初一数学分类讨论思想例题分析及练习

分类讨论思想分类讨论思想 在数学中 如果一个命题的条件或结论不唯一确定 有多种可能情况 难以统 一解答 就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论 最后综合归纳出问 题的正确答案 这种解题方法叫做分类讨论 分类讨论 在数学学习中 我们不仅要分阶段学习知识 还要适时的总结一下数学思 想方法 初中常见的数学思想有 分类讨论思想 数形结合思想 转化思想 分类讨论思想 数形结合思想 转化思想 方程思想方程思想等 分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法 特别 就中考而言 经常出现带有这种思想的考题 几乎可以这么说 分类讨论一 旦出现 就是中高档次题 今天 我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论 问题大致整理一下 在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项 注意事项 1 什么样的题会出现分类讨论思想 往往是在题目中的基本步骤中出现了 条件不确定 无法进行下一步 如几何中 画图的不确定 代数中 出现字 母系数等 2 分类讨论需要注意什么 关键是 不重 不漏 特别要注意分类标 准的统一性 3 分类讨论中最容易错的是什么 总是有双重易错点 讨论有重漏 讨 论之后不检验是否合题意 例例1 1 解方程 x 1 2 分析 分析 绝对值为2 的数有2个 解 解 x 1 2或 x 1 2 则 x 3或 x 1 说明说明 应该说 绝对值问题是我们在上学期最初见过的 难题 其实归根 究底 一般考察绝对值的问题有三 1 化简 如当 a 0 b 时 化简 a 1 b 1 a b 处理方法 根据绝对值符号内的式子的正负性 2 类似于 解方程 如本题 处理方法 注意解往往不只一个 需关注绝对值为正数的数有两个 3 使用绝对值的几何意义解题 如已知 x 1 2 求 x 的取值范围 处理方法 画数轴 x 1 b 即 a b 0 a b 即 a b 0 a b 即 a b0时 2a 0 即 1 a 1 a 0 即1 a 1 a 当 a 0时 2a 0 即 1 a 1 a 0 即1 a 1 a 当 a 0时 2a 0 即 1 a 1 a 0 即1 a0时 1 a 1 a 当 a 0时 1 a 1 a 当 a 0时 1 a 1 a 例例3 3 已知线段 AB 长度为6cm 点 C 在直线 AB 上 且 AC 2cm 求 BC 的 长度 分析 分析 注意点 C 的位置不能确定 在直线上 与一个定点的距离为定值的 点有两个 处理方法 处理方法 画一个示意图 往往能帮助理解 解 解 如示意图 有两种情况 如图1 点 C 在 AB 之间时 BC AB AC 6cm 2cm 4cm 如图2 点 C 在 BA 的延长线上时 BC AB AC 6cm 2cm 8cm 例例4 4 一张桌子有四个角 砍掉一只角后 还剩几个角 解 解 5个或4个或3个 例例 5 5 已知 ABC 周长为 20cm AB AC 其中一边边长是另一边边长的 2 倍 BC 长多少 解 解 设 AB AC x 当 AB 2BC 时 BC 0 5x 据题意 列 x x 0 5x 20 解得 x 8cm 则 BC 0 5x 4cm 当 BC 2AB 时 BC 2x 据题意 列 x x 2x 20 解得 x 5cm 则 BC 2x 10cm 检验 当 AB 2BC 时 三边长为 8cm 8cm 4cm 可组成三角形 当 BC 2AB 时 三边长为 5cm 5cm 10cm 不可组成三角形 舍 答 BC 长为 4cm 例例 6 6 富城书店推出售书优惠方案 一次性购书不超过 100 元 不享 受优惠 一次性购书超过 100 元 但不超过 200 元 一律打九折 一次性 购书超过 200 元 一律打八折 如果小明一次性购书 付款 162 元 那么小明所 购书的价格为多少 解 解 付款 162 元 由于 162 100 可确定享受了优惠 因不确定是打九折还是打八折 所以分类 200 180 162 162 元可能享受了九折优惠 162 180 元 10 9 10 9 200 160 162 162元可能享受了八折优惠 162 202 5 元 10 8 10 8 答 小明所购书的价格为180元或202 5元 例例7 7 三人分糖 每人都得整数块 乙比丙多得13块 甲所得的糖果数是 乙的2倍 已知糖果总数是一个小于50的质数 且它的各位数字之和为11 试求 甲 乙 丙各分得几块糖 分析 分析 1 两个限制条件 整数 质数 2 一个常见说法 乙比丙多得13块 甲所得的糖果数是乙的2倍 3 一个常见不等式列法 糖果总数是小于50 解 解 设丙获得了 x 块粮果 则乙的糖果数为 x 13 块 甲的糖果数为 2 x 13 根据题意 可列不等式 2 x 13 x 13 x 50 整理这个不等式 解得 x 11 4 2 75 由于糖果块数必为正整数正整数 所以 x 1或2 当 x 1时 x 13 14 2 x 13 28 总块数1 14 28 43 为质数 但4 3 7 11 则 x 1应舍去 当 x 2时 x 13 15 2 x 13 30 总块数2 15 30 47 为质数4 7 11 合题意 答 甲分得糖果数为30块 乙分得15块 丙分得2块 练习题 1 解方程 1 x 4 3 2 22 3 a 2 a a 的值的情况讨论 3 如果 是非零有理数 求的值abc c c b b a a 4 比较 a2 a 4 与 a2 3 的大小 5 数轴上有 A B 两点 若 A 点对应的数是 2 且 A B 两点的距离为 3 则点 B 对 应的数为多少 画图表示 6 平面内有四点 经过两点可画多少条直线 7 平面内有三条直线 它们可能有几个交点 8 已知 A0B 120 BOC 30 则 AOC 为多少 9 在一条直线上顺次取 A B C 三点 已知 AB 5cm 点 O 是线段 AC 的中点 且 OB 1 5cm 求线段 BC 的长 10 已知 ABC 周长为 18cm AB AC 其中一边边长比另一边边长大 3cm BC 长 多少 11 在 ABC 中 若 AB 3 BC 1 2x CA 8 求 x 的取值范围 12 A B 两地相距 480 千米 一列慢车从 A 地开出 每小时行 60 千米 一列快车 从 B 地开出 每小时行 65 千米 慢车先开出 1 小时 两车相向而行 慢车开出 x 小 时后 两车相距 100 千米 则列方