的坐标 3 P 是抛物线上的第一象限内的动点 过点 P 作 PM x 轴 垂足为 M 是否存在点 P 使得以 P M A 为顶点的三角形 BOC 相似 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说 明理由 变式练习变式练习 1 2012 天水 如图 已知抛物线经过 A 4 0 B 1 0 C 0 2 三点 1 求该抛物线的解析式 2 在直线 AC 上方的该抛物线上是否存在一点 D 使得 DCA 的面积最大 若存在 求出 点 D 的坐标及 DCA 面积的最大值 若不存在 请说明理由 3 P 是直线 x 1 右侧的该抛物线上一动点 过 P 作 PM x 轴 垂足为 M 是否存在 P 点 使得以 A P M 为顶点的三角形与 OAC 相似 若存在 请求出符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 9 2 如图 二次函数的图象经过点 D 0 且顶点 C 的横坐标为 4 该图象在 x 轴上 3 9 7 截得的线段 AB 的长为 6 1 求二次函数的解析式 2 在该抛物线的对称轴上找一点 P 使 PA PD 最小 求出点 P 的坐标 3 在抛物线上是否存在点 Q 使 QAB 与 ABC 相似 如果存在 求出点 Q 的坐标 如 果不存在 请说明理由 例例 5 5 2012 苏州 如图 已知抛物线 y x2 b 1 x b 是实数且 b 2 与 x 轴的 正半轴分别交于点 A B 点 A 位于点 B 的左侧 与 y 轴的正半轴交于点 C 1 点 B 的坐标为 点 C 的坐标为 用含 b 的代数式表示 2 请你探索在第一象限内是否存在点 P 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b 且 PBC 是 以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形 如果存在 求出点 P 的坐标 如果不存在 请说明 理由 3 请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两 个三角形均相似 全等可作相似的特殊情况 如果存在 求出点 Q 的坐标 如果不存在 请说明理由 10 11 变式练习变式练习 1 2012 上海宝山 如图 平面直角坐标系中 已知点 A 2 3 线段垂直于轴 xOyABy 垂足为 将线段绕点 A 逆时针方向旋转 90 点 B 落在点处 直线与轴的BABCBCx 交于点 D 1 试求出点 D 的坐标 2 试求经过 三点的抛物线的表达式 ABD 并写出其顶点 E 的坐标 3 在 2 中所求抛物线的对称轴上找点 使得F 以点 为顶点的三角形与 ACD 相似 AEF 2 2012 上海杨浦区 已知直线与x轴交于点A 与y轴交于点B 将 AOB 1 1 2 yx 绕点O顺时针旋转 使点A落在点C 点B落在点D 抛物线过点90 2 yaxbxc A D C 其对称轴与直线AB交于点P 1 求抛物线的表达式 2 求 POC的正切值 3 点M在x轴上 且 ABM与 APD相似 求点M的 坐标 图 7 1 1 x y B A O x y O 1 1 12 3 2012 宁波 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象交 x 轴于 A 1 0 B 2 0 交 y 轴于 C 0 2 过 A C 画直线 1 求二次函数的解析式 2 点 P 在 x 轴正半轴上 且 PA PC 求 OP 的长 3 点 M 在二次函数图象上 以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切 切点为 H 若 M 在 y 轴右侧 且 CHM AOC 点 C 与点 A 对应 求点 M 的坐标 若 M 的半径为 求点 M 的坐标 13 题型五 构造梯形题型五 构造梯形 例例 6 6 已知 矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图 1 所示 点A的坐标为 4 0 点 C的坐标为 直线与边BC相交于点D 20 xy 3 2 1 求点D的坐标 2 抛物线经过点A D O 求此抛物线的表达式 cbxaxy 2 3 在这个抛物线上是否存在点M 使O D A M为顶点的四边形是梯形 若存在 请 求出所有符合条件的点M的坐标 若不存在 请说明理由 变式练习变式练习 1 已知平面直角坐标系xOy中 抛物线y ax2 a 1 x与直线y kx的一个公共点为 A 4 8 1 求此抛物线和直线的解析式 2 若点P在线段OA上 过点P作y轴的平行线交 1 中抛物线于点Q 求线段PQ长 度的最大值 3 记 1 中抛物线的顶点为M 点N在此抛物线上 若四边形AOMN恰好是梯形 求点 N的坐标及梯形AOMN的面积 2 2011 义乌 已知二次函数的图象经过A 2 0 C 0 12 两点 且对称轴为直线 14 x 4 设顶点为点P 与x轴的另一交点为点B 1 求二次函数的解析式及顶点P的坐标 2 如图 1 在直线 y 2x上是否存在点D 使四边形OPBD为等腰梯形 若存在 求出 点D的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 2 点M是线段OP上的一个动点 O P两点除外 以每秒个单位长度的速2 度由点P向点O 运动 过点M作直线MN x轴 交PB于点N 将 PMN沿直线MN对折 得到 P1MN 在动点M的运动过程中 设 P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S 运 动时间为t秒 求S关于t的函数关系式 3 如图 1 二次函数的图象与x轴交于A B两点 与y轴交于点 0 2 pqpxxy C 0 1 ABC的面积为 4 5 1 求该二次函数的关系式 2 过y轴上的一点M 0 m 作y轴的垂线 若该垂线与 ABC的外接圆有公共点 求 m的取值范围 3 在该二次函数的图象上是否存在点D 使以A B C D为顶点的四边形为直角梯形 若存在 求出点D的坐标 若不存在 请说明理由 15 题型六 构造平行四边形题型六 构造平行四边形 例例 7 7 2010 陕西 如图 在平面直角坐标系中 抛物线经过 A 1 0 B 3 0 C 0 1 三点 1 求该抛物线的表达式 2 点 Q 在 y 轴上 点 P 在抛物线上 要使以点 Q P A B 为顶点的四边形是平行四边 形 求所有满足条件的点 P 的坐标 变式练习变式练习 1 2012 成都 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数 m 为常数 的图象 与 x 轴交于点 A 3 0 与 y 轴交于点 C 以直线 x 1 为对称轴的抛物线 y ax2 bx c a b c 为常数 且 a 0 经过 A C 两点 并与 x 轴的正半轴交于点 B 1 求 m 的值及抛物线的函数表达式 2 设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点 过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F 是否存在 这样的点 E 使得以 A C E F 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出点 E 的坐 标及相应的平行四边形的面积 若不存在 请说明理由 3 若 P 是抛物线对称轴上使 ACP 的周长取得最小值的点 过点 P 任意作一条与 y 轴不 平行的直线交抛物线于 M1 x1 y1 M2 x2 y2 两点 试探究是否为定值 并写出探究过程 16 2 如图 1 在平面直角坐标系中 已知抛物线经过A 4 0 B 0 4 C 2 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点M为第三象限内抛物线上一动点 点M的横坐标为m MAB的面积为S 求S 关于m的函数关系式 并求出S的最大值 3 若点P是抛物线上的动点 点Q是直线y x上的动点 判断有几个位置能使以点 P Q B O为顶点的四边形为平行四边形 直接写出相应的点Q的坐标 3 2011 威海 如图 抛物线 y ax2 bx c 交 x 轴于点 A 3 0 点 B 1 0 交 y 轴 于点 E 0 3 点 C 是点 A 关于点 B 的对称点 点 F 是线段 BC 的中点 直线 l 过点 F 且与 y 轴平行 直线 y x m 过点 C 交 y 轴于 D 点 1 求抛物线的函数表达式 2 点 K 为线段 AB 上一动点 过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H 与抛物线交于点 G 求线段 HG 长度的最大值 3 在直线 l 上取点 M 在抛物线上取点 N 使以点 A C M N 为顶点的四边形是平行四 边形 求点 N 的坐标 17 例例 8 8 已知平面直角坐标系xOy 如图 1 一次函数的图像与y轴交于点A 3 3 4 yx 点M在正比例函数的图像上 且MO MA 二次函数 3 2 yx y x2 bx c的图像经过点A M 1 求线段AM的长 2 求这个二次函数的解析式 3 如果点B在y轴上 且位于点A下方 点C在上述二次 函数的图像上 点D在一次函数的图像上 且四边 3 3 4 yx 形ABCD是菱形 求点C的坐标 变式练习变式练习 1 将抛物线c1 沿x轴翻折 得到抛物线c2 如图 1 所示 2 33yx 1 请直接写出抛物线c2的表达式 2 现将抛物线c1向左平移m个单位长度 平移后得到新抛物线的顶点为M 与x轴的交 点从左到右依次为A B 将抛物线c2向右也平移m个单位长度 平移后得到新抛物线的顶 点为N 与x轴的交点从左到右依次为D E 当B D是线段AE的三等分点时 求m的值 在平移过程中 是否存在以点A N E M为顶点的四边形是矩形的情形 若存在 请求出此时m的值 若不存在 请说明理由 18 题型七 线段最值问题题型七 线段最值问题 例例 9 9 2011 菏泽 如图 抛物线 y x2 bx 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 且 A 1 0 1 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标 2 判断 ABC 的形状 证明你的结论 3 点 M m 0 是 x 轴上的一个动点 当 MC MD 的值最小时 求 m 的值 变式练习变式练习 1 2009 山东省菏泽市 如图 已知抛物线y ax 2 bx c 与y轴交于点A 0 3 与 x轴分别交于B 1 0 C 5 0 两点 1 求此抛物线的解析式 2 若一个动点P自OA的中点M出发 先到达x轴上的某点 设为点E 再到达抛物线 的对称轴上某点 设为点F 最后运动到点A 求使点P运动的总路径最短的点E 点F 的坐标 并求出这个最短总路径的长 2 2011 广东深圳 如图 13 抛物线 y ax2 bx c a 0 的顶点为 1 4 交 x 轴于 O y x A BC 19 A B 交 y 轴于 D 其中 B 点的坐标为 3 0 1 求抛物线的解析式 2 如图 14 过点 A 的直线与抛物线交于点 E 交 y 轴于点 F 其中 E 点的横坐标为 2 若直线 PQ 为抛物线的对称轴 点 G 为 PQ 上一动点 则 x 轴上是否存在一点 H 使 D G F H 四点围成的四边形周长最小 若存在 求出这个最小值及 G H 的坐标 若不存 在 请说明理由 3 如图 15 抛物线上是否存在一点 T 过点 T 作 x 的垂线 垂足为 M 过点 M 作直线 MN BD 交线段 AD 于点 N 连接 MD 使 DNM BMD 若存在 求出点 T 的坐标 若不存 在 说明理由 20 能力提升能力提升 1 2011 福州 已知 如图 11 二次函数图象的顶点为 与轴 2 23yaxaxa 0 a Hx 交于 两点 在点右侧 点