有重复组合公式的几种证明方法

收稿日期 基金项目 年山西省研究生教育改革项目 第 卷第 期大 学 数 学 年 月 有重复组合公式的几种证明方法 张晓琴 李顺勇 山西大学 数学与科学学院 太原 摘 要 给出了有重复组合公式 的四种证明方法 从不同的角度阐释了对这个公式的理解 且给出了两个应用例子 其中一个是关于偏导数的问题 此将对学生的学习有所帮助 关键词 有重复组合公式 组合数 偏导数 中图分类号 文献标识码 文章编号 引 言 在概率论的古典概率讲解部分 涉及到了许多很有用的排列组合公式 其中一个是 有重复组合 公 式 即 从 个不同元素中每次取出一个 放回后再取下一个 如此连续取 次所得的组合称为 重复组 合 此种重复组合总数为 这里的 允许大于 上述问题可以理解为是一个将 个不可辨的球放入 个盒子中的模型 实际中有许多问题都可以 用这个模型来处理 例如 对工作日中事故的分布的统计研究 日历中生日的分布研究等问题中 往往人 们仅对发生的次数感兴趣 并不对事故中的个体感兴趣 再如 掷 颗骰子等价于把 个球置于 个盒子 因为可以理解为我们最主要关心的是每个点数的个数 在历年的讲授过程中 均发现对此公式的理解及证明是学生的一个疑难问题所在 通过多次的教学 积累 总结了如下几种对此公式的证明及理解 最后给出了几个应用的实例 几种证明方法 方法一 可考虑如下的定理 定理 的 组合数为 注 此时表达式 表示此集合内有 个不同的元素 每个元素可 以有可列个 证 设 个元素 和自然数 一一对应 于是所考虑的任何组合便可看成一个 个数的组合 由于是组合 不妨认为 是按大小顺序排列的 相同的 连续排在一起 如 按 排列 又令 即 由于 最小取 最大可 取 故 的取值最小为 最大可取 这样就得到集合 的一个 组合 易见有一种 便有一种 因此 允许重复地从 个元素中取 个的组合 数与不允许重复地从 个不同元素中取 个的组合数相等 即 方法二 可将 个不同的元素看做 个不同的盒子 有重复的取出的 个元素看作 个无区别的 球 则从 个不同的元素中有重复的取出的 个元素的取法数相当于 把 个同样的球放入 个顺次排 列的盒子 求不计放球顺序的放法种数 用 条 把空间分成 个盒子 用 代表球 这样符号 代表这 样一个分布 个球放于 个盒子中 其占位数为 这样的符号的开始和终结必有 一条 但其余的 条 和 个 可按任意次序排列 故由此可见 可区别的分布数等于从 个位置中任取 个位置的选法 即为 方法三 设有 个球可辨 将所有按照要求取到的 个球的可能情况分为如下的 类 取到的 个球恰好是同一个球 这时不同的可能取法数为 取到的 个球恰好是不同的两个球 这时不同的可能取法数为 取到的 个球恰好是不同的三个球 这时不同的可能取法数为 取到的 个球恰好是不同的 个球 这时不同的可能取法数为 将上述各种情况下的可能数相加即得所有的可能数为 注 上述叙述中对记号 的理解 以 来加以说明 此 时是指从 个不同编号的球中有重复的取 个 且这 个球中有三个不同的编号 不同的取法总数可以 分 步来理解 第一步先从 个不同的球中任取 个 共有 种取法 第二步将所取 出的 个球按照至少出现一次的要求不计次序的排满 个位置 如果将这三个不同的编号记为 则不同的取法数可罗列如下 可见共有 种 综上所述 不同的取法总数为 方法四 从 个不同元素中每次取出一个 放回后再取下一个 如此连续取 次所得的组合称为重 复组合 此种重复组合总数也可以这样设想 袋子中原有 个编号分别为 的球 可有重 大 学 数 学 第 卷 复的编号出现 从中任取 个球 这样的取法总数为 应用例子 例 将 个完全相同的球 这时也称球是不可辨的 随机地放入 个盒子中 试求 某个指定的盒子中恰有 个球的概率 恰好有 个空盒的概率 某指定的 个盒子中恰好有 个球的概率 解 这是一个标准的有重复组合问题 先考虑样本空间中的样本点总数 这时因为球不可辨 可以 理解为从 个不同的元素中有重复的任取 个元素的组合问题 故样本点共有 个 将所考 虑的三个事件分别记为 则它们的概率分别为 例 某含 个变元的解释函数 的 阶偏导数不依赖于其求导的次序 而只依赖 于对每一 个 变 元 求 导 的 次 数 因 此 每 一 个 变 元 对 应 于 一 个 盒 子 即 不 同 的 阶 偏 导 数 共 有 个 例如 一个三元函数的 阶偏导数共有 个 阶偏导数共有 个 参 考 文 献 茆诗松 程依明 濮晓龙 概