万喜人老师的几个平面几何问题

Z Y X P H R S G L M B C A I E F D N Q L G S F J K C A B H I D E 万喜人老师的几个平面几何问题万喜人老师的几个平面几何问题 潘成华潘成华 万喜人老师提出了几个关于三角形内切圆的几个问题 笔者在这里做出解答如下 引理引理 已知 三角形 ABC 内切圆切 BC 于 D 切 AB AC 分别于 H I 点 E 在 AD 上 线段 BE CE 分 别交圆于 F G AD 交三角形 ABC 内切圆于令一点 J 求证 线段 AD CF BG 共点 过 J 的切线 直线 HI FG BC 交于一点 证明证明 设设 BC 交过交过 J 点的切线于点的切线于 K 则则 HI 必过必过 K 易知易知 D K 调和分割调和分割 BC 因为因为 B C D K 是调和点列 设是调和点列 设 CF 交交 AD 于于 L 因此因此 EB EC ED EK 是调和线束 设是调和线束 设 BL 交交 FK 于于 S 根据调和性质根据调和性质 点点 S 在在 EC 上 上 AD 是点是点 K 极线极线 因此因此 S 点在圆上 点在圆上 所以所以 S G 重合 因此结论得证重合 因此结论得证 图 1 问题问题 1 已知 如图 ABC 的内切圆 I 与边 BC CA AB 分别切于 D E F 联 AD 在 AD 上有两点 M N CN BN 分别交圆 I 于 G H 直线 FM EM 分别交圆 I 于 L Q 过 L Q 作圆 I 切线交 BC 于 R S 联 GR HS 求证 RH GS 交点在 AD 上 图 2 证明 证明 根据引理得 EF GH CB 共点 设为 P M 在 P 的极线 AD 上 于是直线 LQ 必过 P 根据 Desargues 定理 在三角形 GLR HQS 中 设 GL HQ 交点 Z GR HS 交点 Y LR QS 交 P Z Y X H R S G L M B C A I E F D N Q 点 X 则 X Y Z 共线 根据 Maclaurin 定理 圆内接四边形 ELQF 点 A M X D 共线 圆内接四边形 GLQH GQ LH 的交点 必在 AD 上 X Z 共线 且这条直线就是点 P 的极线是 AD X Z 必在点 P 极线 AD 上 GY YH YN YP 是调和线束 因此RH GS 交点在 AD 上 问题问题 2 已知 如图 ABC 的内切圆 I 与边 BC CA AB 分别切于 D E F 联 AD 在 AD 上有两点 M N CN BN 分别交圆 I 于 G H 直线 FM EM 分别交圆 I 于 L Q 连接 EL FQ 交 BC 于 R S 联 HR GS 求证 RH GS 交点在 AD 上 证明证明 设 EF BC 交于 P AD 是 P 的极线 根据引理 LH 必过 P 于是 LQ 必过 P 直线 GQ RH 交点 在 AD 上 所以 GL HQ 交点设为 X 点 X 在 AD 上 根据 Desargues 定理 在三角形 GLR HQS 中 GL HS 交点 X GR HS 交点设为 Y LR QS 交点设为 Z 则 X Y Z 共线 也就是直线 AD 在 三角形 YGH 中根据完全四边形性质RH GS 交点在 AD 上 图 3 X Y S R P HG L M B C A I E F D N Q K X Y S R P H G L M B C A I E F D N Q 问题问题 3 已知 如图 ABC 的内切圆 I 与边 BC CA AB 分别切于 D E F 联 AD 在 AD 上有两点 M N CN BN 分别交圆 I 于 G H 直线 FM EM 分别交圆 I 于 L Q K 是 AD 上一点 连接 KL KQ 交 BC 于 R S 联 HR GS 求证 RH GS 交点在 AD 上 证明证明 设直线 EF BC 交于 P 则 LQ 必过 P 设直线 GL HQ 交于 Y GR HS 交于 X 有 上题可知 K Y X 共线 根据完全四边形性质 RH GS 交点在 AD 上 图 4 问题问题 4 已知 如图 ABC 的内切圆 I 与边 BC CA AB 分别切于 D E F 联 AD 在 AD 上有两点 M N CN BN 分别交圆