第七章多元函数微积分

1 第七章第七章 多元函数微积分多元函数微积分 学习目的和要求学习目的和要求 学习本章 要求读者掌握多元函数及其偏导数的概念 偏导数的求导法则 及利用偏导数讨论多元函数的极值 最大值和最小值 学会使用拉格朗日乘数 法研究条件极值并应用最小二乘法等讨论经济问题 了解二重积分的数学含义 学会计算一些简单的二重积分 第一节第一节 多元函数多元函数 1 二元函数 设有 3 个变量 如果当变量 在一定的范围 D 内任意取定一对 值时 变量 z 按照一定的规律 总有确定的数值和它们对应 则变量 z 叫做变 量 的二元函数 记作 或称为自变量 D 称为 定义域 z 为因变量 类似地 可以定义三元函数及更多元函数 二元以及二元以上的函数称为 多元函数 2 二元函数的极限 设函数 的某一邻域内有定义 是该邻域 内异于 的任意一点 如果点 以任何方式趋近于 时 函数的对应值 趋近于一个确定的常数 A 我们就说 时的二重极限 记作 或 3 二重极限和二次极限 2 对于二元函数 的极 限 可得极限函数 这个极限称为二次极限 记为 4 有界闭区域上多元连续函数的性质 不作证明 有最大最小值定理 中间值定理 有界性定理 零点存在定理 第二节第二节 偏偏 导导 数数 1 定义 设函数 的某一邻域内有定义 当 固定在 时 相应地函数有增量 如果极限 存在 则称此极限值为函数 在点 的偏导数 记作 类似地 可定义函数 的偏导数 2 求导法则 1 和 设 2 积 设 则 3 3 商 设 3 高阶偏导数 高阶偏导数可定义为相应的低一阶偏导数的偏导数 例如 第三节第三节 全全 微微 分分 二元函数全微分的定义 若二元函数 的全增量 可表示为 其中 的高 阶无穷小量 则称函数 可微 并称 在点 x y 的全微分 进 一步讨论可知 故得 关于二元函数 有如下结论 若 及其某一邻 域内存在 且在该点连续 则函数在该点可微 4 第四节第四节 多元复合函数求导法则 隐函数求导公式多元复合函数求导法则 隐函数求导公式 1 设函数 的函数 若成立条件 1 在点 处存在编导数 2 的相应点可微 则有 2 隐函数求导公式 设函数 的某一邻域内具有连续的偏导数 的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 它满足条件 偏导数可由 即 来确定 第五节第五节 多元函数偏导数的应用多元函数偏导数的应用 1 多元函数的极值 5 设函数 的某个邻域内有定义 对于该邻域内异于 如果都有 则称函数在点 有极大 值 反之 若成立 则称函数在点 有极小 值 使函数取得极值的点称为极值点 1 极值存在的必要条件 设函数 可微分 或存在 偏导数 处有极值 则在该点的偏导数必为零 即 2 极值存在的充分条件 设函数 的某个邻域内连续 且有一阶二阶连续偏导数 又 记 则 处取极值 且当 AO 时取极 小值 时无极值 时待定 2 条件极值 拉格朗日乘数法 在讨论极值问题中 除对自变量给出定义域外 并无其他条件 则称为无条 件极值 而若对自变量还附有其他条件的极值问题称为条件极值 拉格朗日乘数法 要找函数 下的极值可疑点 可以先构造函数 其中 为某一常数 求 的一阶偏导数 并使之为零 然后与 方程 联立起来 6 由上述方程组解出 即为极值可疑点 3 最小二乘法 在经济分析中 我们经常要研究一些经济变量间的相互关系 其中最简单 最常见的则为线性关系 我们希望利用一组已有的资料 来寻找这一线性关系 使找到的 能很好地吻合已 有数据 记 称为计算误差或残差 我们希望找到这样的 取到最小值 这种根据残差的平方和为最小 的条件来选择常数 的方法叫做最小二乘法 由极值存在的必要条件 使 必须满足 从而可解得 7 若记 则又可得下面比较简单的表达式 4 应用举例 1 生产函数 考察一个企业的生产能力常常涉及各种因素 但就其根本来说 决定企业内部生产能力的主要因素是劳动力 因而可记生产函数 为 在经济分析中 有所谓要素报酬递减定律 也就是边际收益会递减 例如 我们假定资金保持不变 则随着劳动力的增加 产量也将随着增加 但劳动力 的边际产量将会下降 如图 7 1 所示 如果资金和劳动力是可以相互替代的 则为得一不变产量水平可以有各种 不同的劳动力和资金投入 而且若拥有资金越来越少 此时劳动力就要大量增 加 同样 如果只有极少的劳动力 此时若再减少一些劳动力 则资金增量就 8 要大得多 这样我们就可得到一族等量线 K K L 且等量线为单调下降的下 凸曲线 两阶导数大于零 如图 7 2 所示 在等量线上 Q 为常数 所以 故得 定义为技术替代率 或要素的边际替代率 2 Cobb Douglas 生产函数 20 世纪 30 年代 西方经济学界提出如下形式 的生产函数 称为 Cobb Douglas 生产函数 这类函数有如下一些优 点 因而得到较广泛的应用 它是 次齐次函数 等量线为单调下降和下凸的 常弹性 资金弹性为 劳力弹性为 系数 A 表示技术进步 3 齐次函数和欧拉定理 若 次齐次函数 则 特别地 当 时 有 9 它表示 资本投入量乘以边际产量加上劳力投入量乘以劳动力边际产量等 于总产量 第六节第六节 二重积分二重积分 2 二重积分的概念 设函数 在闭区域 D 上连续 将区域 D 任意分成 n个小区域 在每个小区域 作乘积 i 1 2 n 并作和 如果各小区域的直径中的最大值 趋于零时 这和式的极限存在 则称此极限 值为函数 即 其中 叫做被积函数 为积分区域 2 二重积分的性质 1 2 3 这里假定将区域 D分成两个区域 D1与 D2 4 若在 D上 成立 则有不等式 10 特别地有 5 设 上的最大值和最小值 的面积 则有 6 设函数 在闭区域 上连续 的面积 则在 上至少 存在一点 成立 3 二重积分的计算 1 化二重积分为二次积分 a 先对 y 后对 x 积分 b 先对 x 后对 y 积分 2 利用极坐标计算二重积分 令 则 11 若 第七章第七章 多元函数微积分多元函数微积分 例例 1 1 下列平面方程中 过点 1 1 1 的方程是 A x y Z 0 B x y Z 1 C x y Z 1 D x y Z 0 解 判断一个点是否在平面上 只需将点的坐标代入 看看是否满足相应的平 面方程即可 易见应选 B 例例 2 2 指出下列平面的特殊位置 1 x 2z 1 2 x 2y 0 3 x 2y 3z 0 4 z 5 0 解 设平面方程为 Ax By Cz D 0 1 方程中 y 的系数为 B 0 故该平面平行于 oy 轴 垂直于 zox 平面 2 方程中 z 的系数 C 0 且 D 0 故平面过 oz 轴 3 方程中常数 D 0 故该平面过原点 4 方程中 x 的系数 A 0 且 y 的系数 B 0 故该平面垂直于 oz 轴 平行 于 xoy 平面 例例 3 3 求过点 3 2 1 且平行于 yoz 平面的平面方程 解 平行于 yoz 平面即垂直于 ox 轴 故可设所求平面方程为 Ax D 0 将已知 点 3 2 1 的坐标代入上式 得 D 3A 从而所求方程为 x 3 0 注意 在求平面方程时 Ax By Cz D 0 中的四个待定常数不是完全独立的 计 算时可用其中的一个表示其余的三个 然后通过化简得出所求结果 例例 4 4 求点 M 2 3 1 分别关于 xOy 平面 Oy 轴和原点的对称点 解 点 M 关于 xOy 平面的对称点是第三个分量变号 即 2 3 1 关于 Oy 轴的对称点是第一 第三分量变号 即 2 3 1 关于原点的对称点 是三个分量都变号即 2 3 1 例例 5 5 求平面 3x 2y z 6 0 分别在三条坐标轴上的截距 12 解 将平面方程化为截距式方程 得 因此该平面在 Ox 轴 Oy 轴和 Oz 轴上的截距依次为 2 3 和 6 例例 6 6 求球面 的球心坐标和半径 解 对方程进行配方 化为一般形式的球面方程 从而球心坐标为 3 1 0 半径为 例例 7 7 下列方程在空间直角坐标系中 表示施转抛物面的方程是 A B C D 解 只能 x y z 0 它表示空间直角坐标系中的原点 是一次方程 D 0 表示过原点的一个平面 即 表示绕 z 轴旋转张口朝 z 轴负方向的旋转 抛物面 表示双曲抛物面 马鞍面 故应选 C 例例 8 8 函数 的定义域是 A B C D 13 解 由函数的表达式知函数的定义域为 即 故应选 C 例例 9 9 设 A B C D 解 由题设 故应选 A 例例 1010 设 在点 处偏导数存在 则 A B C D 解 根据偏导数的定义 有 故应选 C 14 例例 1111 设 证明 证明 于是 左 注意 本例还可以利用二元函数隐函数来解偏导数 两边取对数 15 代入左端即可得结论 例例 1212 设 其中 f 为可微函数 则 A B C D 故应选 D 例例 1313 设 16 因此 例例 1414 设 例例 1515 设 z z x y 是由方程 确定的函数 求 注意 在求隐函数的偏导数时 其结果中可以有变量度 z 的出现 结果 表达式也常常不是惟一的 如本例用 代入两个偏导还可以表示成 17 例例 1616 设 A B C D 解 1 变量之间的关系图为 故应选 A 注意 这里解法 2 经过代入后变成了一个一元函数求导问题 简洁明了 例例 1717 证明 设 变量之间的关系为 18 例例 1818 求函数 的极值 解 函数 的定义域为 全平面 得驻点 例例 1 19 某厂生产甲 乙两种产品 其销售单位分别为 10 万元和 9 万元 若生 产 x 件甲种产品和 y 件乙种产品的总成本 又已知两种产品的总产量为 100 件 求企业获得最大利润时两种产品的产量各为多少 19 例例 2020 计算二重积分 解 作积分区域 D 的草图 如图 7 1 图 7 1 20 例例 21 21 求 解 作积分区域 D 的草图 如图 7 2 图 7 2 例例 22 22 计算二重积分 解 积分区域 D 是一个圆环 内半径为 用极坐标系计算 21 注意 当积分区域是圆及其部分 被积函数又比较容易化成极坐标时 应 考虑使用在极坐标系之下积分 本例关于 和关于 r 的积分上下限均是常数 同时被积函数可以分离 这 时二重积分可化成两个定积分的乘积 例例 23 23 计算 其中 解法 1 即圆心在 0 a 半径为 a 的圆 又 因此是右半半圆 如图 7 3 图 7 3 用极坐标系计算 22 解法 2 用直角坐标系计算 先对 x 后对 y 积分右半圆的方程为 第七章第七章 多元函数微积分多元函数微积分 单元测试单元测试 一 选择题一 选择题 1 点 则 的中点坐标为 A 0 2 2 B 1 2 1 C 0 4 4 D 2 4 2 23 2 点 关于坐标原点的对称点是 A 2 3 1 B 2 3 1 C 2 3 1 D 2 3 1 3 点 关于 XOY 平面的对称点是 A 2 3 1 B 2 3 1 C 2 3 1 D 2 3 1 4 过 Y 轴上的点 0 1 0 且平行与 XOZ 平面的平面方程是 5 下列方程中 其图形是下半球的是 6 设 则 7 函数 的定义域是 8 设 在 0 0 点连续 则 K A 1 B 0 C 1 2 D 不存在 9 设 24 10 若 11 设 则 A 0 B 1 2 C 1 D 1 12 设 则 13 设 则 14 若 则 A 10 B 10 C 15 D 15 15 设 则 16 若 则 25 17 设 18 若 19 设 20 设函数 21 设 22 函数 z f x y 在点 处具有两个偏导数 是 函数在该点存在全微分的 A 充分条件 B 充要条件 C 必要条件 D 既不是充分条件 又不是必要 条件 26 23 若函数 则 24 设 是由方程 确定的隐函数 则 25 若 则 26 二元函数 的驻点为 27 若 则 在 处 A 一定连续 B 一定偏导数存在 C 一定可微 D 一定有极值 28 设二元函数 有极大值且两个一阶偏导数都存在 则必有 29 设函数 在点 的某一邻域内有连续的二阶偏导数 且 是它的驻点 27 则 是 极大值的充分条件是 A B C D 30 设 是函数 的驻点且有 若 则 一定 A 是极大值 B 是极小值 C 不是极值 D 是极值 31 函数 在点 0 0 处 A 有极大值 B 有极小值 C 无极值 D 不是驻点 32 对于函数 原点 0 0 A 不是驻点 B 是驻点但非极值点 C 是驻点且为极大值点 D 是驻点且为极小值点 33 若 D 是由 所围成的平面区域 则 34 若 D 是平面区域 则二重积分 35 设 D 则 28 36 设二重积分的积分区域 D 是 则 37 若 D 是平面区域 y 0 则 二 计算题二 计算题 一 一 1 设 解 设 则 2 设 解 29 3 计算二重积分 其中区域 D 是由 所围成 的第一象限的图形 解 区域 D 在极坐标下可表示为 于是 三 三 计算题计算题 二 二 1 设 解 2 已知 解 30 3 设 解法一 在 两边分别对 和 求偏导数 得 整理得 解法二 4 设 确定