《全等三角形》常见的辅助线作法----例题精讲

全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形全等三角形 问题中常见的辅助线的作法问题中常见的辅助线的作法 三角形辅助线做法三角形辅助线做法三角形辅助线做法三角形辅助线做法 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 要证线段倍与半 延长缩短可试验 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 常见辅助线的作法有以下几种常见辅助线的作法有以下几种常见辅助线的作法有以下几种常见辅助线的作法有以下几种 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 思维模式是全等变换中的 对折 2 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用的思维模式是全等 变换中的 旋转 3 遇到角平分线 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 利用的思维模式是三角形 全等变换中的 对折 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 4 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 平移 或 翻转折叠 5 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某条线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 6 特殊方法 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来 利用三角形面积的知识解答 一 倍长中线 线段 造全等一 倍长中线 线段 造全等 一 例题讲解 例例 1 希望杯 试题 已知 如图中 求中线 AD 的取值范围 ABC 5 AB3 AC 分析 分析 本题的关键是如何把 AB AC AD 三条线段转化到同一个三角形当中 解 延长 AD 到 E 使 连接 BEDADE 又 CDBD CDABDE SASCDABDE 3 ACBE 三角形三边关系定理 BEABAEBEAB 即822 AD 41 AD 经验总结 见中线 延长加倍 例例 2 如图 中 E F 分别在 AB AC 上 D 是中点 试比较与 EF 的大小 ABC DFDE CFBE 证明 延长 FD 到点 G 使 连接 BG EGDFDG CDBD DGFD CDFBDG E C A B D G F E C A BD 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 CDFBDG CFBG DFDE EGEF 在中 BEG EGBGBE CFBG EGEF EFCFBE 例例 3 如图 中 E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 ABC ACDCBD BAE 证明方法一 利用相似论证 证明 ACDCBD BCAC 2 1 E 是 DC 中点 ACDCEC 2 1 2 1 BCAACE BCA ACE CAEABC DCAC DACADC BADABCADC CAEDAEBADABC DAEBAD 即 AD 平分BAE 证明方法二 利用全等论证 证明 延长 AE 到 M 使 连结 DMAEEM 易证CEADEM MDEC DMAC 又 ACDCBD DMBD CADADC 又 CADCADB ADCMDEADM ADBADM ADBADM DAEBAD 即 AD 平分BAE 二 实际应用 1 2009 崇文二模 以的两边 AB AC 为腰分别向外作等腰 Rt和等腰 Rt ABC ABD ACE 连接 DE M N 分别是 BC DE 的中点 探究 AM 与 DE 的位置关系及数量关系 90CAEBAD EC A B D M EC A B D 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 图 1 M N C A B D N E C A B D M 图 2 1 如图 1 当为直角三角形时 AM 与 DE 的位置关系是 线段 AM 与 DE 的数量关系ABC 是 2 将图 1 中的等腰 Rt绕点 A 沿逆时针方向旋转 后 ABD 900 如图 2 所示 1 问中得到的两个结论是否发生改变 并说明理由 解 1 AMED2 EDAM 证明 延长 AM 到 G 使 连 BG 则 ABGC 是平行四边形AMMG BGAC 180BACABG 又 180BACDAE DAEABG 再证 ABGDAE AMDE2 EDABAG 延长 MN 交 DE 于 H 90DAHBAG 90DAHHDA EDAM 2 结论仍然成立 证明 如图 延长 CA 至 F 使 FA 交 DE 于点 P 并连接 BFFAAC BADA AFEA EADDAFBAF 90 在和中FAB EAD DABA EADBAF AEFA SAS EADFAB DEBF AENF 90AENAPEFFPD DEFB 又 AFCA MBCM 且FBAM FBAM 2 1 DEAM DEAM 2 1 G C H A B D M N E F C P A B D M N E 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 二 截长补短二 截长补短 一 例题讲解 例例 1 如图 中 AD 平分 且 求证 ABC ACAB2 BAC BDAD ACCD 证明 过 D 作 垂足为 MABDM 90BMDAMD 又 BDAD DMDM BDMADM BMAM ACAB2 AMAC AD 平分BAC CADBAD 在和中ADC ADM AMAC CADBAD ADAD ADCADM 90ADMACD 即 ACCD 例例 2 如图 EA EB 分别平分 CD 过点 E 求证 BDAC CAB DBA BDACAB 证明 在 AB 上截取 连接 EFACAF 在和中CAE FAE AEAE FAECAE AFAC FAECAE FEACEA 90FEBFEABEDCEA 即DEBFEB 在和中DEB FEB DBEFBE BEBE DEBFEB ASA FEBDEB BFBD BDACBFAFAB 例例 3 如图 已知在内 P Q 分别在 BC CA 上 并且 AP BQ 分别是 ABC 60BAC 40CBAC 的角平分线 求证 ABC BPABAQBQ 证明 延长 AB 到 D 使 连接 PD 则BPBD 5 D M C A B D F E D A B C 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 AP BQ 分别是 的角平分线 BAC ABC 60BAC 40C 3021 804060180ABCC 4043 QCQB 又 80435D 40D 在与中APD APC APAP 21 40CD AAS APCAPD ACAD 即 QCAQBDAB BPABAQBQ 例例 4 如图 在四边形 ABCD 中 BD 平分 BABC CDAD ABC 求证 180CA 解 过点 D 作于 E 过点 D 作交 BA 的延长线于 FBCDE ABDF BD 平分ABC DFDE 90DEBF 在和中CDERt ADFRt DFDE CDAD HL CDERtADFRt CFAD 180FADBADCBAD 例例 5 如图 在中 P 为 AD 上任意一点 ABC ACAB CADBAD 求证 PCPBACAB 证明 如图 在 AB 上截取 AE 使 连接 PEACAE 在和中AEP ACP APAP CADBAD ACAE SAS ACPAEP PCPE 在中 即PBE PEPBBE PCPBACAB 二 实际应用 如图 在四边形 ABCD 中 点 E 是 AB 上一个动点 若 且 判BCAD 60BBCAB 60DEC 4 5 2 3 2 DQ P C A B 1 E F D C A B E D A P CB 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 断与的关系并证明你的结论 AEAD BC 分析 分析 此题连接 AC 把梯形的问题转化成等边三角形的问题 然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证 明三角形全等解决它们的问题 解 有AEADBC 连接 AC 过 E 作并 AC 于 F 点BCEF 则可证为等边三角形AEF 即 EFAE 60AFEAEF 120CFE 又 BCAD 60B 120BAD 又 60DEC FECAED 在与中ADE FCE CFEEAD EFAE FECAED FCEADE FCAD AEADBC 点评 此题的解法比较新颖 把梯形的问题转化成等边三角形的问题 然后利用全等三角形的性质解决 三 平移变换三 平移变换 一 例题讲解 例例 1 AD 为的角平分线 直线于 A E 为 MN 上一点 周长记为 周长记为ABC ADMN ABC A PEBC 求证 B P AB PP 证明 延长 BA 到 F 使 连接 EFACAF AD 为的角平分线ABC CADBAD ADMN CAECADBADFAE 9090 ACAF AEAE ACEAFE ECEF BFEFBE ACABAFABECBE BC BE CE AB AC BCBCACABBCECBE 的周长小于的周长 即ABC EBC AB PP D E A C B D E A C B F F N M D E A C B 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 例例 2 如图 在的边上取两点 D E 且 求证 ABC CEBD AEADACAB 解析 解析 先连接 AF 并延长至 G 使 其中 F 是 BC 的中点 连接 GB GC GD GE 可知四边形AFFG ABGC 四边形 ADGE 是平行四边形 延长 AD 至 H 交 BG 于 H 运用三角形的三边关系 两边之和大于第三 边 即可进行证明 证明 连接 AF 并延长至 G 使 其中 F 是 BC 的中点 连接 GB GC GD GEAFFG CEBD EFDF 四边形 ABGC 四边形 ADGE 是平行四边形 ACBG AEDG 延长 AD 至 H 交 BG 于 H DHADBHAB DGHGDH DGDHADHGDHBHAB DGADBGAB 即AEADACAB 点评 本题考查了三角形三边关系 将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键 本 题借助辅助线 DH 起枢纽作用 方法 2 取 BC 中点 M 连 AM 并延长至 N 使 连 BN DNAMMN CEBD EMDM SAS EMADMN AEDN 同理CABN 延长 ND 交 AB 于 P 则 PNBPBN ADPADP 相加得 ADPNPADPBPBN 各减去 DP 得 ADDNABBN AEADACAB 四 借助角平分线造全等四 借助角平分线造全等 一 例题讲解 例例 1 如图 已知在中 的角平分线 AD CE 相交于点 O ABC 60BABC 求证 ODOE 证明 在 AC 上取点 F 使 连接 OFAEAF AD 是的平分线A FAOEAO AOAO AFOAEO FOEO AOFAOE CE 是的平分线C G F H D E A CB N MDE A CB F O D E A C B 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 OP A M N E B C DF A C E F B D 图 图 图 FCODCO 60B 120ACBBAC OCACAOCOD 60 2 1 ACBBAC 606060180180AOFCODCOF CODCOF OCOC OCFOCD OFOD CDAECFAFAC ODOE 即 CDAEAC 例例 2 如图 中 AD 平分 且平分 BC 于 E 于 F 1 说明ABC BAC BCDG ABDE ACDF 的理由 2 如果 求 AE BE 的长 CFBE aAB bAC 1 证明 连接 DB DC 且平分 BCBCDG DCDB AD 平分ABDE ACDF BAC DFDE DFCRtDEBRt CFBE 2 解 DFDE ADAD AFDRtAEDRt AFAE 即 AEAFAECFAFBEAEACAB2 AEba2 2 ba AE BECFAFBEAEACAB2 BEba2 2 ba BE 二 实际应用 1 如图 OP 是的平分线 请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形 请你参MON 考这个作全等三角形的方法 解答下列问题 1 如图 在中 是直角 AD CE 分别是 的平分线 AD CE 相ABC ACB 60BBAC BCA 交于点 F 请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系 2 如图 在中 如果不是直角 而 1 中的其它条件不变 请问 你在 1 中所得结论是ABC ACB 否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 G F D E A C B 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 解 1 FE 与 FD 之间的数量关系为FDFE 2 答 1 中的结论仍然成立 FDFE 证法一 如图 1 在 AC 上截取 连结 FG AEAG AF 为公共边 21 AGFAEF AFGAFE FGFE AD CE 分别是 的平分线 60BBAC BCA 6032 60AFGCFDAFE 60CFG 及 FC 为公共边43 CFDCFG FDFG FDFE 证法二 如图 2 过点 F 分别作于点 G 于点 H ABFG BCFH AD CE 分别是 的平分线 60BBAC BCA 可得 F 是的内心 6032ABC 160 GEFFGFH 又 1 BHDF HDFGEF 可证DHFEGF FDFE 五 旋转五 旋转 一 例题讲解 例例 1 正方形 ABCD 中 E 为 BC 上的一点 F 为 CD 上的一点 求的度数 EFDFBE EAF 解 将绕点 A 顺时针旋转 至ADF 90ABG EFBEDFBEGBGE 又 AEAE AGAF AEGAEF DAFBAEGABBAEGAEEAF 又 90DAFBAEEAF F B E AC D 图 1 2 1 4 3 G F B E A C D 图 2 2 1 4 3 H G G F D E A CB 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 45EAF 例例 2 D 为等腰斜边 AB 的中点 DM DN 分别交 BC CA 于点 E F ABCRt DNDM 1 当绕点 D 转动时 求证 MDN DFDE 2 若 求四边形 DECF 的面积 2 AB 分析 分析 1 连 CD 根据等腰直角三角形的性质得到 CD 平分 ACB ABCD 45ADACD 则 由得 根据等角的余角相等得到 45BCD 90CDADNDM 90EDFADFCDE 根据全等三角形的判定易得 即可得到结论 2 由 则 ADFDCE ADFDCE ADFDCE SS 于是四边形 DECF 的面积 由而可得 根据三角形的面积公式易求得 ACD S 2 AB1 DACD ACD S 从而得到四边形 DECF 的面积 解 1 连 CD 如图 D 为等腰斜边 AB 的中点ABCRt CD 平分 ACB ABCD 45ADACD 45BCD 90CDA DNDM 90EDF ADFCDE 在和中DCE ADF ADFCDE DADC DAFDCE ADFDCE DFDE 2 ADFDCE ADFDCE SS 四边形 DECF 的面积 ACD S 而2 AB 1 DACD 四边形 DECF 的面积 2 1 2 1 DACDS ACD 点评 本题考查了旋转的性质 旋转前后两图形全等 即对应角相等 对应线段相等 对应点与旋转中心的连 线段的夹角等于旋转角 也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质 例例 3 如图 是边长为 3 的等边三角形 是等腰三角形 且 以 D 为顶点做一个ABC BDC 120BDC 角 使其两边分别交 AB 于点 M 交 AC 于点 N 连接 MN 求的周长 60AMN 解 是等腰三角形 且BDC 120BDC 30DBCBCD 是边长为 3 的等边三角形ABC N M F D E A C B M A N M D C B 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 图 1 A B C D E F M N A B C D E F M N 图 2 F E A N M D C B 图 3 60BCABACABC 90DCADBA 顺时针旋转使 DB 与 DC 重合BDM 在和中DMN NMD DNDN MNDMDN MDDM 60 MDNDNM BMNCNMMN 6 ACABANBMNCMNANAM 的周长为 6AMN 二 实际应用 1 已知四边形 ABCD 中 绕 B 点ADAB CDBC BCAB 120ABC 60MBNMBN 旋转 它的两边分别交 AD DC 或它们的延长线 于 E F 1 当绕 B 点旋转到时 如图 1 易证 MBN CFAE EFCFAE 2 当绕 B 点旋转到时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是否成立 若成立 请给予MBN CFAE 证明 若不成立 线段 AE CF EF 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 不需证明 解 1 ADAB CDBC BCAB CFAE SAS CBFABE CBFABE BFBE 120ABC 60MBN 为等边三角形 30CBFABEBEF BFEFBE BEAECF 2 1 EFBECFAE 2 图 2 成立 图 3 不成立 证明图 2 延长 DC 至点 K 使 连接 BKAECK 则BCKBAE BKBE KBCABE 60FBE 120ABC 60ABEFBC 60KBCFBC K A B C D E F M N 图 2 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 60FBEKBF EBFKBF EFKF EFCFKC 即EFCFAE 图 3 不成立 AE CF EF 的关系是EFCFAE 2 西城 09 年一模 已知 以 AB 为一边作正方形 ABCD 使 P D 两点落在直线 AB 的两侧 2 PA4 PB 1 如图 当时 求 AB 及 PD 的长 45APB 2 当变化 且其它条件不变时 求 PD 的最大值 及相应的大小 APB APB 分析 分析 1 作辅助线 过点 A 作于点 E 在中 已知 AP 的值 根据三角函数可将 AE PBAE PAERt APE PE 的值求出 由 PB 的值 可求 BE 的值 在中 根据勾股定理可将 AB 的值求出 求 PD 的值有ABERt 两种解法 解法一解法一 可将绕点 A 顺时针旋转得到 可得 求 PD 长即为PAD 90AB P ABPPAD 求的长 在中 可将的值求出 在中 根据勾股定理可将的值求出 B P PAPRt P P BPPRt B P 解法二 解法二 过点 P 作 AB 的平行线 与 DA 的延长线交于 F 交 PB 于 G 在中 可求出 AG EG 的长 AEGRt 进而可知 PG 的值 在中 可求出 PF 在中 根据勾股定理可将 PD 的值求出 PFGRt PDFRt 2 将绕点 A 顺时针旋转 得到 PD 的最大值即为的最大值 故当 P BPAD 90AB P B P P 三点共线时 取得最大值 根据可求的最大值 此时 B P PBPPBP B P 135180PAPAPB 解 1 如图 作于点 EPBAE 中 PAERt 45APB2 PA 1 2 2 2 PEAE 4 PB 3 PEPBBE 在中 ABERt 90AEB 10 22 BEAEAB 解法一 如图 因为四边形 ABCD 为正方形 可将将绕点 A 顺时针旋转得到 可得PAD 90AB P ABPPAD BPPD APPA 90PPA 45PAP 90PBP 2 PP2 PA 5242 2222 PBPPBPPD 解法二 如图 过点 P 作 AB 的平行线 与 DA 的延长线交于 F 设 DA 的延长线交 PB 于 G 在中 可得 AEGRt 3 10 coscos ABE AE EAG AE AG 3 1 EG 3 2 EGPEPG E P A D C B P P A C B D E G F P A C B D E 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 图 1 N M A D C B 图 2 N M A D C B 图 3 N M A D C B P P A C B D P P A C B D 在中 可得 PFGRt 5 10 coscos ABEPGFPGPGPF 15 10 FG 在中 可得PDFRt 52 3 10 15 10 10 5 10 22 2 2 FGAGADPFPD 2 如图所示 将绕点 A 顺时针旋转 得到 PD 的最大值 即为的最大值PAD 90AB P B P 中 且 P D 两点落在直线 AB 的两侧BP P PBPPBP 22 PAPP4 PB 当 P B 三点共线时 取得最大值 如图 P B P 此时 即的最大值为 66 PBPPBPB P 此时 135180PAPAPB 3 在等边的两边 AB AC 所在直线上分别有两点 M N D 为外一点 且 ABC ABC 60MDN 探究 当 M N 分别在直线 AB AC 上移动时 BM NC MN 之间的数量关系及 120BDCDCBD 的周长 Q 与等边的周长 L 的关系 AMN ABC 1 如图 1 当点 M N 边 AB AC 上 且时 BM NC MN 之间的数量关系是 DNDM 此时 L Q 2 如图 2 点 M N 边 AB AC 上 且当时 猜想 1 问的两个结论还成立吗 写出你的猜想并DNDM 加以证明 3 如图 3 当 M N 分别在边 AB CA 的延长线上时 若 则 用 L 表示 xAN Qx 分析 分析 1 如果 因为 那么 也就有DNDM DNMDMN DCBD 30DCBDBC 直角三角形 MBD NCD 中 因为 根据 HL 定理 两三 903060NCDMBDDCBD DNDM 角形全等 那么 三角形 NCD 中 在三角形 DNMNCBM 60DNCBMD 30NDCNCDN2 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 图 1 N M A D C B 中 因此三角形 DMN 是个等边三角形 因此 三角形DNDM 60MDNBMNCNCDNMN 2 AMN 的周长 MNANAMQ 三角形 ABC 的周长 因此 ABACABNCMBANAM2 ABL3 3 2 LQ 2 如果 我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换 延长 AC 至 E 使 连接DNDM BMCE DE