浮点数规格化和教案

第一节 X 1 S 1 M 2E 127 e E 127 X 1 S 1 M 2E 1023 e E 1023 我承认以前对这俩公式避之不及不予深究努力自己说服自己而未能得逞 部分原因是 跟 移码与真值的关系 扯上关系 这 移码与真值的关系 想搞清先得把引入移码的充 分理由给我个说法 不幸玩过头正事误了 上回说了 补码省心移码悦目 能算是今时不 同往日了吧 现在轮到对 IEEE754 浮点数规格化表示法杀无赦去死吧 首先 IEEE 规格化形式 是对 传统规格化形式 进一步严格要求来的 IEEE 规格化形式唯一 而浮点数记法多种多样 1 75 10 1 11 20 IEEE 规格化表示 0 111 21 传统规格化表示 0 0111 22 0 00111 23 其次 既然 IEEE 想到对 传统规格化形式 进一步修订当然有目的 你以为作无用 功呐 关键目的是什么 规格化的目的同理 修改阶码同时左右移小数点使尾数域最高有效位固定为 1 尾数 就以 ta 所可能变化成的最大形式出现 即使遭遇类似截断的操作仍可保持尽可能高的精度 有类错误我这种大秀逗极善于犯 就是不理会左右关系不经过大脑直接作问题少女状 问很白的问题 移码和真值的关系 是 E 27 或 210 X 那 X E 27 或 210 在怎么着 里面数该是 128 或 1024 咋是 127 或 1023 当 E M 全 0 E 移码 全 0 对应真值 128 M 补码 全 0 对应真值 0 E M 全 0 真值 X 0 128 0 结合符号位 S 为 0 或 1 分正零和负零 当 E 全 1 M 全 0 E 移码 全 1 对应真值 127 M 补码 全 0 对应真值 0 E 全 1 M 全 0 真值 X 0127 结合符号位 S 为 0 或 1 分 和 要除去表示零和无穷大这 2 种特殊情况 指数偏移值不选 128 10000000 而选 127 01111111 对 IEEE32 位规格化浮点数 8 位移码 隐含 1 位符号位 原本表示范围是 128 127 除去全 1 127 全 0 128 剩下 127 126 实际可用指数值 即阶码真值 e 范围是 126 127 加上偏移值后 阶码 E 的范围变为 1 254 以 10 的幂表示 绝对值的范围是 10 38 1038 假设由 S E M 三个域组成的一个 32 位二进制字所表示的非零规格化浮点数 真值表示为 1 s 1 M 2E 128 它所表示的规格化的最大正数 最小正数 最大负数 最小负数是多少 第二节 1 什么是 IEEE754 标准 用来规范化浮点数 其格式是 1 32 位 1 s 1 2 127 e 127 2 64 位 1 s 1 2 1023 e 1023 其中 s 是符号位 M 是尾数 E 是阶码 e 是实际的指数值 表 三种形式的 IEEE754 浮点数格式 参数单精度浮点数 双精度浮点数 扩充精度浮点数 浮点数字长326480 尾数长度 P235264 符号位 S111 指数长度 E81115 最大指数 127 1023 16383 最小指数 126 1022 16382 指数偏移量 127 1023 16383 可表示的实数范围 10 38 103810 308 1030810 4932 104932 浮点数表示格式如下 数 符 号 S 阶 符 Es 阶码 E尾数 M 2 为什么阶码的偏移量是 127 先看下什么机器零 1 当浮点数尾数 M 0 无论阶码 E 为何值 则该浮点数为 0 值 2 当阶码的值遇到比它所能表示的最小值还小时 不管尾数 M 为何值 则浮点数为 0 值 1 2 中的零值称为机器零 以 32 位浮点数为例 当阶码 E 为全 0 且尾数 M 也为全 0 时 表示的真值 x 为零 结合符号位 S 为 0 或 1 有正零和 负零之分 当阶码 E 为全 1 且尾数 M 为全 0 时 表示的真值 x 为无穷大 结合符号位 S 为 0 或 1 也有 和 之分 这样在 32 位浮点数表示中 要除去 E 用全 0 128 和全 1 255 10表 示零和无穷大的特殊情况 指数的偏移值不选 128 10000000 而选 127 01111111 对于规 格化浮点数 E 的范围变为 1 到 254 真正的指数值 e 则为 126 到 127 因此 32 位浮点数表 示的绝对值的范围是 10 38 1038 以 10 的幂表示 引自 白中英 S 1 位 E 8 位 M 23 位 N 32 位 符 0 0 1 S 2E 127 1 M 为规格化数 0 不等于 0 1 S 2 126 0 M 为非规格化数 号 1 到 254 之间 不等于 0 1 S 2E 127 1 M 为规格化数 255 不等于 0 NaN 非数值 位 255 0 无穷大 其中红色字 0 1 表示隐含位 注意当数字 N 为非规格化数或是 0 时 隐含位是 0 如果选择偏移值 128 时 假设指数 不是阶码 为 127 则阶码为 127 128 255 全为 1 由上表可知 N 为 NaN 和无穷大 假设指数为 0 包括正 0 和负 0 正 0 128 128 负 0 补码 128 0 由上可知 E 0 时 存在非规格化数 由于 8 位 E 中 7 位表示有效数字 不能从这 7 位下手 只能更改偏移值为 127 可以是 0 127 IEEE745 规定为 127 3 为什么阶码表示的最小指数是 126 呢 有 2 中描述可以得到 当偏移量为 127 时 若最小指数是 127 则 127 127 0 E 0 存在非 规格化数 故取 126 这也符合 E 的表示范围 1 254 二进制浮点数的表示 由于不同机器所选的基值 尾数位长度和阶码位长度 不同 因此对浮点数表示有较大差别 这就不利于软件在不同计算机间的移植 美国 IEEE 电子及电子工程师协会 为此提出了一个从系统结构角度支持浮点 数的表示方法 称之为 IEEE 标准 754 IEEE 1985 当今流行的计算机几乎 都采用这一标准 IEEE 754 在标识符点数时 每个浮点数均由 3 个部分组成 符号位 S 指 数部分 E 和尾数部分 M 浮点数可采用以下四种基本格式 1 单精度格式 32 位 E 8 位 M 23 位 2 扩展单精度格式 E 11 位 M 31 位 3 双精度格式 64 位 E 11 位 M 52 位 4 扩展双精度格式 64 位 E 15 位 M 63 位 其中 单精度格式 32 位 中的阶码为 8 位 另有一位尾数的符号位 S 处在 最高位 如图 4 2 1 所示 应该指出的是 浮点数的分数部分与有效位部分两 者是不同的 由于 IEEE754 标准约定在小数点左部有一位隐含位 从而使其 有效位实际有 24 位 这样便使尾数的有效值变为 1 M 阶码部分采用移码表示 移码值为 127 从而使阶码值的范围由原来的 1 到 254 经移码后变为 126 到 127 IEEE 754 标准的单精度和双精度浮点数表示格式 其中 阶码值 0 和 255 分别用来表示特殊数值 当阶码值为 255 时 若分数部分为 0 则表示无穷大 若分数部分不为 0 则认为这是一个 非数值 当阶码和尾数均为 0 时则表示该 数值为 0 因为非零数的有效位总是 1 因此特别约定 这表示为 0 当阶码 为 0 尾数不为 0 时 该数绝对值较小 允许采用比最小规格化数还要小的 数表示 概括起来 由 32 位单精度所表示的 IEEE 754 标准浮点数 N 可以有如 下的解释 若 E 0 且 M 0 则 N 为 0 若 E 0 且 M 0 则 N 1 S 2 126 0 M 为非规格化数 若 1 E 254 则 N 1 S 2E 127 1 M 为规格化数 若 E 255 且 M 0 则 N NaN 非数值 若 E 255 且 M 0 则 N 1 S 无穷大 由此可见 IEEE 754 标准使 0 有了精确表示 同时也明确地表示了无穷大 所以 当 a 0 a 0 时得到结果值为 当 0 0 时得到结果值较小的数 为了避 免下溢而损失精度 允许采用比最小规格化数还要小的数来表示 这些数称为 非规格化数 Denormalnumber 应注意的是 非规格化数和正 负零的隐含位 值不是 1 而是 0 下面举两个例子来说明 IEEE 754 标准浮点数的表示 1 N 1 5 它的单精度格式表示为 1 01111111 10000000000000000000000 其中 S 1 E 127 M 0 5 因此 N 1 5 2 以下的 32 位数所表示的单精度浮点数为多少 1 10000001 01000000000000000000000 其中 S 1 E 129 M 0 25 由公式可知 N 5 第第 1 次课 第次课 第 1 章第章第 1 讲 讲 授课章节授课章节 课程简介 第 1 章 计算机系统概论 1 1 计算机的分类 1 2 计算机的发展简史 1 3 计算机的硬件 学时安排学时安排 课程简介 0 5 学时 第 1 章 计算机系统概论 1 1 计算机的分类 1 2 计算机的发展简史 0 5 学时 1 3 计算机的硬件 1 学时 教学目的教学目的 本次课的主要内容为有关计算机系统的组织和构成进行概要性介绍 为以后的进一步 学习打下基础 通过本次课的学习 要求学生 1 明确本课程的地位和作用 2 了解计算机的分类和发展简史 3 理解计算机硬件系统的构成 以及计算机进行数据处理的过程 教学难点和重点教学难点和重点 本次课的教学难点在于 计算机硬件系统的构成和作用 这点对于建立整机思想相当重要 类比人的计算处理过程进行介绍 授课安排授课安排 本次课为课程的第一次课 首先要对课程在整个教学体系中的地位和作用进行讲解 同时该课程是本专业的考研统考课程 因此对于考研的要求也应结合考研大纲进行说明 在此次课程中 主要对第一章的部分内容进行介绍 在介绍课本知识之前 要先带领 学生一起认识计算机硬件各部件 并熟悉计算机硬件的功能划分 然后对于计算机的分类 和发展简史 这些内容应该在以前的引论课程中已经介绍 可以简单地回顾下 但这里有 关计算机性能指标的部