数学高考热点集训

1 2012 新课标全国 已知集合 A 1 2 3 4 5 B x y x A y A x y A 则 B 中所含元素的个数为 A 3 B 6 C 8 D 10 2 2012 浙江 设集合 A x 1 x 4 集合 B x x2 2x 3 0 则 A RB A 1 4 B 3 4 C 1 3 D 1 2 3 4 3 2012 天津 已知集合 A x R x 2 3 集合 B x R x m x 2 0 且 A B 1 n 则 m n 4 设集合 M x x2 x 6 0 N x 1 x 3 则 M N A 1 2 B 1 2 C 2 3 D 2 3 5 若集合 A Error Error B x x 1 2 则 RA B A 0 1 B 3 2 C 3 2 D 0 1 6 2012 湖南 命题 若 则 tan 1 的逆否命题是 4 A 若 则 tan 1 B 若 则 tan 1 4 4 C 若 tan 1 则 D 若 tan 1 则 4 4 7 2012 辽宁 已知命题 p x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 则綈 p 是 A x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 B x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 C x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 D x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 8 2012 山东 设 a 0 且 a 1 则 函数 f x ax在 R 上是减函数 是 函数 g x 2 a x3在 R 上是增函数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 9 下列说法正确的是 A 函数 f x ax 1 a 0 且 a 1 的图象恒过定点 0 1 B 函数 f x x 0 在其定义域上是减函数 C 命题 x R x2 x 1 0 的否定是 x R x2 x 1 0 D 给定命题 p q 若綈 p 是假命题 则 p 或 q 为真命题 10 2012 江苏 函数 f x 的定义域为 1 2log6x 11 2012 江西 若函数 f x Error Error 则 f f 10 A lg 101 B 2 C 1 D 0 12 函数 f x ln x2 3x 2 的定义域为 13 已知函数 f x Error Error 则 f log23 A 1 B C D 1 8 1 16 1 24 14 2012 重庆 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数 且以 2 为周期 则 f x 为 0 1 上的 增函数 是 f x 为 3 4 上的减函数 的 A 既不充分也不必要的条件 B 充分而不必要的条件 C 必要而不充分的条件 D 充要条件 15 2012 上海 已知函数 f x e x a a 为常数 若 f x 在区间 1 上是增函数 则 a 的取值范围是 16 2012 江苏 设 f x 是定义在 R 上且周期为 2 的函数 在区间 1 1 上 f x Error Error 其中 a b R 若 f f 则 a 3b 的值为 1 2 3 2 17 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 其最小正周期为 3 当 x 时 f x 3 2 0 log 1 x 则 f 2 011 f 2 013 1 2 A 1 B 2 C 1 D 2 18 设函数 f x x 1 x a 是偶函数 则 a 19 2012 四川 函数 y ax a 0 且 a 1 的图象可能是 1 a 20 2011 新课标全国 函数 y 的图象与函数 y 2 sin x 2 x 4 的图象所有 1 1 x 交点的横坐标之和等于 A 2 B 4 C 6 D 8 21 2012 山东 函数 y 的图象大致为 cos 6x 2x 2 x 22 函数 f x 1 log2x 与 g x 2 x 1在同一直角坐标系下的图象大致是 23 函数 y 的图象大致是 lg x x 24 2012 浙江 设 a 0 b 0 A 若 2a 2a 2b 3b 则 a b B 若 2a 2a 2b 3b 则 a b C 若 2a 2a 2b 3b 则 a b D 若 2a 2a 2b 3b 则 a b 25 2012 全国 已知 x ln y log52 z e 则 1 2 A x y z B z x y C z y x D y z x 26 已知 a log0 70 9 b log1 10 7 c 1 10 9 则 a b c 的大小关系为 A a b c B a c b C b a c D c a b 27 已知函数 f x Error Error 若 f x0 3 则 x0的取值范围是 A 8 B 0 8 C 0 8 D 0 0 8 例 17 2012 天津 函数 f x 2x x3 2 在区间 0 1 内的零点个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 法一 因为 f 0 1 0 2 1 f 1 2 1 2 1 即 f 0 f 1 0 且函数 f x 在 0 1 内连续不断 故 f x 在 0 1 内的零点个数是 1 法二 设 y1 2x y2 2 x3 在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示 可知 B 正 确 答案 B 例 18 2012 天津 已知函数 y 的图象与函数 y kx 2 的图象恰有两个交点 x2 1 x 1 则实数 k 的取值范围是 解析 去掉绝对值转化为分段函数后 作出图象利用数形结合的方法求解 因为函数 y Error Error 根据图象易知 函数 y kx 2 的图象恒过点 0 2 所以两个函数图 x2 1 x 1 象有两个交点时 0 k 1 或 1 k 4 答案 0 1 1 4 例 19 2012 福建 对于实数 a 和 b 定义运算 a b Error Error 设 f x 2x 1 x 1 且关于 x 的方程 f x m m R 恰有三个互不相等的实数根 x1 x2 x3 则 x1x2x3 的取值范围是 解析 f x 2x 1 x 1 Error Error 即 f x Error Error 如图所示 关于 x 的方程 f x m 恰有三个互不相等的实根 x1 x2 x3 即函数 f x 的图 象与直线 y m 有三个不同的交点 则 0 m 不妨设从左到右的交点的横坐标分别为 1 4 x1 x2 x3 当 x 0 时 x2 x m 即 x2 x m 0 x2 x3 1 0 x2x3 2 即 0 x2x3 x2 x3 2 1 4 当 x 0 时 由Error Error 得 x 1 3 4 x1 0 0 x1 1 3 4 3 1 4 0 x1x2x3 x1x2x3 0 3 1 16 1 3 16 答案 1 3 16 0 命题研究 1 以初等函数为载体求函数零点的个数或判断零点所在的区间 2 以初等函数为载体考查两图象的交点与方程的解的关系 押题 13 已知函数 f x 2x x g x x log x h x log2x 的零点分别为 1 2x x1 x2 x3 则 x1 x2 x3的大小关系是 A x1 x2 x3 B x2 x1 x3 C x1 x3 x2 D x3 x2 x1 答案 D 由 f x x 2x 0 得 x 2x 则其零点 x1 0 由 g x x log x 0 得 1 2 x log x 则其零点 0 x2 1 由 h x log2x 0 得 log2x 则其零点 x3 1 因此 1 2xx x1 x2 x3 押题 14 已知函数 f x Error Error 若函数 g x f x m 有 3 个零点 则实数 m 的取值范 围是 答案 解析 函数 f x 的图象如图所示 函数 f x x2 2x x 0 的最大值是 1 故只 要 0 m 1 即可使方程 f x m 有三个相异的实数根 即函数 g x f x m 有 3 个零点 答案 0 1 考查导数的几何意义及其运算 例 20 2010 全国 若曲线 y x 在点 a a 处的切线与两个坐标轴围成的三 1 2 1 2 角形的面积为 18 则 a A 64 B 32 C 16 D 8 解析 求导得 y x x 0 所以曲线 y x 在点 a a 处的切线 l 的斜率 1 2 3 2 1 2 1 2 k y x a a 由点斜式得切线 l 的方程为 y a a x a 易求得直线 l 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 与 x 轴 y 轴的截距分别为 3a a 所以直线 l 与两个坐标轴围成的三角形面积 3 2 1 2 S 3a a a 18 解得 a 64 1 2 3 2 1 2 9 4 1 2 答案 A 命题研究 重点考查利用导数的几何意义解决有关曲线的切线问题 押题 15 如果曲线 y x4 x 在点 P 处的切线垂直于直线 y x 那么点 P 的坐标为 1 3 解析 由 y 4x3 1 得 4x3 1 3 解得 x 1 此时点 P 的坐标为 1 0 答案 1 0 考查利用导数解决函数的极值 最值 例 21 2012 重庆 设函数 f x 在 R 上可导 其导函数为 f x 且函数 y 1 x f x 的图象如图所示 则下列结论中一定成立的 是 A 函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 1 B 函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 1 C 函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 2 D 函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 2 解析 由题图可知 当 x 2 时 f x 0 当 2 x 1 时 f x 0 当 1 x 2 时 f x 0 当 x 2 时 f x 0 由此可以得到函数在 x 2 处取得极大值 在 x 2 处取得极小值 选 D 答案 D 例 22 2012 陕西 设函数 f x xex 则 A x 1 为 f x 的极大值点 B x 1 为 f x 的极小值点 C x 1 为 f x 的极大值点 D x 1 为 f x 的极小值点 解析 求导得 f x ex xex ex x 1 令 f x ex x 1 0 解得 x 1 易知 x 1 是函数 f x 的极小值点 所以选 D 答案 D 命题研究 1 利用导数求函数的单调区间 极值和最值在选择题 填空题中经常出现 2 求 多项式函数的导数 求解函数解析式中含参数的值或取值范围在选择题 填空题中也常考查 押题 16 已知函数 f x 则下列选项正确的是 2x 1 x2 2 A 函数 f x 有极小值 f 2 极大值 f 1 1 1 2 B 函数 f x 有极大值 f 2 极小值 f 1 1 1 2 C 函数 f x 有极小值 f 2 无极大值 1 2 D 函数 f x 有极大值 f 1 1 无极小值 答案 A 由 f x 0 得 x 2 或 x 1 当 x 2 2x 1 x2 2 2 x 2 x 1 x2 2 2 时 f x 0 当 2 x 1 时 f x 0 当 x 1 时 f x 0 故 x 2 是函数 f x 的 极小值点 且 f 2 x 1 是函数 f x 的极大值点 且 f 1 1 1 2 押题 17 已知函数 f x x2 4x 3ln x 在 t t 1 上不单调 则 t 的取值范围是 1 2 解析 由题意知 f x x 4 由 f x 0 得函 3 x x2 4x 3 x x 1 x 3 x 数 f x 的两个极值点为 1 3 则只要这两个极值点有一个在区间 t t 1 内 函数 f x 在区间 t t 1 上就不单调 由 t 1 t 1 或 t 3 t 1 得 0 t 1 或者 2 t 3 答案 0 1 2 3 考查定积分 例 23 2012 湖北 已知二次函数 y f x 的图象如图所示 则它与 x 轴所围图形的 面积为 A B C D 2 5 4 3 3 2 2 解析 由题中图象易知 f x x2 1 则所求面积为 2 0 x2 1 dx 2Error Error 10 1 4 3 答案 B 例 24 2012 山东 设 a 0 若曲线 y 与直线 x a y 0 所围成封闭图形的面 x 积为 a2 则 a 解析 由已知得Error Error a a2 所以 a 所以 a a 0 2 3 3 2 1 2 2 3 4 9 答案 4 9 命题研究 求曲边图形区域的面积问题 是高考考查定积分计算的常见题型 解决这类 问题需要结合函数的图象 把所求的曲边图形面积用函数的定积分表示 对不可分割图形面 积的求解 先由图形确定积分的上 下限 然后确定被积函数 再用求定积分的方法计算面 积 押题 18 设 a 0sin xdx 则曲线 y xax ax 2 在 x 1 处切线的斜率为 解析 a sin xdx cosxError Error cos cos 0 2 则 0 y x 2x 2x 2 y 2x x 2x ln 2 2 y Error Error 2 2ln 2 2 4 2ln 2 答案 4 2ln 2 考查利用三角函数的定义及三角公式 求值 例 25 2012 山东 若 sin 2 则 sin 4 2 3 7 8 A B C D 3 5 4 5 7 4 3 4 解析 因为 所以 2 所以 cos 2 0 所以 cos 4 2 2 2 又 cos 2 1 2sin2 所以 sin2 所以 sin 1 sin22 1 8 1 8 9 16 3 4 答案 D 例 26 2012 江苏 设 为锐角 若 cos 则 sin的值为 6 4 5 2 12 解析 因为 为锐角 cos 所以 sin sin 2 cos 6 4 5 6 3 5 6 24 25 2 所以 sin sin 6 7 25 2 12 2 6 4 2 2 17 25 17 2 50 答案 17 2 50 命题研究 运用三角公式化简 求值是必考内容 主要考查三角函数的定义 平方关系 两角和与两角差的正弦 余弦 正切公式及二倍角的正弦 余弦 正切公式的正用 逆用 变形应用及基本运算能力 押题 19 若点 P cos sin 在直线 y 2x 上 则 sin 2 2cos 2 A B C 2 D 14 5 7 5 4 5 答案 C 点 P 在直线 y 2x 上 sin 2cos sin 2 2cos 2 2sin cos 2 2cos2 1 4cos2 4cos2 2 2 押题 20 已知 则 cos sin 等于 cos 2 sin 4 2 2 A B C D 7 2 7 2 1 2 1 2 答案 D cos 2 sin 4 cos 2 2 2 sin cos sin cos sin2 cos2 2 2 sin cos 2 2 2 sin cos 1 2 考查三角函数的图象和性质 例 27 排除法 2010 新课标全国 如图 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动 其初始位置为 P0 角速度为 1 那 22 么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为 解析 法一 排除法 当 t 0 时 P 点到 x 轴的距离为 排除 A D 又 d 表示点 2 P 到 x 轴距离 图象开始应为下降的 排除 B 故选 C 法二 由题意知 P 2cos t 4 2sin t 4 P 点到 x 轴的距离为 d y0 2 sin t 4 当 t 0 时 d 当 t 时 d 0 故选 C 2 4 答案 C 例 28 2011 全国 设函数 f x cos x 0 将 y f x 的图象向右平移 个单位长 3 度后 所得的图象与原图象重合 则 的最小值等于 A B 3 C 6 D 9 1 3 解析 将 y f x 的图象向右平移 个单位长度后得到 y cos 所得图象与原图 3 x 3 象重合 所以 cos cos x 则 2k 得 6k k Z 又 0 所以 x 3 3 的最小值为 6 故选 C 答案 C 例 29 2012 新课标全国 已知 0 函数 f x sin在上单调递减 x 4 2 则 的取值范围是 A B 1 2 5 4 1 2 3 4 C D 0 2 0 1 2 解析 函数 f x sin的图象可看作是由函数 f x sin x 的图象先向左平移 个单 x 4 4 位得 f x sin的图象 再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍 纵坐标不变得 x 4 1 到的 而函数 f x sin的减区间是 所以要使函数 f x sin在 上 x 4 4 5 4 x 4 2 是减函数 需满足Error Error 解得 1 2 5 4 答案 A 命题研究 求函数的最小正周期 单调区间 奇偶性 定义域 值域以及复合函数的有 关性质是命题的方向 多以图象变换考题为主 押题 21 已知函数 f x 2cos x b 对任意实数 x 有 f f成立 且 x 8 8 x f 1 则实数 b 的值为 8 A 1 B 3 C 1 或 3 D 3 答案 C f f 即函数 f x 2cos x b 关于直线 x 对称 则 x 8 8 x 8 f 2 b 或 f b 2 又 f 1 所以 b 2 1 或 b 2 1 即 b 1 或 3 8 8 8 押题 22 函数 f x 3 sin的图象为 C 如下结论中正确的是 写出所有 2x 3 正确结论的编号 图象 C 关于直线 x 对称 11 12 图象 C 关于点对称 2 3 0 函数 f x 在区间内是增函数 12 5 12 由 y 3 sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C 3 答案 考查正 余弦定理的应用 例 30 2011 辽宁 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c asin Asin B bcos2A a 则 2 b a A 2 B 2 32 C D 32 解析 依题意可得 sin2A sin B sin Bcos2A sin A 即 sin B sin 22 A 故选 D b a sin B sin A2 答案 D 例 31 2012 湖北 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 a b c a b c ab 则角 C 解析 a b 2 c2 ab cos C C a2 b2 c2 2ab 1 2 2 3 答案 2 3 命题研究 1 利用正 余弦定理解三角形的问题常与边之间的和或积 角的大小或三角 函数值等综合命制 以选择题或填空题的形式进行考查 2 利用正 余弦定理解三角形问 题也常与平面向量 三角形的面积等相结合进行命题 以选择题或填空题的形式呈现 押题 23 在 ABC 中 已知 A 45 AB BC 2 则 C 2 A 30 B 60 C 120 D 30 或 150 答案 A 利用正弦定理可得 sin C C 30 或 150 又 2 sin 45 2 sin C 1 2 A 45 且 A B C 180 C 30 押题 24 在 ABC 中 已知 a b c 分别为角 A B C 所对的边 S 为 ABC 的面 积 若向量 p 4 a2 b2 c2 q S 满足 p q 则 C 3 解析 由 p q 得 a2 b2 c2 4S 2absin C 即 sin C 由余弦定 3 a2 b2 c2 2ab 3 3 理的变式 得 cos C sin C 即 tan C 因为 0 C 所以 C 3 33 3 答案 3 考查平面向量的线性运算 例 32 验证法 2012 全国 在 ABC 中 AB 边的高为 CD 若 a b a b 0 a 1 b 2 则 CB CA AD A a b B a b 1 3 1 3 2 3 2 3 C a b D a b 3 5 3 5 4 5 4 5 解析 由题可知 2 22 12 5 因为 AC2 AD AB 所以 AD 利用各选 AB AC2 AB 4 5 5 项进行验证可知选 D 答案 D 例 33 2011 天津 已知直角梯形 ABCD 中 AD BC ADC 90 AD 2 BC 1 P 是腰 DC 上的动点 则 3 的最小值为 PA PB 解析 建立 平面直角坐标系如图所示 设 P 0 y C 0 b B 1 b A 2 0 则 3 2 y 3 1 b y 5 3b 4y 所以 3 2 25 3b 4y PA PB PA PB 2 16y2 24by 9b2 25 0 y b 当 y b 时 3 min 5 24b 2 16 3 4 PA PB 答案 5 例 34 排除法 2012 江西 在平面直角坐标系中 点 O 0 0 P 6 8 将向量绕 OP 点 O 按逆时针方向旋转后得向量 则点 Q 的坐标是 3 4 OQ A 7 B 7 2222 C 4 2 D 4 2 66 解析 画出草图 可知点 Q 落在第三象限 则可排除 B D 代入 A cos QOP 所以 QOP 代入 C cos QOP 6 7 2 8 2 62 82 50 2 100 2 2 3 4 故选 A 6 4 6 8 2 62 82 24 6 16 100 2 2 答案 A 命题研究 1 结合向量的坐标运算求向量的模 2 结合平面向量基本定理考查向量的线性运算 3 结合向量的垂直与共线等知识求解参数 押题 25 特例法 2012 安庆模拟 设 O 是 ABC 内部一点 且 2 则 OA OC OB AOB 与 AOC 的面积之比为 解析 采用特殊位置 可令 ABC 为正三角形 则根据 2可知 OA OC OB O 是 ABC 的中心 则 OA OB OC 所以 AOB AOC 即 AOB 与 AOC 的面积之比为 1 答案 1 押题 26 在 ABC 中 M 是 BC 的中点 1 2 则 AM AP PM PA PB PC 解析 2 2 P 为 ABC 的重心 AP PM AP PM 又知 2 PB PC PM 2 4 2 PA PB PC PA PM PM 4 9 答案 4 9 考查不等式的性质与解法 特例法 特例法 根据题设和各选项的具体情况 选取满足条件的特殊值 特殊集合 特殊点 特殊图形 特殊位置状态等 针对各选项进行代入对照或检验 从而得到正确的判断的方法 称为特例法 运用特例法时 要注意 1 所选取的特例一定要简单 且符合题设条件 2 特殊只能否定一般 不能肯定一般 3 当选择某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时 这时要根据题设要求选择另 外的特例代入检验 直到排除所有的错误选项得到正确选项为止 例 35 特例法 2012 江苏 已知函数 f x x2 ax b a b R 的值域为 0 若关于 x 的不等式 f x c 的解集为 m m 6 则实数 c 的值为 解析 因为 f x 的值域为 0 所以 0 即 a2 4b 所以 x2 ax c 0 的 a2 4 解集为 m m 6 易得 m m 6 是方程 x2 ax c 0 的两根 由一元二次方程根与 a2 4 系数的关系得Error Error 解得 c 9 答案 9 例 36 特例法 2012 广州模拟 若函数 f x x2 2a 1 x 1 的定义域被分成了四 个不同的单调区间 则实数 a 的取值范围是 A a 或 a B a 3 2 1 2 3 2 1 2 C a D a 1 2 1 2 解析 取 a 0 则函数化为 f x x2 x 1 显然函数是一个偶函数 且在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 则函数只有两个单调区间 不符合题意 故可排除 选项 B 和 C 再取 a 1 则函数化为 f x x2 3 x 1 显然函数是一个偶函数 且在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 则函数只有两个单调区间 不符合题意 故可排除选项 A 故选 D 答案 D 命题研究 1 与指数 对数函数相结合比较大小 2 简单不等式的解法 特别是一元二次不等式的解法 主要是与函数的定义域 值域相 结合的试题 3 不等式恒成立问题也是高考常考的 押题 27 已知 a b R 且 a b 则下列不等式中成立的是 A 1 B a2 b2 a b C lg a b 0 D a b 1 2 1 2 答案 D 取 a 1 b 2 排除 A B C 押题 28 已知不等式 ax2 bx c 0 的解集为 x 2 x 1 则不等式 cx2 bx a c 2x 1 b 的解集为 A x 2 x 1 B x 1 x 2 C Error Error D Error Error 答案 D 由题意可知 a 0 且 2 1 是方程 ax2 bx c 0 的两个根 则Error Error 解得 Error Error 所以不等式 cx2 bx a c 2x 1 b 可化为 2ax2 ax a 2a 2x 1 a 整理 得 2x2 5x 2 0 解得 x 2 1 2 考查基本不等式 例 37 特值法 2012 福建 下列不等式一定成立的是 A lg x2 lg x x 0 1 4 B sin x 2 x k k Z 1 sin x C x2 1 2 x x R D 1 x R 1 x2 1 解析 取 x 则 lg x2 lg x 故排除 A 取 x 则 sin x 1 故排除 B 取 1 2 1 4 3 2 x 0 则 1 故排除 D 应选 C 1 x2 1 答案 C 例 38 2010 四川 设 a b c 0 则 2a2 10ac 25c2的最小值是 1 ab 1 a a b A 2 B 4 C 2 D 5 5 解析 原式 a2 a2 10ac 25c2 a2 a 5c 1 ab 1 a a b 1 b a b 2 a2 0 4 当且仅当 b a b a 5c 且 a 即 a 2b 5c 时 成立 4 a222 故原式的最小值为 4 选 B 答案 B 命题研究 基本不等式 a b 0 与不等式 ab a b R a b 2ab a2 b2 2 的简单应用是高考常考问题 常以选择题 填空题的形式考查 在解答题中也经常考查 押题 29 若 a 0 b 0 且 a b 4 则下列不等式恒成立的是 A B 1 1 ab 1 2 1 a 1 b C 2 D ab 1 a2 b2 1 8 答案 D 取 a 1 b 3 分别代入各个选项 易得只有 D 选项满足题意 押题 30 已知 x 0 y 0 xlg 2 ylg 8 lg 2 则 的最小值是 1 x 1 3y 解析 因为 xlg 2 ylg 8 lg 2x lg 23y lg 2x 23y lg 2x 3y lg 2 所以 x 3y 1 所以 x 3y 2 2 2 4 当且仅当 即 x y 时 1 x 1 3y 1 x 1 3y 3y x x 3y 3y x x 3y 3y x x 3y 1 2 1 6 等号成立 故 的最小值是 4 1 x 1 3y 答案 4 考查简单的线性规划 例 39 2012 广东 已知变量 x y 满足约束条件Error Error 则 z 3x y 的最大值为 A 12 B 11 C 3 D 1 解析 首先画出可行域 建立在可行域的基础上 分析最值点 然后通过解方程组得最 值点的坐标 代入即可 如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域 当直线 y 3x z 经过点 A 时 z 取得最大值 由Error Error Error Error 此时 z y 3x 11 答案 B 例 40 2012 福建 若函数 y 2x图象上存在点 x y 满足约束条件Error Error 则实数 m 的最大值为 A B 1 C D 2 1 2 3 2 解析 可行域如图中的阴影部分所示 函数 y 2x的图象经过可行域上的点 由Error Error 得Error Error 即函数 y 2x的图象与直线 x y 3 0 的交点坐标为 1 2 当直线 x m 经过点 1 2 时 实数 m 取到最大值为 1 应选 B 答案 B 命题研究 可行域是二元一次不等式组表示的区域 求目标函数 一般是简单函数 的最 优解问题或求含参数的参数值或范围 押题 31 甲 乙 丙三种食物的维生素 A 维生素 D 的含量及成本如下表 甲乙丙 维生素 A 单位 千克 607040 维生素 D 单位 千克 804050 成本 元 千克 1194 某食物营养研究所想把甲种食物 乙种食物 丙种食物配成 10 千克的混合食物 并使 混合食物中至少含有 560 单位维生素 A 和 630 单位维生素 D 则成本最低为 A 84 元 B 85 元 C 86 元 D 88 元 答案 B 设配成 10 千克的混合食物分别用甲 乙 丙三种食物 x 千克 y 千克 z 千 克 混合食物的成本为 p 元 则 z 10 x y p 11x 9y 4z 11x 9y 4 10 x y 7x 5y 40 由题意可得 Error Error 即Error Error 作出可行域 如图 当直线 p 7x 5y 40 经过点 A 时 它在 y 轴上的截距最小 即 p 最小 解方程组 Error Error 得 x 5 y 2 故点 A 的坐标为 5 2 所以 pmin 7 5 5 2 40 85 押题 32 若实数 x y 满足不等式组Error Error 目标函数 z x 2y 的最大值为 2 则实数 a 的值是 A 2 B 0 C 1 D 2 答案 D 要使目标函数 z x 2y 取得最大值 只需直线 y x 在 y 轴上的截距 1 2 z 2 最小 当目标函数 z x 2y 2 时 其对应的直线在 y 轴上的截距为 1 过点 2 0 结合 z 2 图形知 点 2 0 为直线 x 2 与 x 2y a 0 的交点 则 2 2 0 a 0 得 a 2 选故 D 考查等差数列 例 41 排除法 2009 湖北 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究 数 比如 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方 形数的是 A 289 B 1 024 C 1 225 D 1 378 解析 由图形可得三角形数构成的数列通项 an n 1 同理可得正方形数构成的数 n 2 列通项 bn n2 则由 bn n2 n N 可排除 A D 又由 an n 1 知 an必为奇数 故选 C n 2 答案 C 例 42 2012 北京 已知 an 为等差数列 Sn为其前 n 项和 若 a1 S2 a3 则 1 2 a2 Sn 解析 设等差数列的公差为 d 则 2a1 d a1 2d 把 a1 代入得 d 所以 1 2 1 2 a2 a1 d 1 Sn na1 d n n 1 n n 1 2 1 4 答案 1 n n 1 1 4 命题研究 1 利用等差数列的概念 性质 通项公式与前 n 项和公式解决等差数列的问 题 利用等差数列的性质解题时要进行灵活变形 尤其是中项公式的运用 2 在具体的问题情 境中能识别具有等差关系的数列 并能用有关知识解决相应的问题 押题 33 已知数列 an 是等差数列 若 a9 3a11 0 a10 a11 0 且数列 an 的前 n 项 和 Sn有最大值 那么当 Sn取得最小正值时 n A 20 B 17 C 19 D 21 答案 C 由 a9 3a11 0 得 2a10 2a11 0 即 a10 a11 0 又 a10 a11 0 则 a10 与 a11异号 因为数列 an 的前 n 项和 Sn有最大值 所以数列 an 是一个递减数列 则 a10 0 a11 0 所以 S19 19a10 0 S20 10 a10 a11 0 19 a1 a19 2 20 a1 a20 2 押题 34 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a2 2 a1 a5 8 则 S6 解析 由 a2 2 得 a1 d 2 由 a1 a5 8 2a3 即 a3 4 得 a1 2d 4 解得 a1 0 d 2 所以 S6 0 6 2 30 6 5 2 答案 30 考查等比数列 例 43 特例法 2010 安徽 设 an 是任意等比数列 它的前 n 项和 前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X Y Z 则下列等式中恒成立的是 A X Z 2Y B Y Y X Z Z X C Y2 XZ D Y Y X X Z X 解析 对任意的等比数列 涉及前 2n 项和的 可取特殊数列 1 1 1 1 1 1 则 Y 0 再取 n 1 有 X 1 Z 1 可排除 A B C 答案 D 例 44 2012 辽宁 已知等比数列 an 为递增数列 且 a a10 2 an an 2 5an 1 2 5 则数列 an 的通项公式 an 解析 根据条件求出首项 a1和公比 q 再求通项公式 由 2 an an 2 5an 1 2q2 5q 2 0 q 2 或 由 a a10 a1q9 0 a1 0 又数列 an 递增 所以 1 22 5 q 2 a a10 0 a1q4 2 a1q9 a1 q 2 所以数列 an 的通项公式为 an 2n 2 5 答案 2n 命题研究 以客观题的形式考查等比数列的定义 通项公式 前 n 次和公式 等比中项 的性质与证明等 难度中等偏下 押题 35 若数列 an 满足 lgan 1 1 lgan n N a1 a2 a3 10 则 lg a4 a5 a6 的值为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 A 由 lg an 1 1 lg an n N 可得 lg an 1 lg an lg 1 n N 即 an 1 an 10 an 0 an 1 0 所以数列 an 是以 q 10 n N 为公比的正项等比数列 an 1 an an 1 an 由等比数列的定义 可知 a4 a5 a6 a1q3 a2q3 a3q3 所以 lg a4 a5 a6 lg q3 a1 a2 a3 lg q3 lg a1 a2 a3 3lg q lg 10 4 押题 36 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S1 2S2 3S3成等差数列 则数列 an 的公 比为 解析 因为 an a1qn 1 q 0 又 4S2 S1 3S3 所以 4 a1 a1q a1 3 a1 a1q a1q2 解得 q 1 3 答案 1 3 考查直线与圆的位置关系 例 45 2012 天津 设 m n R 若直线 m 1 x n 1 y 2 0 与圆 x 1 2 y 1 2 1 相切 则 m n 的取值范围是 A 1 1 33 B 1 1 33 C 2 2 2 2 22 D 2 2 2 2 22 解析 由题意可得 1 化简得 mn m n 1 解得 m n m 1 2 n 1 2 m n 2 4 m n 2 2或 m n 2 2 故选择 D 22 答案 D 例 46 2012 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 C 的方程为 x2 y2 8x 15 0 若直线 y kx 2 上至少存在一点 使得以该点为圆心 1 为半径的圆与圆 C 有公共点 则 k 的最大值是 解析 设圆心 C 4 0 到直线 y kx 2 的距离为 d 则 d 由题意知问题转化为 4k 2 k2 1 d 2 即 d 2 得 0 k 所以 kmax 4k 2 k2 1 4 3 4 3 答案 4 3 命题研究 1 以圆的标准方程 一般方程及其应用命题 题目难度较低 2 以直线与圆的位置关系命题 通常与其他知识 特别是基本不等式 交汇 题目难度稍 大 押题 37 若点 P 1 1 为圆 C x 3 2 y2 9 的弦 MN 的中点 则弦 MN 所在直线方程为 A 2x y 3 0 B x 2y 1 0 C x 2y 3 0 D 2x y 1 0 答案 D 由题易得 圆心 C 3 0 kPC kMN 2 1 2 弦 MN 所在直线方程为 y 1 2 x 1 即 2x y 1 0 押题 38 若圆 x2 y2 4x 4y 10 0 上恰有三个不同的点到直线 l y kx 的距离为 2 则 k 2 考查椭圆方程及其几何性质 解析 易知圆的方程是 x 2 2 y 2 2 3 2 由于圆的半径是 3 因此只要圆心 22 2 2 到直线 y kx 的距离等于 即可保证圆上恰有三个不同的点到直线 l 的距离等于 2 2 所以 即 2 k2 2k 1 1 k2 即 k2 4k 1 0 解得 k 2 2 2k 2 1 k223 答案 2 或 2 33 例 47 2010 天津 过抛物线 x2 2py p 0 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交 于 A B 两点 A B 在 x 轴上的正射影分别为 D C 若梯形 ABCD 的面积为 12 则 p 2 解析 依题意 抛物线的焦点 F 的坐标为 设 A x1 y1 B x2 y2 直线 AB 的 0 p 2 方程为 y x 代入抛物线方程得 y2 3py 0 故 p 2 p2 4 y1 y2 3p AB AF BF y1 y2 p 4p 直角梯形有一个内角为 45 故 CD AB 4p 2p 梯形面积为 BC AD 2 2 2 22 1 2 CD 3p 2p 3p2 12 p 2 1 2222 答案 2 例 48 2012 江西 椭圆 1 a b 0 的左 右顶点分别是 A B 左 右焦 x2 a2 y2 b2 点分别是 F1 F2 若 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 解析 依题意得 F1F2 2 AF1 BF1 即 4c2 a c a c a2 c2 整理得 5c2 a2 得 e c a 5 5 答案 5 5 命题研究 1 对椭圆定义的考查 将重视与焦点三角形的结合 利用椭圆的定义及三角 形的边角关系建立方程组去解决相关的问题 2 对椭圆标准方程的考查 将侧重于结合椭 圆基本量之间的关系 去求参数的值或点的坐标等相关问题 3 对椭圆几何性质的考查 利 用椭圆的几何性质求离心率及其范围等相关的问题 押题 39 已知椭圆 1 a b 0 的两顶点为 A a 0 B 0 b 且左焦点为 F x2 a2 y2 b2 FAB 是以角 B 为直角的直角三角形 则椭圆的离心率 e 为 A B 3 1 2 5 1 2 C D 1 5 4 3 1 4 答案 B 由题意得 a2 b2 a2 a c 2 即 c2 ac a2 0 即 e2 e 1 0 解得 e 又 e 0 故所求的椭圆的离心率为 1 5 2 5 1 2 押题 40 已知 F1 F2分别是椭圆 1 a b 0 的左 右焦点 A B 分别是此椭 x2 a2 y2 b2 圆的右顶点和上顶点 P 是椭圆上一点 O 是坐标原点 OP AB PF1 x 轴 F1A 则此椭圆的方程是 105 解析 由于直线 AB 的斜率为 故直线 OP 的斜率为 直线 OP 的方程为 b a b a y x 与椭圆方程联立得 1 解得 x a 根据 PF1 x 轴 取 x a 从而 b a x2 a2 x2 a2 2 2 2 2 a c 即 a c 又 F1A a c 故c c 解得 c 从而 2 2210521055 a 所以所求的椭圆方程为 1 10 x2 10 y2 5 答案 1 x2 10 y2 5 考查双曲线方程及其几何性质 例 49 2012 湖南 已知双曲线 C 1 的焦距为 10 点 P 2 1 在 C 的渐近线 x2 a2 y2 b2 上 则 C 的方程为 A 1 B 1 x2 20 y2 5 x2 5 y2 20 C 1 D 1 x2 80 y2 20 x2 20 y2 80 解析 根据已知列出方程即可 c 5 双曲线的一条渐近线方程为 y x 经过点 2 1 b a 所以 a 2b 所以 25 4b2 b2 由此得 b2 5 a2 20 故所求的双曲线方程是 1 x2 20 y2 5 答案 A 例 50 2011 全国 已知 F1 F2分别为双曲线 C 1 的左 右焦点 点 x2 9 y2 27 A C 点 M 的坐标为 2 0 AM 为 F1AF2的平分线 则 AF2 解析 依题意得知 点 F1 6 0 F2 6 0 F1M 8 F2M 4 由三角形的内角平分线 定理得 2 F1A 2 F2A 又点 A 在双曲线上 因此有 F1M F2M F1A F2A F1A F2A 2 3 6 2 F2A F2A F2A 6 答案 6 命题研究 1 双曲线定义的考查 常常是利用两个定义去求动点的轨迹方程或某些最值 问题 2 双曲线标准方程的考查 常常是利用基本量求标准方程或去解决其他相关的问题 3 双曲线性质的考查 主要是离心率与渐近线这两个热点问题 押题 41 点 P 在双曲线 1 a 0 b 0 上 F1 F2是这条双曲线的两个焦点 x2 a2 y2 b2 F1PF2 90 且 F1PF2的三条边长成等差数列 则此双曲线的离心率是 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 D 设双曲线的焦距为 2c 根据对称性不妨设点 P 在双曲线的左支上 因为 F1PF2 90 则 4c2 PF1 2 PF2 2 设 PF1 PF2 F1F2 成等差数列 则 2 PF2 2c PF1 且 PF2 PF1 2a 解得 PF1 2c 4a PF2 2c 2a 代入 4c2 PF1 2 PF2 2 得 4c2 2c 4a 2 2c 2a 2 化简整理得 c2 6ac 5a2 0 解得 c a 舍去 或者 c 5a 故 e 5 c a 押题 42 已知双曲线 1 的左 右焦点分别为 F1 F2 过点 F2作 x 轴垂直的直 x2 a2 y2 b2 线与双曲线一个交点为 P 且 PF1F2 则双曲线的渐近线方程为 6 解析 根据已知得点 P 的坐标为 则 PF2 又 PF1F2 则 c b2 a b2 a 6 PF1 故 2a 所以 2 所以该双曲线的渐近线方程为 y x 2b2 a 2b2 a b2 a b2 a2 b a22 答案 y x 2 考查抛物线方程及其几何性质 例 51 2012 安徽 过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A B 两点 O 为坐标原点 若 AF 3 则 AOB 的面积为 A B C D 2 2 22 3 2 22 解析 由题意 抛物线 y2 4x 的焦点为 F 1 0 准线方程为 l x 1 可得 A 点的横 坐标为 2 不妨设 A 2 2 则直线 AB 的方程为 y 2 x 1 与 y2 4x 联立得 22 2x2 5x 2 0 可得 B 所以 S AOB S AOF S BOF 1 yA yB 1 2 2 1 2 3 2 2 答案 C 例 52 2011 全国 已知抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 直线 y 2x 4 与 C 交于 A B 两点 则 cos AFB A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 解析 设点 A x1 y1 B x2 y2 由题意得点 F 1 0 由Error Error 消去 y 得 x2 5x 4 0 x 1 或 x 4 因此点 A 1 2 B 4 4 0 2 3 4 cos FA FB AFB 选 D FA FB FA FB 0 3 2 4 2 5 4 5 答案 D 命题研究 1 对抛物线的定义 方程的考查 常与求参数和最值等问题综合出现 2 对抛物线的性质的考查 最为突出的是焦点弦及内接三角形的问题 3 对抛物线的综合