平面几何四心讲义VIP

1 三角形四心竞赛讲义 一 四心 分类讨论 1 1 外心 1 2 内心 2 3 垂心 3 4 重心 5 5 外心与内心 6 6 重心与内心 6 7 外心与垂心 7 8 外心与重心 8 9 垂心与内心 8 10 垂心 重心 外心 8 旁心 9 二 四心 的联想 9 1 由内心 重心性质产生的联想 9 2 重心的巧用 11 3 三角形 四心 与一组面积公式 12 三角形各心间的联系 15 与三角形的心有关的几何命题的证明 16 三角形的内心 外心 垂心及重心 以下简称 四心 是新颁发的初中数学竞赛大纲 特别加强的内容 由于与四心有关的几何问题涉及知识面广 难度大 应用的技巧性强 方 法灵活 是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型 因此 它是近几年来升学 竞赛的热点 92 93 94 95 连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容 本讲 拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用 以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法 提高灵 活运用有关知识的能力 一 一 四心四心 分类讨论分类讨论 1 1 外心 外心 三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心 即外接圆圆心 ABC 的外心一般用 字母 O 表示 它具有如下性质 1 外心到三顶点等距 即 OA OB OC 2 A AOBCAOCBBOC 2 1 2 1 2 1 如果已知外心或通过分析 挖掘 出外心 与外心有关的几何定理 尤其是圆周角与 圆心角关系定理 就可以大显神通了 下面我们举例说明 例例 2 2 证明三角形三边的垂直平分线相交于一点 此点称为三角形的 外心 已知 ABC 中 XX YY ZZ 分别是 BC AC AB 边的垂直 平分线 求证 XX YY ZZ 相交于一点 图 3 111 Y X Z 3 111 O Z Y X CB A 2 例 1 如图 9 1 所示 在 ABC 中 AB AC 任意延长 CA 到 P 再延长 AB 到 Q 使 AP BQ 求证 ABC 的外心 O 与点 A P Q 四点共圆 例 2 如图 9 2 所示 在 ABC 的大边 AB 上取 AN AC BM BC 点 P 为 ABC 的内心 求证 MPN A B 例 3 AB 为半圆 O 的直径 其弦 AF BE 相交于 Q 过 E F 分别作半圆的切线得交点 P 求证 PQ AB 2 2 内心 内心 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心 即内切圆圆心 ABC 的内心一般用字 母I表示 它具有如下性质 1 内心到三角形三边等距 且顶点与内心的连线平分顶角 2 A 的平分线和 ABC 的外接圆相交于点 D 则 D 与顶点 B C 内心I等距 即 D 为 BCI 的外心 3 BIC 90 A CIA 90 B AIB 90 C 2 1 2 1 2 1 例例 1 1 证明 三角形三内角平分线交于一点 此点称为三角形的内 心 已知 ABC 中 AX BY CZ 分别是 A B C 的平分线 求 证 AX BY CZ 交于一点 图 3 110 说明说明若证明几条直线共点 可先证其中两条直线相交 再证这个交点分别在其余各条 直线上 则这几条直线必共点于此交点 由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等 所以以此交点为圆心 以此点到各 边的距离为半径作圆 此圆必与三角形三边内切 所以称此交点为三角形内切圆圆心 简称 9 1 FE A C O B Q P 9 2 P NM C BA 9 3 12 F P K H Q E BA Z 3 110 I Y XCB A 3 内心 例 1 如图 9 4 所示 在 ABC 中 AB AC 有一个圆内切于 ABC 的外接圆 且与 AB AC 分别相切于 P Q 求证 线段 PQ 的中点 O 是 ABC 的内心 说明 本题还可证明 O 到 ABC 的三边距离相等 得到 O 为 ABC 的内心 例 2 如图 9 5 所示 I 为 ABC 的内心 求证 BIC 的外心 O 与 A B C 四点共圆 例 3 在圆内接四边形 ABCD 中 顺次取 ABD ABC CDB CDA 的内心 求证 四边形是一个矩形 4321 OOOO 4321 OOOO 3 ABC 中 I 是内心 过 I 作 DE 直线交 AB 于 D 交 AC 于 E 求证 DE DB EC 3 3 垂心 垂心 三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心 ABC 的垂心一般用字母 H 表 示 它具有如下的性质 1 顶点与垂心连线必垂直对边 即 AH BC BH AC CH AB 2 若 H 在 ABC 内 且 AH BH CH 分别与对边相交于 D E F 则 A F H E B D H F C E H D B C E F C A F D A B D E 共六组四 点共圆 3 ABH 的垂心为 C BHC 的垂心为 A ACH 的垂心为 B 9 4 O OP A Q C D B 9 5 O I B C A 9 6 O2 O3 O1 O4 D C BA 4 4 三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的 2 倍 例例 4 4 证明 三角形三条高线交于一点 这点称为三角形的垂心 已知 如图 3 114 ABC 中 三边上的高线分别是 AX BY CZ X Y Z 为垂足 求证 AX BY CZ 交于一点 分析分析要证 AX BY CZ 相交于一点 可以利用前面的证明方法去证 也可以转化成前面 几例的条件利用已证的结论来证明 为此 可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的 现有命题来证 只须构造出一个新三角形 A B C 使 AX BY CZ 恰好是 A B C 的 三边上的垂直平分线 则 AX BY CZ 必然相交于一点 例 1 设 H 是等腰三角形 ABC 的垂心 在底边 BC 保持不变的情况下 让顶点 A 至底边 BC 的距离变小 问这时乘积的值变大 变小 还是不变 HBCABC SS 证明你的结论 例 2 设 H 为锐角 ABC 的三条高 AD BE CF 的交点 若 BC a AC b AB c 则 AH AD BH BE CH CF 等于 A ab bc ca B 2 1 2 1 222 cba C ab bc ca D 3 2 3 2 222 cba 例 3 求证 锐角三角形的垂心 H 必为其垂足三角形的内心 分析 由性质不难得到证明 由本例结论 可得到下述命题的简捷证明 已知 ABC 中 H 为垂心 AD BE CF 是高 EF 交 AD 于 G 求证 DG GA DH QH 例 4 如图 9 8 所示 已知 ABC 的高 AD BE 交于 H ABC ABH 的外接圆分别为 O 和 O1 求证 O 与 O1 的半径 相等 q1 3 2 D H G E C A B H 9 8 O2 O1 Q P E D C B A A B C H 3 114 Y Z X CB A 5 4 设 G 为 ABC 的垂心 D E 分别为 AB AC 边的中点 如果 S ABC 1 那么 S GDE 4 4 重心 重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心 ABC 的重心一般用字母 G 表示 它有如下的 性质 1 顶点与重心 G 的连线必平分对边 2 重心定理 三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍 3 ABCAGBCGABGC SSSS 3 1 例例 3 3 证明 三角形的三条中线相交于一点 此点称为三角形的重心 重心到顶点与到 对边中点的距离之比为 2 1 已知 ABC 中 AX BY CZ 分别是 BC AC AB 边上的中线 求 证 AX BY CZ 相交于一点 G 并且 AG GX 2 1 图 3 112 明明为什么称 G 点为 ABC 的重心呢 这可以从力学得到解释 设 ABC 为一个质量均匀 的三角形薄片 并设其重量均匀集中于 A B C 三点 如果把 B C 两点的重量集中于 BC 边 中点 X 时 那么 ABC 的三顶点 A B C 的集中重量作了重新分配 若 A 点为 1 则 X 点为 2 因此在 AX 上的重心支撑点必在 AG GX 2 1 处的 G 点 这样一来 如果在 G 点支起三角 形 那么 ABC 必保持平衡 所以 G 点为三角形的重心 图 3 113 例 1 已知 G 是 ABC 的中心 过 A G 的圆与 BG 切于 G CG 的延长线交圆于 D 求证 GDGCAG 2 分析 构造以重心 G 为顶点的平行四边形 GBFC 并巧用 A D F C 四点共圆巧证乘积 延长 GP 至 F 使 PF PG 边 FB FC AD 图 9 9 例 2 设 G 是等腰 ABC 底边上的高 AD 与腰 AC 上的中线 BE 的交点 若 AD 18 BE 15 则这个等腰三角形的面积为多少 例 3 平行四边形 ABCD 的面积是 60 E F 分别是 AB BC 的中点 AF 分别与 ED BD 交于 G H 则四边形 BHGE 的面积是 3 2 1 P G D B F E C A 3 112 Y G Z X ED C BA 6 例例 7 7 如图 3 118 设 G 为 ABC 的重心 从各顶点及 G 向形外一直线 l 引垂线 AA BB CC GG 其中 A B C G 为垂足 求证 AA BB CC 3GG 分析分析由于图中有许多可以利用的梯形 故可考虑利用梯形中位线定理来证明 说明说明当本题中 AA BB CC GG 不垂直于 l 但仍保持互相平行时 本题结论 是否还成立 试作出你的猜想 并加以证明 5 5 外心与内心 外心与内心 例 1 已知 ABC 中 O 为外心 I 为内心 且 AB AC 2BC 求证 OI AI 图 9 10 2 如图 3 119 在 ABC 中 O 为外心 I 为内心 且 AB BC CA 求证 1 OAI OBI 2 OAI OCI 6 6 重心与内心 重心与内心 例 1 如图 9 11 所示 已知 ABC 的重心 G 与内心 I 的连线 GI BC 求证 AB BC CA 成等差数列 9 11 I G E D C B A 9 10 I O E D C B A B C M N G A G 3 118 N M C B A 3 119 IO C B A 7 7 7 外心与垂心 外心与垂心 例 1 如图 9 12 所示 在 ABC 中 H 为垂心 O 为外心 BAC 60 求证 AH AO 例 2 证明 三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的 2 倍 把条件改写一下 已知 AD BE 为 ABC 的两高线 其交点为 H OM ON 分别为 BC CA 的中垂线且交于 O 须证 AH 2OM BH 2ON 例例 6 6 如图 3 116 已知 H 是 ABC 的垂心 O 是外心 OL BC 于 L 求证 AH 2OL 8 8 外心与重心 外心与重心 例 1 如图 9 14 所示 已知 Rt ABC 中 AH 为斜边 BC 上的高 M 为 BC 中点 O 为 ABC 外心 OB 交 AH 于 D 求证 AD 2DH 5 在 ABC 中 A 60 O 是外心 H 是垂心 求证 AO AH 9 9 垂心与内心 垂心与内心 例 1 如图 9 15 所示 已知 O 为正三角形 ABC 的高 9 13 O H E C B A 9 13 N M H G F E D C B A 9 14 E O G M H D CB A 9 15 L N O M P E D C B A H M 3 116 L K O CB A 8 AD BE CF 的交点 P 是 ABC 所在平面上的任一点 作 PL AD 于 L PM BE 于 M PN CF 于 N 试证 PL PM PN 中较大的一条线段等于其它两条线段的和 1010 垂心 重心 外心 垂心 重心 外心 例题 证明 ABC 的垂心 H 重心 G 和外心 O 在同一条直线上 旁心旁心 例例 5 5 证明 三角形两外角平分线和另一内角平分线交于一点 此点称为三角形的旁 心 已知 BX CY 分别是 ABC 的外角 DBC 和 ECB 的平分线 AZ 为 BAC 的平分线 图 3 115 求证 AZ BX CY 相交于一点 二 二 四心四心 的联想的联想 1 1 由内心 重心性质产生的联想 由内心 重心性质产生的联想 内心性质 在 ABC 中 AD 是角平分线 I 是内心 则 BC ABAC ID AI 重心性质 在 ABC 中 AD 是一条中线 G 是重心 则 2 GD AD 联想 若 P 是 ABC 内的任意一点 是否有通用的类似性质 性质 设 P 为 ABC 内任意一点 称 P 为 ABC 的内点 AP 交 BC 于 D 令 BPC CPA APB 的面积分别为 则 cba SSS a cb S SS PD AP 证明 如图 9 19 所示 作 BC 于 BC 于 并设1AA1A1PP1P ABC 面积为 S 则 从而 即 a S S PPBC AABC PP AA PD AD 1 1 2 1 1 1 a a S SS PD PDAD a cb S SS PD AP 9 16 O G HE D D C B A 9 19 A1 P1 P D C B A 9 式中 当 P 为内心时 r 为内切圆半径 rABSrCASrBCS cba 2 1 2 1 2 1 于是 当 P 为重心时 于是 故 式是三角形内心 BC ABAC PD AP cba SSS 2 PD AP 重心性质的推广 我们不妨称之为三角形内点性质 利用它 许多数学 竞赛题都可求解 例 1 已知 R 为锐角 ABC 外接圆半径 O 是外心 AO BO CO 分 别交对边于 图 9 20 求证 1 1 1CBAROCOBOA 2 3 111 例 2 设 O ABC 内任意一点 AO BO CO 分别交对边于 A1 B1 C1 令 求证 W 12 111111OC CO OB BO OC CO OA AO OB BO OA AO W 2 2 重心的巧用 重心的巧用 重心 在物理学中指质点的重心 所谓 他山之石可以攻玉 这一概念在解决数学问 题 尤其是比值问题上 也大有 用武之地 关于质点重心 我们结合图形给出几个真命 题 证明过程略去 命题 1 设质点的质量分别为 它们的重心为 G 则2 1 PP 21 m m G 在的连线上 且满足 这里2 1 PP 21 mmmG 12 1 1mmGPGP 指质点 G 的质量 G m 命题 2 在如图 9 21 所示的 ABC 中 若 E 为质点 B A 的重心 F 为质点 B C 的重心 EC 与 AF 相交于 G 则 G 必为三个质点 A B C 的重心 连接 BG 延长交 AC 于 H 则 H 必为质点 A C 的重 心 命题 3 如果平面上有 n 个质点 它们的质量为 2 1 niyxP iii 2 1 nimi 则这些质点的重心 G 的坐标为 n i i n i ii G n i i n i ii G m xm y m xm x 1 1 1 1 这几个命题看似简单 但它却为解平面几何问题提供了一种崭新的 9 20 O C1 B1 A1 CB A 9 21 G H F C B A G P2 P1 9 22 P G K H F E D C B A 10 思路 例 1 三只苍蝇沿 ABC 的三边爬行 使由这三只苍蝇构成的三角形的与 ABC 的重心 保持不变 求证 如果某只苍蝇爬过了三角形的三条边 那么三只苍蝇构成的三角形的重心 与原三角形的重心重合 例 2 如图 9 23 所示 已知 P1P2P3 和其内任一点 P 直线 P1P P2P 和 P3P 分别与对 边交于 Q1 Q2 Q3 证明 在比值中至少有一个不大于 2 3 3 2 2 1 1 PQ PP PQ PP PQ PP 例 3 从三角形的一个顶点到对三等分点作线段 过第二顶点的中线被这些线段分成边 比 x y z 设 x y z 求 x y z 图 9 24 例 4 如图 9 25 所示 在 ABC 中 D E 分别为 BC CA 上一点 且 BD DC m 1 CE EA n 1 AD 与 BE 相交于 F 求 的几倍 ABCABF SS 是 3 3 三角形 三角形 四心四心 与一组面积公式与一组面积公式 有这样一道竞赛题 ABC 为锐角三角形 过 A B C 分别作此三角形外接圆三条直径 求证 CCBBAA ABCCBABCAABC SSSS 该题中 三直径之交点即为 ABC 的外心 若就外心这一条件进行一些联想和变化 经 探索可得一系列与面积有关的结果 我们归纳如下 证明略去 定理 设 P 为 ABC 平面内的点 AP BP CP 所在直线分别交 ABC 的外接圆于 那么CBA 9 23 Q2 P3Q1P2 Q3 P1 9 24 z y x H G F EDC B A 11 1 若 P 为 ABC 的外心 则对锐角三角形 有 CABCBABCAABC SSSS 对非锐角三角形 不妨设 A 90 下同 有 CABCBABCAABC SSSS 2 若 P 为 ABC 的垂心 则对锐角三角形 有 式成立 对非锐角三角形 有 式成 立 3 若 P 为 ABC 的重心 则有 ABCCBABCAABC SSSS 当且仅当 ABC 为正三角形的时等号成立 4 若 P 为 ABC 的内心 则有 式成立 当且仅当 ABC 为正三角形时等号成立 据以上定理 可得以下若干推论 推论 1 已知 O 的内接锐角三角形 ABC 是 O 的三角条直径 且CCBBAA BC a CA b AB c 则有A B 212121 cBCcCAbABbBCaCAa 若 则又可得abccccbbbaaa 212121121212 bcabca 它等于三角恒等 tgA tgB tgC tgAtgBtgC 111111 cba abc a c c b b a 推论 2 设 ABC 的重心为 G AG BG CG 的延长线分别交三边 BC CA AB 于 D E F 交 ABC 的外接圆于 则 若将 重心 改为 内CBA 1 FC FC EB EB DA DA 心 其他条件不变 可知该结论仍成立 例 1 已知锐角 ABC 内接于圆 O 作 ABC 的 BC 边上的高 CA 边上的中线 C 的平分线并延长 分别交圆 O 于 A1 B2 C2 求 证 CABCBABCAABC SSSS 例 2 如图 9 27 所示 锐角 ABC 中 A 的平分线与三角形的外接圆交于另一点 A1 点 B1 C1 与此类似 直线 AA1 与 B C 两角的外角平分线相交于 A0 点 B0 C0 与此类 似 求证 A0B0C0 的面积是六边形 AC1BA1CB1 面积的 2 倍 A0B0C0 的面积至少是 ABC 面积的 4 倍 9 26 A1 B2 B1 C2 C1 CB A 9 27 A1 I C1B1 A0 B0 C0 C B A 12 练习题 1 在 ABC 中 A 20 AB AC 在 AB AC 上各取一点 D E 满足 BD BC AE BE 求 BED 的度数 2 如图 9 28 所示 已知 ACE CDE 90 点 B 在 CE 上 CA BC CD 过 A C D 三 点的圆交 AB 于 F 求证 F 为 CDE 的内心 3 在 ABC 中 C 90 A 和 B 的平分线相交于 P 点 又 PE AB 于 E 点 若 BC 2 AC 3 则 AE BE 4 ABC 中 G 为重心 l是过 G 的一条动直线 且分别交 AB AC 于点 E F 设 问l在何处时 所截得的 AEF 面积1 ABC S 取到最大值或最小值 5 锐角三角形 ABC 的三边长满足不等式 AB AC BC 如果 I 为 ABC 的内心 O 为外心 求证 直线 IO 与线段 AB 及 BC 相交 6 已知 ABC 中 A 60 H 为垂心 O 为外心 I 是内心 直线 AI 交 O 于 F 交 BH 于 G 求证 1 AO AH 2 OAG HAG 3 B O I H C 五点共圆 7 同图 9 11 已知重心 G 内心 I 且 AB AC 2BC 求证 GI BC 8 已知 ABC 中 H 为垂心 AD BE CF 是高 EF 交 ADG 求证 DA GA DH GH 9 ABC 的 A B C 的内角平分线分别与外接圆交于 A1 B1 C1 证明 ABCCBA SS 111 10 已知 BD EF B D 分别在 AE AF 上 DE BF 交于点 C AC 交 EF 于点 M 求证 EM MF 11 设 H 是 ABC 的垂心 求证 222222 ABHCACHBBCAH 12 设 O 是 ABC 的外心 AB AC D 为 AB 的中点 E 是 ACD 的重心 证明 OE CD 9 28 F D EB C A 13 三角形各心间的联系三角形各心间的联系 四心定理的证明具有统一性 利用塞瓦定理可以简便地证明重心定理 内心定理和垂心 定理 如果 AD BE CF 是 ABC 的中线 则 BD DC CE AE AF FB 因此 AD BE CF 三条中线交于一点 1 FB AF CA CE DC BD 如果 AD BE CF 是 ABC 的内角平分线 则 BC AC FB AF AB BC EA CE AC AB DC BD 因此 AD BE CF 三条内角1 BC AC AB BC AC AB FB AF EA CE DC BD 平分线交于一点 如果 AD BE CF 是 ABC 的三条高线 则 ABC BCF 有 ACD BCE 有 ABE ACF 有 BC AB FB BD AC BC CD CE AB AC AE AF BC AB EA AF DC CE FB BD FB AF EA CE DC BD 1 因此 AD BE CF 三条高线