成都理工大学复变函数试题

1 成都理工大学成都理工大学 复变函数复变函数 模拟考试试题 一 参考答案模拟考试试题 一 参考答案 大 题一二三四总 分 得 分 一 填空题 每题 4 分 共 5 题 20 分 1 则 i 2 1i z 2010 z 2 三角形三个顶点复数为 则重心处的复数是 321 zzz 3 1 321 zzz 3 函数的奇点是 全体复数 任意复数 2 zw 4 e i e 1 5 z 1 化简 0 z z 1 二 计算题 每题 6 分 共 4 题 24 分 6 求 Ln 1 的全体值 i 3 解 原式 3 分 31 2lniiArg 3 2 2ln ki 3 分 7 求的全体值 i i 1 解 原式 1 iiLn e 4 2 2 ln kii e 2 3 分 4 2 k e 2lni e 4 2 k e2lnsin2lncosi 3 分 8 计算 0 sin zdzz 解 原式 0 coszzd 3 分 0 0 cos coszdzzz 3 分 9 计算 C 的正向 C az dz 22 aaz 解 原式 C 内只包围奇点 a 3 分dz azaza C 11 2 1 dz aza C 1 2 1 a i 2 2 a i 3 分 三 解答题 每题 6 分 共 4 题 24 分 3 10 u x y 求函数 v x y 使 u x y iv x y 是解析函数 yxy 23 3 解 由 C R 方程 3 分xyvu yx 6 22 33yxvu xy 由 得 22 33yxvx 3 23 yxyxv 由 xyvy6 6yxyvy 0 所以 C y y Cxyxv 23 3 3 分 11 求级数的收敛域 0 1 n nn izi 解 半径2 1 lim 1 i c c n n n R 3 分 2 2 圆心为 i 收敛域 2 2 iz 3 分 12 求映射 在 z i 处的伸缩率和转动角 2 zw 解 zw z 2 3 分iiw z 2 伸缩率为 2 转动角 3 分 2 2 i 2arg i 2 4 13 在映射 w 1 i 下 z 平面上的图形 z i 1 被映射成 w 平面上的z 什么图形 解 共轭表示以实轴为对称轴上下翻 映射为 z i 1 3 分 乘以 1 i 表示旋转 再以原点为基准向外膨胀为 4 21 i ei 4 倍的圆 2 圆心是 膨胀到 1 i 半径从 1 膨胀到 i 2 2 2 2 2 最后图形是 w 1 i 3 分2 四 计算题 每题 8 分 共 4 题 32 分 14 计算 L 是连接 0 0 与 0 的曲线 0 0 为起点 L dzz xysin 解 原式 定义 L iyxdiyx 2 分 展开 2 分 L xdyiydxiydyxdx 代路xxdixdxisinsin0 2 00 2 径 2 分 2 2 分部积分 2 分 15 把函数在区域 1 z 2 展开成洛朗级数 2 1 1 2 zz zf 解 原式 拆项 2 分 2 1 5 11 10 211 10 21 ziz i iz i 其 5 中 0 1 1 111 n n z i z z i ziz 2 分 0 1 1 111 n n z i z z i ziz 2 分 0 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 n n z z z 2 分 16 判断函数的所有有限奇点与无穷远奇点的类型 并计 zz z 2 1 2 算每个奇点的留数 解 有限奇点有 z 0 z 2 分别是一级极点 2 分 因为 所以 z 是可去奇点 20 2 1 lim 2 zz z z 分 2 1 2 1 lim 0 2 1 Re 0 2 z z zz z s z 两个有限奇点的留数 2 31 lim 2 2 1 Re 2 2 z z zz z s z 2 分 留数定理 2 21 2 2 1 Re 0 2 1 Re 2 1 Re 222 zz z s zz z s zz z s 分 6 17 求将下半平面 Im z 0 映射成单位圆 w i 2 的分式线性映射 解 下半平面取任一复数 0 Im 映射到 0 映射到 z z kw 2 分 当 z 1 w 1 所以 k 1 i ek 下半平面映射到单位圆内 z z ew i 2 分 扩大为半径为 2 的圆内 z z ew i 2 2 分 往上平移至圆心为 i i z z ew i 2 2 分 7 成都理工大学成都理工大学 复变函数复变函数 模拟考试试题 二 附参考答案模拟考试试题 二 附参考答案 大 题一二三四总 分 得 分 一 判断题 每题 2 分 共 6 题 总分 12 分 1 若是和的一个奇点 则也是和的奇点 0 z zf zg 0 z zgzf zg zf 2 若函数点解析 则在该点连续 zf 0 z 3 zzcoscos 4 则是解析函数 22 yxu 22 yx y v viu 5 若存在 则与有相同的收敛半径 n n n c c 1 lim 0n n nz c 0 1 n n nz nc 6 是的孤立奇点 1 z z z 1ln 二 填空题 每题 3 分 共 8 题 总分 24 分 1 设 则 2 31i z Argz 3 2 k 2 设 则的指数形式表示为iz i z 3 2 1 2121z z 12 2 i e 3 函数将平面上的曲线变为平面上的曲线的方程 z w 1 z2 1 1 22 yxw 是 用 u v 表示 2 1 vu 4 1tan Arc 4 k 8 5 1 ni ni n 1 1 lim 6 则 iz 2 3 2 1 2009 zi 2 3 2 1 7 映射在 z i 处转动角是 0 伸缩率是 ch1 zwsin 8 函数的奇点是 所有纯虚数 y 轴上除 0 以外的所有点 1ln 2 z 三 解答题 每题 6 分 共 8 题 总分 48 分 1 证明 Re 2 21 2 2 2 1 2 21 zzzzzz 解 左边 2 分 2121 zzzz 2 分 12122211 zzzzzzzz 2 分 Re 2 21 2 2 2 1 zzzz 2 解方程0cossin zz 解 2 分0 22 iziziziz ee i ee ie zi 2 2 分 4 kz 2 分 3 计算 1 3 1 sin z z dz e zz 解 被积函数在 z 1 内只有一个奇点 z 0 是一级极 点 2 分 9 11 1 lim sin 1 lim 1 sin lim 0 1 sin Re 3 0 3 0 3 2 0 3 z z z z z z z z e z e zz e zz s 3 分 原式 i 2 1 分 4 求的全部零点 并指出几级 1sin z 解 1sin z 即 1 2 i ee iziz ieiz 2 2 kz 3 分 zzcos 1 sin 0 2 2cos k zzsin 1 sin 0 2 2sin k 所以都是二级零点 2 2 kz 3 分 5 将函数在处展开成幂级数 并指出该级数的收敛半径 z e z 1 0 z 解 0 n n z n z e z 0 1 1 n n z z 1 z 3 分 10 z e z 1 0 n n n z 0n n z 2 2 5 21zz1 z 3 分 6 将函数在内展开成洛朗级数 z e z 1 10z 解 1 11 z z e z e z e 2 分 z e 1 0 1 n n n z 2 分 0 1 1 n n n z e 2 分 7 求的和函数 1 1 n n n z n 解 半径 R 1 2 分 设 S z 1 1 n n n z n S z 2 分 z zz n n n nn 1 1 1 1 1 1 1 11 S z 2 1ln 1 1 0 zdz z z 分 8 求映射把区域映射成 w 平面上的什么图形 iziw 1 1 0 Re z 解 1 i z 把平面膨胀倍 还是 2 分20 Re z 并旋转 映射成直线 y x 的上方 2 4 分 1 i 是向左平移 1 向上平移 1 还是直线 y x 的上方 2 分 四 解答题 每题 8 分 共 2 题 总分 16 分 1 f z 是解析函数 证明 22 2 2 2 2 2 4 zfzf y zf x 解 所以ivuzf 222 vuzf xx vvuuzf x 22 2 xxxxxx vvvuuuzf x 2 22 2 222 2 2 4yyyyyy vvvuuuzf y 2 22 2 222 2 2 分 由于 C R 方程 且 u v 都是调和函数 yyxxyyxxxyyx vvuuvuvu 2 分 yyyyyyxxxxxx vvvuuuvvvuuu zf y zf x 2 22 22 22 2 2222 2 2 2 2 2 2 12 22 4 4 xx vu 2 4zf 2 分 2 z 0 是函数的什么类型奇点 若是极点还要指出几级 3 tansin z zz 解 z 0 是分母的 3 级零点 2 分 0 tansin 0 z zz 2 分 z zzzz cos 1 1 cossintansin z 0 是 sinz 的一级零点 是 cosz 1 的二级零点 不是的零点或极点 zcos 1 所以 z 0 是的 3 级零点 zztansin 2 分 综上所述 z 0 是可去奇点 3 tansin z zz 2 分 13 复变函数试题 一 填空题 3 15 45 分 1 一个复数乘以 它的模 它的辐角 i 2 函数把 平面上的区域映成 平面上的区域 3 zw 3 arg0 z 3 nL i 4 设为解析函数 则 2 2222 yxybxiyaxyx 5 已知在区域 内是解析的 为 内任一闭合曲线 则 zf C fz dz A 6 其中 10 z C e dz z A 1 z 7 已知 则 n i n e n 1 1 n n lim 8 函数在 1 处的泰勒展式的收敛半径 R 2 5 1 z zz 0 z 9 z 0 是函数的 级极点 sin z f z zz 10 如果分式线性映射把 z 平面上的点 则该分式1 1 1 iwii 映射成平面上的点 线性映射为 11 i i zdz e 3 2 14 12 i i 13 方程的所有根是 08 3 z 14 1 R 22 2 z z es 15 若函数 f z 在点 a 解析 且 0 0 1 afafafafaf nn 则 Re a zf zf s 二 判断题 3 6 18 分 1 0 的辐角是零 2 如果在可导 那么在解析 f z 0 z zf 0 z 3 设 和 都是调和函数 如果 是 的共轭调和函数 那么 也是 的共轭调和函 数 4 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 5 函数不能在某个圆环域内展开成洛朗级数 1 z tg 0 0 RRz 6 设在单连通域 B 内处处解析 C 为 B 内任一