函数极限与连续

第 1 章 函数的极限与连续 极限是现代数学的最基本的概念 是学习微积分学的重要基础 在后面的几章学习中 可以看到 微积分中的重要概念都是通过极限来定义的 本章将介绍极限的概念 性质及 运算法则 在此基础上建立函数连续的概念 并讨论连续函数的性质 1 1 初等函数 1 1 1 函数 1 函数的定义 设是一个数集 如果对属于中的每一个数 依照某个对应关系 都有确DDxfy 定的数值和它对应 那么就叫做定义在数集上的的函数函数 记作 叫做yDx xfy x 函数的自变量自变量 数集叫做函数的定义域定义域 函数的取值范围叫做函数的值域值域 DyM 由定义可知 对应关系和定义域构成函数的二要素 2 函数的定义域 在实际问题中 根据所考察问题的实际意义来确定其定义域 对于不具有实际意义 的抽象函数 其定义域是使得函数有意义的全体自变量的集合 常见的有 1 在分式函数中 分母不能为零 2 在根式函数中 负数不能开偶次方 3 在对数函数中 真数大于零 4 在三角函数和反三角函数中 要符合它们的定义域 5 在含有多种式子的函数中 应取各部分定义域的交集 例例 1 1 求下列函数的定义域 1 2 2 4 1 2 x xy 1 1 lg x x y 3 反函数 在研究函数的同时 有时函数和自变量的地位会相互转换 于是就出现了反函数的 概念 例如 在函数中 定义域和值域都是 按照和的对应关系 任意给 2 1 x yRxy 出一个 都有唯一确定的与之对应 yR21xy 一般地 设函数 定义域为 值域为 如果对于中的每一个值 xfy DMMy 都可由确定唯一的值与之对应 这样就确定一个以为自变量的函数 该 xfy xyx 函数称为函数的反函数反函数 记作 显然 函数的定义域 xfy 1 yfx 1 yfx 为 值域为 MD 习惯上常用表示自变量 表示函数 故常把的反函数记xy xfy 为 若把函数与其反函数的图形画在同一个平面直角 1 xfy xfy 1 xfy 坐标系内 则这两个图形关于直线 对称 yx 因此 函数是函数的反函数 其定义域为 值域为 将函21xy 2 1 x yRR 数改为 自变量改为 则函数的反函数为 图 1 1 yx 2 1 x y21yx y x 1 1 1 1 O 1 2 x y 21yx yx 图 1 1 例例 2 2 求的反函数 2 3 xy 4 分段函数 在自然科学及工程技术中 用公式表示函数时 经常会遇到一个函数在不同的范围 内用不同的式子表示的情况 如函数 0 0 xx f x xx 是定义在区间内的一个函数 当时 当时 0 x f xx 0 x f xx 在不同的区间内用不同的式子来表示的函数叫分段函数分段函数 分段函数是用几个解析式子来表示的一个函数 而不是表示几个函数 求分段函数值 时 应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中进行计算 如在上面的分段函数中 4 42f 4 4 4f 5 函数的几种特性 1 奇偶性 如果函数的定义域关于原点对称 且对于任意的 都有 yf x DxD 那么叫做奇函数 如果函数的定义域关于原点 fxf x yf x yf x D 对称 且对于任意的 都有 那么叫做偶函数 如果函xD fxf x yf x 数既不是奇函数也不是偶函数 则称为非奇非偶函数 yf x yf x 如是奇函数 是偶函数 3 xy 2 xy 奇函数的图象关于原点对称 如图 1 2 偶函数的图象关于轴对称 如图 1 3 y y x O yf x y xO yf x 图 1 2 图 1 3 例例 3 3 判断下列函数的奇偶性 1 2 3 xxxfcos 2 x xxf 1 xxxf 2 2 单调性 如果函数在区间内随着的增大而增大 即对于内任意两点与 xf a bx a b 1 x 当时 有 那么称函数在区间内是单调增加的 2 x 12 xx 12 f xf x xf a b 区间叫做函数的单调增加区间 a b xf 如果函数在区间内随着的增大而减小 即对于内任意两点与 xf a bx a b 1 x 当时 有 那么称函数在区间内是单调减少的 2 x 12 xx 21 xfxf xf a b 区间叫做函数的单调减少区间 a b xf 显然 单调增加函数的图象沿轴正向是逐渐上升的 单调减少函数的图象是沿x 轴正向是逐渐下降的 x 如图 1 4 为单调增加函数 图 1 5 为单调减少函数 x y O yf x x y O yf x 图 1 4 图 1 5 在整个区间上单调增加 减少 的函数 称为这区间上的单调增 减 函数 这个 区间称为这个函数的单调区间 例如 指数函数在其定义域内是单调增加的 而幂函数在 x ey R 2 xy 内是单调增加的 在内是单调减少的 所以在内不是单调 0 0 函数 例例 4 4 判断函数的单调性 12 2 xxf 3 周期性 对于函数 如果存在一个非零常数 使得对于其定义域内的每一个 都有 xfTx xfTxf 成立 则称是周期函数 称为其周期 xfT 显然 如果是的周期 则 是整数 均为其周期 一般提到的周期均T xfnTn 指最小正周期 我们常见的三角函数都是以为周期 都sin cosyx yx 2tan cotyx yx 是以为周期 4 有界性 设函数在区间内有定义 如果存在一个正数 使得对于任意 xf ba Mx 恒有 那么称在内有界 如果不存在这样的数 ba f xM xf ba M 那么称在内无界 xf ba 例如 函数 存在正数 使得对于任意的 均有 xysin 1M xR 1 sin x 所以函数在其定义域内是有界的 xysin R 1 1 2 基本初等函数 我们学过的幂函数 为实数 指数函数 且 对数函 xy x ya 0a 1 a 数 且 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 logayx 0a 1 a 1 幂函数 为实数 xy 1 当时 函数经过两定点和 图象在第 象限内单调增加且无0 0 0 1 1 界 如图 1 6 1 2 当时 函数经过定点 图象在第 象限内单调减少且无界 如图0 1 1 1 6 2 x y O yx yx 2 yx 3 yx 1 1 1 1 2 yx 1 x y o 1 1 yx 1 1 1 1 2 图 1 6 2 指数函数且 0 x yaa 1 a 它的定义域为 值域为 图象经过定点 0 0 1 1 当时 函数单调减少且无界 如图 1 7 1 01a 2 当时 函数单调增加且无界 如图 1 7 2 1a x y logayx O 01 a 1 0 x y logayx O 1 0 0 a 1 2 图 1 7 3 对数函数且log 0 a yxa 1 a 它的定义域为 值域为 图象经过定点 0 1 0 1 当时 函数单调递减且无界 如图 1 8 1 01a 2 当时 函数单调递增且无界 如图 1 8 2 1a logayx 01 a x y O 1 0 logayx 1 a x y O 1 0 1 2 图 1 8 4 三角函数 1 正弦函数xysin 定义域为 值域为 奇函数 周期为的周期函数 有界 如 1 1 2 图 1 9 x y 1 1 0 4 3 2 2 3 4 sin yxxR 图 1 9 2 余弦函数xycos 定义域为 值域为 偶函数 周期为的周期函数 有界 如 1 1 2 图 1 10 cos yxxR 0 2 4 3 2 3 4 x y 1 1 图 1 10 3 正切函数xytan 定义域为 值域为 奇函数 周期为 2 x xR xkkZ 的周期函数 无界 如图 1 11 x y O 2 3 2 2 3 2 tanyx x y cotyx O 2 2 2 3 2 2 3 2 图 1 11 图 1 12 4 余切函数xycot 定义域为 值域为 奇函数 周期为的周 x xR xkkZ 期函数 无界 如图 1 12 5 反三角函数 1 反正弦函数xyarcsin 定义域为 值域为 奇函数 单调增加 有界 图 1 13 1 1 22 2 反余弦函数 xyarccos 定义域为 值域为 非奇非偶函数 单调减少 有界 图 1 14 1 1 0 3 反正切函数xyarctan 定义域为 值域为 奇函数 单调增加 且有界 图 1 15 22 4 反余切函数 定义域为 值域为 非奇非偶函数 单调减少 有界 图 1 16 0 x y O arcsinyx 2 2 1 1 y O x 1 1 2 arccosyx 图 1 13 图 1 14 x y O 2 2 arctanyx x y 2 O arccotyx 图 1 15 图 1 16 1 1 3 复合函数 初等函数 1 复合函数 在同一问题中 两个变量的联系有时不是直接的 而是通过另一变量间接联系起来 的 例如 某汽车每公里油耗为公升 行驶速度为公里 小时 汽车行驶的里程是其行av 驶时间的函数 而汽车的油耗量又是其行驶里程的函数 于是 汽车vts asy 的油耗量与汽车行驶时间之间就建立了函数关系 这时我们称函数是由avty avty 与复合而成的复合函数 asy vts 一般地 设是的函数 是的函数 如果值域与 ufy u xu x xu 定义域的交集非空 则通过中间变量成为的函数 我们称为的复合复合 ufy yuxyx 函数函数 记作 xfy 其中称为中间变量中间变量 u 例例 5 5 指出下列函数的复合过程和定义域 1 2 1 log 2 xy a xy 2 sin 例例 6 6 已知 将表示成的复合函数 uylg 2 sin uv vx yx 2 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限复合运算构成的 并且能用一个解析表 示的函数称为初等函数初等函数 例如 等都是初等函数 2 log 1 2 x x y a xy 3xxyln 1 1 4 建立函数关系举例 为了解决应用问题 先要给问题建立数学模型 即建立函数关系 为此需要明确问 题中有因变量与自变量 再根据题意建立等式 从而得出函数关系 再确定函数的定义 域 应用问题的定义域 除使函数的解析式有意义外 还要考虑变量在实际问题中的含 义 下面就一些简单实际问题 说明建立函数关系的过程 例例 7 7 某市场对西红柿的批发价格如下规定 批发量在千克以下为 元 千克 批501 发量在千克以下超过千克的部分为元 千克 批发量超过千克的部分为100500 8100 元 千克 设批发量为千克 总费用为元 试建立与的函数关系 0 5xyyx 例例 8 8 一物体作直线运动 已知所受阻力的大小与其运动速度成正比 方向相fv 反 设物体的速度为米 秒时 所受阻力为牛顿 试建立与的函数关系 10098 1 fv 例例 9 9 公共电话收费问题 在公共电话亭打市内电话 每收费元 不足按收费 求电话3min0 43min3min 收费与用时 的函数关系 t 1 2 函数的极限 1 2 1 数列的极限 数列 整标函数 可以看作是按自然数顺序列出的一串函数值 nfxn 现在来考察当自变量无限增大时 数列的变化趋势 试 12 n xxx n nfxn 看下面几个下例子 1 即 1 2 n n x 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2n 2 即 1 1 n n n x n 2 2 14 34 3 1 1 nn n 3 即 2 n xn 2462n 4 即 1 1 2 n n x 0101 1 1 2 n 通过仔细观察可以发现 当时 这几个数列的变化情况是大不相同的 数列n 1 随着的无限增大 无限接近常数 数列 2 随着的无限增大 n 1 2 n n x 0n 无限接近常数 数列 3 4 随着的无限增大 都不能无限接近于 1 1 n n n x n 1n 某一个确定的常数 当时 数列的值也无限增大 数列的n 2 n xn 1 1 2 n n x 值在与 两个数上来回跳动 01 为清楚起见 我们把表示 1 2 这两个数列的点分别在数轴上描出一些 图 1 18 1 19 x1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 图 1 18 x 1 2 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 1 4 3 3 4 6 5 5 6 7 x 8 7 图 1 19 可以看出 当无限增大时 数列在数轴上的对应点逐渐密集在右侧 n 1 2 n n x 0 x 即数列无限趋近于 数列在数轴上的对应点逐渐密集在 1 2 n n x 0 1 1 n n n x n 附近 即数列无限趋近于 1x 1 1 n n n x n 1 总之 当无限增大时 数列 1 2 都趋近于一个常数 这种数列称其为有极限 n 当无限增大时 数列 3 4 都不趋近于一个常数 这种数列称为无极限 一般地 n 有下面定义 定义定义 1 11 1 设数列 如果当无限增大时 无限趋近于一个确定的常数 n xn n xA 则称当趋于无穷大时 数列 以为极限 记作n n xA 或 Axn n lim n xAn 此时 也称数列 是收敛的 如果数列 没有极限 就称其为发散的 n x n x 因此 当时 的极限是 可记作 的极限是 n 1 n x n 0 1 lim0 n n 1 n n x n 1 可记作 而数列和没有极限 没有极限的数列 也lim1 1 n n n 2 n xn 1 1 2 n n x 说数列的极限不存在 例例 1 1 观察下面数列的变化趋势 写出它们的极限 1 2 n xn 1 3 1 2 n xn 3 4 n n n x 2 1 1 3 n x 一般地 任何一个常数数列的极限就是这个常数本身 即 为常数 CC n limC 例例 2 2 无穷递缩等比数列的求和公式 设数列 其 231 n a aq aqaqaq 中首项 公比 求其所有项的和 0 1 a1q S 1 2 2 函数的极限 1 当时 函数的极限 x yf x 例例 3 3 考察当时 函数的变化趋势 x x xf 1 定义定义 1 21 2 如果当的绝对值无限增大 即 时 函数无限接近于一个xx xf 确定的常数 那么就叫做函数当时的极限 记作AA xf x 或当时 Axf x limx f xA 有时 的变化趋向只取或中的一种情况 因此 类似地有下面的x xx 定义 定义定义 1 31 3 如果当时 函数无限接近于一个确定的常数 则称为 x xfAA 函数当时的极限 记作 xf x 或当时 Axf x lim x f xA 定义定义 1 41 4 如果当时 函数无限接近于一个确定的常数 则称为x xfAA 函数当时的极限 记作 xfx 或当时 lim x f xA x f xA 于是 由图 1 20 可以看出 111 limlimlim0 xxx xxx 可以证明 若 则 反之也成立 lim lim xx f xf xA Axf x lim 例例 4 4 求和 lim x x e lim x x e 2 时函数的极限 0 xx 为了研究方便 下面介绍邻域的概念 设是任一正数 开区间叫做点点的的邻域邻域 记作 其 00 xx 0 x 0 U x 中叫做邻域中心邻域中心 叫做邻域半径邻域半径 去掉邻域中心的邻域叫做去心邻域去心邻域 0 x 下面研究当时 函数的极限 0 xx f x 表示无限趋近于定值 它包含两种情况 0 xx x 0 x 0 xx 1 从大于的一侧趋近于 记作 x 0 x 0 x 0 xx 2 从小于的一侧趋近于 记作 x 0 x 0 x 0 xx 例例 5 5 考察当时 函数的变化趋势 3x 1 3 x f x 定义定义 1 51 5 设函数在的某邻域内有定义 可以除外 如果当无限趋 xfy 0 x 0 xx 近于定点 可以不等于 时 函数值无限趋近于一个确定的常数 那么就叫 0 xx 0 xAA 做函数函数当当时的极限时的极限 记作 xfy 0 xx 或当时 0 lim xx f xA 0 xx f xA 需要注意 函数在点的极限状况与函数在该点是否有定义及如何定义无关 0 x 例例 6 6 讨论极限和 C xx 0 lim x xx 0 lim 解解 因为函数是常量函数 函数值恒等于常数 C 所以 Cy CC xx 0 lim 因为函数的函数值与自变量相等 所以当时函数值也趋于 xy 0 xx xy 0 x 因此 0 0 lim xx xx 例例 7 7 考察极限 2 1 1 lim 2 x x 3 时函数的左极限与右极限 0 xx yf x 定义定义 1 61 6 如果当时 函数无限趋近于一个确定的常数 那么就 0 xx xfAA 叫做函数函数当当时的左极限时的左极限 记作 xf 0 xx 或当时 Axf xx lim 0 0 xx f xA 如果当时 函数无限趋近于一个确定的常数 那么就叫做函数函数 0 xx xfAA 当当时的右极限时的右极限 记作 xf 0 xx 或当时 0 lim xx f xA 0 xx f xA 一般地 当时 函数在点处的极限与左极限 右极限的关系为 0 xx xf 0 x lim 0 xf xx Axf xx lim 0 Axf xx lim 0 也就是说 如果函数在点处的左 右极限都存在且相等 那么函数在 xf 0 x xf 点处的极限存在 且与左 右极限相等 反之 如果那么函数在点处的极限 0 x xf 0 x 存在 那么函数在点处的左 右极限都存在 且与函数的极限相等 xf 0 x 例例 8 8 讨论当 0 时 函数的极限 x 0 0 xx f x xx 例例 9 9 讨论当时 函数的极限 0 x 1 0 0 0 1 0 xx f xx xx 例例 1010 讨论当时 函数的极限 3x 3 9 2 x x xf 1 3 极限的运算 1 3 1 极限运算法则 利用极限的定义只能求一些简单函数的极限 对于复杂函数的极限却无法解决 下 面介绍极限的运算法则 进而解决复杂函数的求极限问题 设 则 00 lim lim xxxx f xAg xB 1 000 lim lim lim xxxxxx f xg xf xg xAB 2 000 lim lim lim xxxxxx f xg xf xg xA B 3 0 0 0 lim lim lim xx xx xx f x f xA g xg xB 0 B 4 为常数 00 lim lim xxxx Cf xCf xCA C 5 为正整数 00 lim lim n nn xxxx f xf xA n 以上结论仅就时加以叙述 对于自变量的其它变化过程同样成立 其中 0 xx x 法则 1 2 可以推广到有限个函数的情况 例例 1 1 求极限 32 lim 2 x x 例例 2 2 求极限 6 33 lim 2 2 1 x xx x 例例 3 3 求极限 3 9 lim 2 3 x x x 例例 4 4 求极限 152 63 lim 2 2 xx xx x 例例 5 5 求极限 22 12 lim 3 2 xx xx x 例例 6 6 求极限 342 52 lim 2 3 xx xx x 由以上三例 可得一般结论 0 0 00 ba 1 0110 1 0110 0 lim nn nn mm x mm nm a xa xaxaa nm b xb xbxbb nm 1 3 2 两个重要极限 1 极限1 sin lim 0 x x x 例例 7 7 求极限 x x x 3 2sin lim 0 例例 8 8 求极限 x x x tan lim 0 例例 9 9 求极限 2 0 cos1 lim x x x 例例 1010 求 x x x 1 sinlim 一般地 这就是说不论在怎样的情况下 只要这 sin lim1 f x f x lim 0 f x 种特定形式的极限均为 1 2 极限e x x x 1 1 lim 例例 1111 求极限 x x x 1 1 lim 例例 1 12 求极限 x x x 2 1lim 例例 1313 求极限 13 2 1 1 lim x x x 1 4 无穷小量与无穷大量 1 4 1 无穷小量 1 无穷小量的定义 在实际问题中 经常会遇到以零为极限的变量 例如 当关掉电源时 电扇的扇叶会 逐渐慢下来 直至停止转动 又如 电容器放电时 其电压随时间的增加而逐渐减少并 趋近于零 再如 用抽气机来抽容器中的空气 容器中的空气含量将随着时间的增加而 逐渐减少并趋近于零 对于这种变量 给出下面的定义 定义定义 1 71 7 如果当 或 时 则称当 或 0 xx x 0f x 0 xx 时 函数为无穷小量无穷小量 简称无穷小无穷小 通常用等表示 x xf 例如 当时 函数都是无穷小 当时 函数 都0 x 2 2 xx1 x1 x1 2 x 是无穷小 当时 函数 x 1 是无穷小量 x 应当注意 1 无穷小是以零为极限的函数 当我们说函数是无穷小量时 必 xf 须同时指明自变量的变化趋向 例如 当时 函数是无穷小量 而当x x 1 f x x 时 函数就不是无穷小量 1 x 1 f x x 2 常数中只有 是无穷小 这是因为 0 0 lim 00 x x 而对其它函数 尽管它的值可以很小 因其值已取定 不为零 极限都不是 因此都0 不能说成是无穷小 2 无穷小量的性质 1 有限个无穷小的代数和是无穷小 2 有限个无穷小的乘积是无穷小 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 例例 1 1 求极限 x x x 1 sinlim 0 3 无穷小与函数极限的关系 定理定理 函数以常数为极限的充分必要条件是可以表示为与一个无穷 xfA xfA 小之和 即 其中 AxfAxf x xx lim 0 0lim 0 x xx 例如 而 1 1 lim x x x xx x1 1 1 x 1 0 1 lim x x 4 无穷小的阶 无穷小虽然都是趋近于 0 的变量 但不同的无穷小趋近于 0 的速度却不一定相同 有时可能差别很大 如当时 都是无穷小 但它们趋近于的速度却不一样 列表如下 0 x 2 2 xx x0 x 01 0 5 0 1 0 01 0 001 2x 02 1 0 2 0 02 0 002 2 x01 0 25 0 01 0 0001 0 000001 显然 比与趋近于 0 的速度都快得多 快慢是相对 是相互比较而言的 下 2 xx2x 面通过比较两无穷小趋于 0 的速度引入无穷小的阶的概念 定义定义 1 81 8 设是同一过程中的两个无穷小 如果 则称是比较高阶的无穷小 lim0 如果 则称与是同阶的无穷小 特别是当时 称与是等lim0c 1c 价无穷小 记作 如果 则称是比较低阶的无穷小 lim 例如 所以当时 是比较高阶的无穷小量 反之 2 00 limlim0 xx x x x 0 x 2 xx 当时 是比较低阶的无穷小量 0 x x 2 x 又如 所以当时 与是同阶无穷小量 0 1 lim 22 x x x 0 x x2x 1 4 2 无穷大量 1 无穷大量的定义 定义定义 1 81 8 如果当 或 时 函数的绝对值无限增大 则称当 0 xx x xf 或 时 函数为无穷大量无穷大量 简称无穷大无穷大 0 xx x xf 例如 当时 函数是无穷大量 1 x 1 1 x 应当注意 1 说函数是无穷大量 必须同时指明自变量的变化趋势 xfx 例如 当时 函数是无穷大量 但当时 函数1 x 1 1 x xf x 就不是无穷大量 1 1 x xf 2 一定要把绝对值很大的数与无穷大量区分开 因为绝对值很大的数 无论多么大 都是常数 不会随着自变量的变化而绝对值无 限增大 所以都不是无穷大量 根据定义 函数是无穷大时 其极限是不存在的 但为了便于叙述 我们常说 xf 函数的极限是无穷大 并记作 xf lim 0 xf x xx 如果当 或 时 取正值而无限增大 记作 0 xx x xf lim 0 xf x xx 如果当 或 时 取负值而绝对值无限增大 记作 0 xx x xf lim 0 xf x xx 例如 当时 函数取正值而无限增大 所以是时的 x 2 f xx xf x 无穷大量 记作 当时 函数取负值而绝对值无限增大 2 lim x x 0 x lgf xx 所以是时的无穷大量 记作 xf 0 x x x lglim 0 2 无穷大与无穷小的关系 为了说明无穷大与无穷小的关系 我们先考察下面的例子 当时 函数是无穷小 而函数则是无穷大 当时 x 1 f x x f xx 1 x 函数是无穷大 而函数是无穷小 1 1 x xf 1f xx 一般地 在自变量的同一变化过程中 如果是无穷大量 那么是无穷小 xf 1 xf 量 如果是无穷小量 且 那么是无穷大量 xf 0f x 1 xf 例例 2 2 求极限 1 12 lim 1 x x x 例 例 求极限 23 lim 2 xx x 1 5 函数的连续性 连续性是函数的重要性态之一 它反映了许多自然现象的一个共性 例如气温的变 化 动植物的生长 空气的流动等 都是随着时间在连续不断地变化着的 这些现象反映 在数学上 这是函数的连续性 1 5 1 连续函数的概念 1 函数的增量 设函数在点的某邻域内有定义 当自变量从 称为初值 变化到 xfy 0 xx 0 x 称为终值 时 终值与初值之差称为自变量的增量增量 或改变量改变量 记为 1 x 10 xx 10 xxx 相应地 函数的终值与初值之差 1 f x 0 f x 称为函数的增量 记为 1000 f xf xf xxf x 00 xfxxfy 容易理解 增量可以是正值 可以是负值 也可以是零 例例 1 1 设 求适合下列条件的自变的增量和函数的增量 2 31yx x y 1 从 变到时 2 从 变到时 3 从 变到时 x11 5x10 5x1x 1 2 函数在点的连续性 xf 0 x 函数在点连续 反映到图形上即为曲线在的左右近旁是连绵不断的 如 xf 0 x 0 x 图 1 26 所示 给自变量一个增量 对应就有函数的增量 且当趋于时 x y x 0 的绝对值将无限变小 y x y O 0 x 0 xx x y yf x 图 1 26 定义定义 1 101 10 设函数在点的某邻域内有定义 如果在点自变量的增量 xfy 0 x 0 x 趋于时 相应函数的增量也趋于 即 那么 称函数数在在x 0y 00lim 0 y x xfy 点点连续连续 0 x 例例 2 2 利用定义证明函数在点处连续 1 2 xy1x 令 则当时 同时时 xxx 0 0 x 0 xx 0 0yf xf x 于是 函数在点处连续可描述成下面的定义 0 f xf x xfy 0 x 定义定义 1 111 11 设函数在点的某邻域内有定义 如果当时 函数 xfy 0 x 0 xx 的极限存在 且等于在点的函数值 即 那么 xf xf 0 x 0 xf lim 0 0 xfxf xx 称函数函数在点在点处连续处连续 xfy 0 x 由定义可以看出 函数在点处连续 必须同时满足如下条件 xfy 0 x 1 函数在点处必须有定义 xfy 0 x 2 函数在点处必须有极限 xfy 0 x 3 函数在点处的极限值必须等于它在点处的函数值 即 xfy 0 x 0 x lim 0 0 xfxf xx 函数在点处连续和函数当时有极限的区别 函数在点处 f x 0 x f x 0 xx f x 连续能保证存在 同时还能保证在点有定义 并且极限值为函数值 0 lim xx f x f x 0 x 反之 仅当存在时 在点处不一定连续 甚至在处可 0 f x 0 lim xx f x f x 0 x f x 0 x 能没有定义 所以 函数在时有极限 是在点处连续和必要条件 f x 0 xx f x 0 x 如果 则称函数在点处左连续左连续 0 0 lim xx f xf x f x 0 x 如果 则称函数在点处右连续右连续 0 0 lim xx f xf x f x 0 x 函数在点处连续的充分必要条件是在点处既左连续又右连续 f x 0 x f x 0 x 3 函数在区间的连续性 xf 如果函数在区间内的任一点都连续 那么称函数函数在区间在区间 xfy a b xfy 内连续内连续 此时 函数叫做区间内的连续函数连续函数 区间叫做 a b xfy a b a b 的连续区间连续区间 xfy 如果函数在闭区间上有定义 在区间内连续 且在区间的左 xfy a b a b 端点处右连续 即 在区间的右端点左连续 即 alim xa f xf a blim xb f xf b 那么称函数函数在闭区间在闭区间上连续上连续 xfy a b 1 5 2 函数的间断点 如果函数在点处不连续 那么称函数函数在点在点处间断处间断 点称 xfy 0 x xfy 0 x 0 x 为函数的间断点间断点 xfy 由函数连续的定义可知 函数在点间断有下列几种情况 0 x 1 函数在点处没有定义 xf 0 x 2 不存在 lim 0 xf xx 3