勾股定理经典例题

知识点一 勾股定理知识点一 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a b 斜边长为 c 那么 a2 b2 c2 即直角三角形中两直角边的平方和等 于斜边的平方 要点诠释 要点诠释 1 勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理 2 勾股定理只适用于直角三角形 而不适用于锐角三角形和钝角三角 3 理解勾股定理的一些变式 c2 a2 b2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 a b 2 2ab 知识点二 用面积证明勾股定理知识点二 用面积证明勾股定理 方法一 方法一 将四个全等的直角三角形拼成如图 1 所示的正方形 图 1 中 所以 方法二 方法二 将四个全等的直角三角形拼成如图 2 所示的正方形 图 2 中 所以 方法三 方法三 将四个全等的直角三角形分别拼成如图 3 1 和 3 2 所示的两个形状相同的正方形 在 3 1 中 甲的面积 大正方形面积 4 个直角三角形面积 在 3 2 中 乙和丙的面积和 大正方形面积 4 个直角三角形面积 所以 甲的面积 乙和丙的面积和 即 方法四 方法四 如图 4 所示 将两个直角三角形拼成直角梯形 所以 知识点三 勾股定理的作用知识点三 勾股定理的作用 1 已知直角三角形的两条边长求第三边 2 已知直角三角形的一条边 求另两边的关系 3 用于证明平方关系的问题 4 利用勾股定理 作出长为的线段 2 2 在理解的基础上熟悉下列勾股数在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程 x2 y2 z2的三个正整数 称为勾股数 又称为高数或毕达哥拉斯数 显然 以 x y z 为三边长的三 角形一定是直角三角形 熟悉下列勾股数 对解题是会有帮助的 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 如果 a b c 是勾股数 当 t 0 时 以 at bt ct 为三角形的三边长 此三角形必为直角三角形 经典例题透析经典例题透析 类型一 勾股定理的直接用法类型一 勾股定理的直接用法 1 在 Rt ABC 中 C 90 1 已知 a 6 c 10 求 b 2 已知 a 40 b 9 求 c 3 已知 c 25 b 15 求 a 思路点拨思路点拨 写解的过程中 一定要先写上在哪个直角三角形中 注意勾股定理的变形使用 解析 解析 1 在 ABC 中 C 90 a 6 c 10 b 2 在 ABC 中 C 90 a 40 b 9 c 3 在 ABC 中 C 90 c 25 b 15 a 总结升华 总结升华 有一些题目的图形较复杂 但中心思想还是化为直角三角形来解决 如 不规则图形的面积 可转化 为特殊图形求解 本题通过将图形转化为直角三角形的方法 把四边形面积转化为三角形面积之差或和 举一反三举一反三 变式 如图 B ACD 90 AD 13 CD 12 BC 3 则 AB 的长是多少 答案 ACD 90 AD 13 CD 12 AC2 AD2 CD2 132 122 25 AC 5 又 ABC 90 且 BC 3 由勾股定理可得 AB2 AC2 BC2 52 32 16 AB 4 AB 的长是 4 类型二 勾股定理的构造应用类型二 勾股定理的构造应用 2 如图 已知 在中 求 BC 的长 思路点拨思路点拨 由条件 想到构造含角的直角三角形 为此作于 D 则有 再由勾股定理计算出 AD DC 的长 进而求出 BC 的长 解析解析 作于 D 则因 的两个锐角互余 在中 如果一个锐角等于 那么它所对的直角边等于斜边的一半 根据勾股定理 在中 根据勾股定理 在中 总结升华总结升华 利用勾股定理计算线段的长 是勾股定理的一个重要应用 当题目中没有垂直条件时 也经常作垂线 构造直角三角形以便应用勾股定理 举一反三举一反三 变式 1 如图 已知 于 P 求证 思路点拨思路点拨 图中已有两个直角三角形 但是还没有以 BP 为边的直角三角形 因此 我们考虑构造一个以 BP 为一 边的直角三角形 所以连结 BM 这样 实际上就得到了 4 个直角三角形 那么根据勾股定理 可证明这几条线段的平 方之间的关系 解析解析 连结 BM 根据勾股定理 在中 而在中 则根据勾股定理有 又 已知 在中 根据勾股定理有 变式 2 已知 如图 B D 90 A 60 AB 4 CD 2 求 四边形 ABCD 的面积 分析分析 如何构造直角三角形是解本题的关键 可以连结 AC 或延长 AB DC 交于 F 或延长 AD BC 交于点 E 根据本题给定的角应选后两种 进一步根据本题给定的边选第三种较为简单 解析解析 延长 AD BC 交于 E A 60 B 90 E 30 AE 2AB 8 CE 2CD 4 BE2 AE2 AB2 82 42 48 BE DE2 CE2 CD2 42 22 12 DE S四边形 ABCD S ABE S CDE AB BE CD DE 类型三 勾股定理的实际应用类型三 勾股定理的实际应用 一 用勾股定理求两点之间的距离问题 一 用勾股定理求两点之间的距离问题 3 如图所示 在一次夏令营活动中 小明从营地 A 点出发 沿北偏东 60 方向走了到达 B 点 然后再 沿北偏西 30 方向走了 500m 到达目的地 C 点 1 求 A C 两点之间的距离 2 确定目的地 C 在营地 A 的什么方向 思路点拨 思路点拨 把实际问题中的角度转化为图形中的角度 利用勾股定理求解 解析解析 1 过 B 点作 BE AD DAB ABE 60 30 CBA ABE 180 CBA 90 即 ABC 为直角三角形 由已知可得 BC 500m AB 由勾股定理可得 所以 2 在 Rt ABC 中 BC 500m AC 1000m CAB 30 DAB 60 DAC 30 即点 C 在点 A 的北偏东 30 的方向 总结升华总结升华 本题是一道实际问题 从已知条件出发判断出 ABC 是直角三角形是解决问题的关键 本题涉及平行 线的性质和勾股定理等知识 举一反三举一反三 变式 一辆装满货物的卡车 其外形高 2 5 米 宽 1 6 米 要开进厂门形状如图的某工厂 问这辆卡车能否通 过该工厂的厂门 答案 由于厂门宽度是否足够卡车通过 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH 如图所示 点 D 在离厂门中线 0 8 米处 且 CD 与地面交于 H 解 解 OC 1 米 大门宽度一半 OD 0 8 米 卡车宽度一半 在 Rt OCD 中 由勾股定理得 CD 米 C 米 米 因此高度上有 0 4 米的余量 所以卡车能通过厂门 二 用勾股定理求最短问题 二 用勾股定理求最短问题 4 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状 目前正在全国各地农村进行电网改造 某地有四个村庄 A B C D 且正好位于一个正方形的四个顶点 现计划在四个村庄联合架设一条线路 他们设计了四种架设方案 如图实线部分 请你帮助计算一下 哪种架设方案最省电线 思路点拨思路点拨 解答本题的思路是 最省电线就是线路长最短 通过利用勾股定理计算线路长 然后进行比较 得出 结论 解析解析 设正方形的边长为 1 则图 1 图 2 中的总线路长分别为 AB BC CD 3 AB BC CD 3 图 3 中 在 Rt ABC 中 同理 图 3 中的路线长为 图 4 中 延长 EF 交 BC 于 H 则 FH BC BH CH 由 FBH 及勾股定理得 EA ED FB FC EF 1 2FH 1 此图中总线路的长为 4EA EF 3 2 828 2 732 图 4 的连接线路最短 即图 4 的架设方案最省电线 总结升华 总结升华 在实际生产工作中 往往工程设计的方案比较多 需要运用所学的数学知识进行计算 比较从中选出 最优设计 本题利用勾股定理 等腰三角形的判定 全等三角形的性质 举一反三举一反三 变式 如图 一圆柱体的底面周长为 20cm 高 为 4cm 是上底面的直径 一只蚂蚁从点 A 出发 沿 着圆柱的侧面爬行到点 C 试求出爬行的最短路程 解 解 如图 在 Rt 中 底面周长的一半 cm 根据勾股定理得 提问 勾股定理 AC cm 勾股定理 答 最短路程约为 cm 类型四 利用勾股定理作长为类型四 利用勾股定理作长为的线段的线段 5 作长为 的线段 思路点拨 思路点拨 由勾股定理得 直角边为 1 的等腰直角三角形 斜边长就等于 直角边为和 1 的直角三角形 斜边长就是 类似地可作 作法作法 如图所示 1 作直角边为 1 单位长 的等腰直角 ACB 使 AB 为斜边 2 以 AB 为一条直角边 作另一直角边为 1 的直角 斜边为 3 顺次这样做下去 最后做到直角三角形 这样斜边 的长度就是 总结升华 总结升华 1 以上作法根据勾股定理均可证明是正确的 2 取单位长时可自定 一般习惯用国际标准的单 位 如 1cm 1m 等 我们作图时只要取定一个长为单位即可 举一反三举一反三 变式 在数轴上表示的点 解析 解析 可以把看作是直角三角形的斜边 为了有利于画图让其他两边的长为整数 而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和 得另外两边分别是 3 和 1 作法作法 如图所示在数轴上找到 A 点 使 OA 3 作 AC OA 且截取 AC 1 以 OC 为半径 以 O 为圆心做弧 弧与数轴的交点 B 即为 类型五 逆命题与勾股定理逆定理类型五 逆命题与勾股定理逆定理 6 写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1 原命题 猫有四只脚 正确 2 原命题 对顶角相等 正确 3 原命题 线段垂直平分线上的点 到这条线段两端距离相等 正确 4 原命题 角平分线上的点 到这个角的两边距离相等 正确 思路点拨 思路点拨 掌握原命题与逆命题的关系 解析 解析 1 逆命题 有四只脚的是猫 不正确 2 逆命题 相等的角是对顶角 不正确 3 逆命题 到线段两端距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 正确 4 逆命题 到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上 正确 总结升华 总结升华 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备 7 如果 ABC 的三边分别为 a b c 且满足 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 判断 ABC 的形状 思路点拨思路点拨 要判断 ABC 的形状 需要找到 a b c 的关系 而题目中只有条件 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 故只 有从该条件入手 解决问题 解析解析 由 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 得 a2 6a 9 b2 8b 16 c2 10c 25 0 a 3 2 b 4 2 c 5 2 0 a 3 2 0 b 4 2 0 c 5 2 0 a 3 b 4 c 5 32 42 52 a2 b2 c2 由勾股定理的逆定理 得 ABC 是直角三角形 总结升华总结升华 勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 在证明中也常要用到 举一反三举一反三 变式 1 四边形 ABCD 中 B 90 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形 ABCD 的面积 答案 连结 AC B 90 AB 3 BC 4 AC2 AB2 BC2 25 勾股定理 AC 5 AC2 CD2 169 AD2 169 AC2 CD2 AD2 ACD 90 勾股定理逆定理 变式 2 已知 ABC 的三边分别为 m2 n2 2mn m2 n2 m n 为正整数 且 m n 判断 ABC 是否为直角三角形 分析分析 本题是利用勾股定理的的逆定理 只要证明 a2 b2 c2即可 证明 证明 所以 ABC 是直角三角形 变式 3 如图正方形 ABCD E 为 BC 中点 F 为 AB 上一点 且 BF AB 请问 FE 与 DE 是否垂直 请说明 答案 答 DE EF 证明 设 BF a 则 BE EC 2a AF 3a AB 4a EF2 BF2 BE2 a2 4a2 5a2 DE2 CE2 CD2 4a2 16a2 20a2 连接 DF 如图 DF2 AF2 AD2 9a2 16a2 25a2 DF2 EF2 DE2 FE DE 经典例题精析经典例题精析 类型一 勾股定理及其逆定理的基本用法类型一 勾股定理及其逆定理的基本用法 1 若直角三角形两直角边的比是 3 4 斜边长是 20 求此直角三角形的面积 思路点拨 思路点拨 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度 求面积 可以先通过比值设未知数 再根据勾股定 理列出方程 求出未知数的值进而求面积 解析 解析 设此直角三角形两直角边分别是 3x 4x 根据题意得 3x 2 4x 2 202 化简得 x2 16 直角三角形的面积 3x 4x 6x2 96 总结升华 总结升华 直角三角形边的有关计算中 常常要设未知数 然后用勾股定理列方程 组 求解 举一反三举一反三 变式变式 1 等边三角形的边长为 2 求它的面积 答案答案 如图 等边 ABC 作 AD BC 于 D 则 BD BC 等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合 AB AC BC 2 等边三角形各边都相等 BD 1 在直角三角形 ABD 中 AB2 AD2 BD2 即 AD2 AB2 BD2 4 1 3 AD S ABC BC AD 注 等边三角形面积公式 若等边三角形边长为 a 则其面积为a 变式变式 2 直角三角形周长为 12cm 斜边长为 5cm 求直角三角形的面积 答案答案 设此直角三角形两直角边长分别是 x y 根据题意得 由 1 得 x y 7 x y 2 49 x2 2xy y2 49 3 3 2 得 xy 12 直角三角形的面积是xy 12 6 cm2 变式变式 3 若直角三角形的三边长分别是 n 1 n 2 n 3 求 n 思路点拨 思路点拨 首先要确定斜边 最长的边 长 n 3 然后利用勾股定理列方程求解 解 此直角三角形的斜边长为 n 3 由勾股定理可得 n 1 2 n 2 2 n 3 2 化简得 n2 4 n 2 但当 n 2 时 n 1 1 0 n 2 总结升华 总结升华 注意直角三角形中两 直角边 的平方和等于 斜边 的平方 在题目没有给出哪条是直角边哪条是 斜边的情况下 首先要先确定斜边 直角边 变式变式 4 以下列各组数为边长 能组成直角三角形的是 A 8 15 17 B 4 5 6 C 5 8 10 D 8 39 40 解析 解析 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断 对数据较大的可以用 c2 a2 b2的变形 b2 c2 a2 c a c a 来判断 例如 对于选择 D 82 40 39 40 39 以 8 39 40 为边长不能组成直角三角形 同理可以判断其它选项 答案 A 变式变式 5 四边形 ABCD 中 B 90 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形 ABCD 的面积 解 连结 AC B 90 AB 3 BC 4 AC2 AB2 BC2 25 勾股定理 AC 5 AC2 CD2 169 AD2 169 AC2 CD2 AD2 ACD 90 勾股定理逆定理 S四边形 ABCD S ABC S ACD AB BC AC CD 36 类型二 勾股定理的应用类型二 勾股定理的应用 2 如图 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所中学 AP 160m 假设拖拉机行 驶时 周围 100m 以内会受到噪音的影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 如果受影响 已知拖拉机的速度为 18km h 那么学校受影响的时间为多少秒 思路点拨 思路点拨 1 要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A 实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m 小于 100m 则受影响 大于 100m 则不受影响 故作垂线段 AB 并计算其长度 2 要求出学校受影响的时间 实质是要求拖拉 机对学校 A 的影响所行驶的路程 因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校 行至哪一点后结束影响学校 解析解析 作 AB MN 垂足为 B 在 Rt ABP 中 ABP 90 APB 30 AP 160 AB AP 80 在直角三角形中 30 所对的直角边等于斜边的一半 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m 这所中学会受到噪声的影响 如图 假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响 那么 AC 100 m 由勾股定理得 BC2 1002 802 3600 BC 60 同理 拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响 那么 AD 100 m BD 60 m CD 120 m 拖拉机行驶的速度为 18km h 5m s t 120m 5m s 24s 答 拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校会受到噪声影响 学校受影响的时间为 24 秒 总结升华总结升华 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 若图形缺少直角条件 则可以通过作辅助垂线的方法 构造直角 三角形以便利用勾股定理 举一反三举一反三 变式变式 1 如图学校有一块长方形花园 有极少数人为了避开拐角而走 捷径 在花园内走出了一条 路 他们仅仅少走了 步路 假设 2 步为 1m 却踩伤了花草 解析 他们原来走的路为 3 4 7 m 设走 捷径 的路长为 xm 则 故少走的路长为 7 5 2 m 又因为 2 步为 1m 所以他们仅仅少走了 4 步路 答案 4 变式变式 2 如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格 它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形 这样的 三角形称为单位正三角形 1 直接写出单位正三角形的高与面积 2 图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形 平行四边形 ABCD 的面积是多少 3 求出图中线段 AC 的长 可作辅助线 答案 1 单位正三角形的高为 面积是 2 如图可直接得出平行四边形 ABCD 含有 24 个单位正三角形 因此其面积 3 过 A 作 AK BC 于点 K 如图所示 则在 Rt ACK 中 故 类型三 数学思想方法类型三 数学思想方法 一 转化的思想方法 一 转化的思想方法 我们在求三角形的边或角 或进行推理论证时 常常作垂线 构造直角三角