微积分练习册上答案

学院 姓名 学号 日期 参考答案 91 1 2 1 2 2 1 由可知 2 不成立 例 nn xaxa 21 1 n x 2 1 n x 3 1 正确 2 错误 3 正确 1 3 1 3 6 1 不存在 2 1 1 不存在 3 0 不存在 2 2 9 所以有 即有 f xx 0 lim 0 x f x 0 lim 0 x f x 0 lim 0 x f x 10 不存在 sgnf xx 0 lim 0 x f x 0 lim 1 x f x 0 lim x f x 1 4 1 4 1 1 1 2 3 1 2 D 0 0 0 4 1 正确 2 错误 3 正确 4 错误 5 错误 6 正确 5 1 时 和都是无穷小 但 x 1 x 2 1 x 2 11 x xx 2 其中括号里有个相加 111 lim 1 n nnn n 1 n 1 5 1 5 1 1 12 2 1 3 4 4 n 5 1 6 2 3x 2 1 6 2 3 0 4 3 4 5 提示 6 7 8 0 1 2 2 1 1 22 nn n n n 1 1 b a 1 3 3 4 直接化简便可得出 1 1ab 2a 5 1 2 3 6 1 0 2 0 都是有界量与无穷小量的乘积 3 0 7 故不存在 1 0 lim 4 x f x 1 0 lim 1 x f x 1 lim x f x 故不存在 1 0 lim 1 x f x 1 0 lim 4 x f x 1 lim x f x 8 当当当 1f x 1 0 xf x 1 1 xf x 1x 1 6 1 6 1 1 2 3 lim 0 n f x lim 0 n f x lim 0 n f x 5 1 极限存在 为 2 2 极限存在 为 15 2 7 1 3 4 2 3 4 1 5 1 2 6 7 0 2 8 1 2 3 4 5 6 1 9 e 2 e 1 e 1 e 2 e2ln 学院 姓名 学号 日期 参考答案 92 10 11 0 00 2 00 2 lim 2 x fff x 0 1 7 1 7 1 1 是的高阶无穷小 2 与同阶 但不等价 2 1 x 2 1x 3 1x 2 1x 3 与同阶 但不等价 4 是的高阶无穷小 xcos1 2 xxxsintan 2 x 3 1 1 2 0 3 4 D 是的三阶无穷小 2 1 xxtan x 6 无穷小的同阶关系也具有自反性 对称性和传递性 1 8 1 9 1 8 1 9 1 1 51 y 2 1 为整数 为第一类 可去 间断点 为第二类 kx k0 x 0 kkx 无穷 间断点 2 为第一类 跳跃 间断点 为第二类 无穷 间断点 0 x1 x 3 为第一类 跳跃间断点 0 x 3 4 为第一类 跳跃 间断点 连续区间为和 1 1 2 2 1 x 1 1 5 6 1 e 2 3 0 8 2 3 7 1 正确 2 错误 例如取 3 错误 例如取 0 xfxxfxgsgn 1 8 为函数的第一类 跳跃 间断点 0 x 9 1 提示 利用等式 2 ln 1 1 g x g xf x f xe 2 e 10 提示 利用极限的局部保号性 11 提示 利用等式 2 1 min 2 1 max babababababa 12 1 在点一定不连续 在点不一定不连续 f xg x 0 x 0 x 2 和在点不一定不连续 f xg x f x g x 0 x 1 10 1 10 4 方程在区间 和内各有一个实根 0 1 1 2 3 4 5 提示 作辅助函数 xgxfxF 6 提示 n 个函数值的平均值介于函数的最小值和最大值之间 2 1 2 1 1 20 2 4 1 2 3 2 1a 0 fx 0 2 fx 0 ab fx 5 1 2 6 0 f 0 lim x f x x 18 学院 姓名 学号 日期 参考答案 93 7 1 在 x 0 点连续且可导 导数为 1 2 在 x 0 点连续且可导 导数为 1 f x f x 8 1 2 9 10 11 1 12 13 1 2 a 9 x y e yex 2 2 1 2 2 1 1 1 2 3 2 364yxx 3cos4sinyxx 512 lnln2 y xxxx 4 5 11 22 y xx x 22 22 1 1 2 1 Inxxx Inx y x 6 2 1 2 2 cos lncossin lnyxxxxxxxx 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 15 36 yx 2 6sin 2 cos2yxx 22 x y ax 4 5 6 22 1 y ax 2 6 3 1 x y x 21 cos 2 211 cossin x ye xxx 2 1 000 limlimlim f xf xfxfxfxfx f xfx 2 000 limlimlim f xf xfxfxfxfx f xfx 3 00 limlim f xTf xTf xf x fxTfx 3 1 2 22 2 xx yxefe 1 2 arcsin 1 fx y x x 4 1 2 3 4 xxx x 2 4 2 xx 1 1 3 4 sin cos sin cos xx xx xsec 5 6 7 00 g 11 xy xy 2 2 3 2 3 1 1 2 3 x 1 arctan 2 1 2 x x x sin ln x x 2 4 12 1 xx xxx ln 2 1 2 3 4 nsin 2 n n aax b 1 1 nnn na ax b 1 2 1 1 nn nx 3 1 2 sin cosfxfx 2 ffe f 2 4 3215 456302730 xxxey x 学院 姓名 学号 日期 参考答案 94 5 1 2 0fa 2 0 0 0 xfxf x g xxgf x 2 4 2 4 1 2 3 xy xy dx dy 2 2 2 2 cos cos cos sin yxxy yxxy dx dy 2 2 yx yx dx dy 2 2 1 4 1 2 9 2 xy10 y 5 1 2 3 ln y x x x x x x 2 ln ln ln lny x xx x 1 x x x 1 1 1 1 2 y 4 6 3 2222 23 1 1 13 13 y xx x x xxx yxyx yxyy ln ln y 2 2 7 1 2 8 3 3 y x y 2 7 48 y x y y y y ex 3 2 2 y y y y yexy ex 2 x 0 y 2e 9 1 2 3 2 5t y t e2 y 1 y x 10 切线 法线 11 01234 ayx0643 ayx 2 y 3 b at 2 4 2 y 9 b a t 12 13 14 1 0 2 2 t dx yd 3 4 3 3 8 1 t t dx yd 2 9 0 t dx dy 4 3 2 2 0 2 2 e dx yd t 15 cm min 16 速度为m min 加速度为m min min 50 1 25 16 125 32 2 5 2 5 1 1 2 3 4 2xarctanxarctan2x1 2x 1 2x arctanx arctan fx 3 arctan x 1 1 2 3 2 2 2 ln 1 4 x x xdx x 2 2 1 x x e dx xe dx uv uvvu 22 4 21 22 ln22 1 2 1 xx xx dx x 2 1 2 4 yx exx dx dy y 2 2 21 t e dx dy 2 6 1 6 2 2 t t e e dx yd 5100250 4 3 1 3 1 2 7 3 343 27 学院 姓名 学号 日期 参考答案 95 3 2 3 2 1 1 2 3 1 2 4 1 e 5 6 1 2 e n n aaa 21 1 3 0 1 2 0 1 3ff ba 2 4 当时 为尽可能高阶无穷小 为 5 阶 356 44 sin 2 2 315 xxxxO x 4 2 3 ab f x 附加题 0 2 0 0 0 6fff 3 3 3 3 1 其中是介于 1 与x之间的数 2 22 1 1 1 1 2 1 44 xxxf 2 3 2 4 432 11144 xxxxf 3 4 3 7 1 3 4 3 7 1 1 1 极小值点 极大值点 不可导 3 x7 6x 1 x 在单增 在单减 2 极大值点 极小值点 7 6 3 7 6 3 0 x2 5x 在单增 在单减 0 2 5 0 2 5 3 当时 无实根 当时 有一实根 当时 有两个实根 1ae 1ae ex 01ae 4 5 7 0 a max 4 3 8yy min 0 1 4yy 22 minmax yy 3 4 3 7 2 3 4 3 7 2 1 1 凹区间为 凸区间为 3 3x 3 3 3 3 3 3 3 3 2 凹区间为 凸区间为 3 无拐点 2 x 2 2 2 1 2 0 x1 x1 x2 x3 xy 3 一条渐近线为 23 1 2 2 1 yxxx 4 3 2 1 yxx 2 1yx 4 sin cos 3 3 ay ax 2 0 K 322 2sin 3 2 a 单元检测单元检测 一 1 必要 2 3 大 4 二 D A B B C 三 1 2 2 1 2 7 3 arctan2 2fxe 学院 姓名 学号 日期 参考答案 96 四 1 2 3 连续 0a 2 222 1 sincos 0 0 x fxxexxxxf 五 1 2 八 面积最大 1122 cos sin cos sin x yabx yab 4 4 4 1 4 1 1 1 2 24 1 21 4xxC Cxx arctan 2 1 2 3 2 4 7 7x x xxC Cxx arctan2 11975 113375xxxxC 4 5 4 2 2 ln2 22 ln1 2ln2 xxxxx exexC cossinxxC 44 3 4 2 4 2 1 1 2 3 3 3F xC arctan 2 2F xC arctan2 1 x ex 2 1 2 3 2 2 357xxC lnlnsinxC 22 29ln 9 2xxC 4 5 6 sin 68 1222 3xxC 1 arccosxC 14 ln 7 3 xee x 7 8 9 22cos xxC 2 5 2 1 5xC ln csc 2 cot 2 2xxC 3 1 232221 1 23 1 11 1 21xxxC 2 3 75111 66662 66 266arctan 75 xxxxxC 11 2 1ln 11 x x x e eC e 4 5 2 1 x C x 2 11 arctan 8 4 162 x xC x 4 3 4 3 1 2 3222 112 arcsin11 399 xxxxxC 33 11 39 xx xeeC 3 4 ln 1 ln 1 xxxxC 222 arcsin12 arcsin1 xxxxxC 5 6 tan 2 xxC 32 9sin6sin cos2 39 x exxxC 2 dx xxnxxn I nn n 1 1 1 2 1 1 1 1 11 附加题 1 2 2 cotln sin 2yyyyC 2 2 24 2arctan 22 xx xeeC 学院 姓名 学号 日期 参考答案 97 4 4 4 4 1 2422 4 11133 ln 1 ln 1 arctan 21 461263 xxxxC x 2 2 2ln 1 ln 1 arctanxxxC 3 2 2 22 242222 ln arctan 1 arctan 1 643223222 24 xx xxC xx 4 2 3ln 47 2arctan 2 3 3xxxC 5 987 1 9 1 4 1 7xxxC 6 7 sin2arctan sin xxC 22 arctan tan 222 x C 8 22 2222 2tan1tan3tan 11 222 ln tan2tan1 ln tan1 42242 tan1 tan1 2 tan1 222 xxx xxx C xxx 9 3 23 2 arctan 21 tan arctan 21 tan 2222 xx xC 10 111 ln 1 ln 1 2arctan 111 xxx C xxx 11 1111 3662 2 1 3 1 6 1 6ln 1 1 xxxxC 单元测验单元测验 一 1 2 3 4 x 1 3 1 21 6 FxC dx x x x sin sinttttln5 2 5 3 2 23 5 23 2 1 97 9x 二 1 2 3 1 ln 1 xx x ee xC e 2ln 1 ln nn xx C nn 2 arctan 1 x C x 4 5 2 1 ln tan1 ln tan 1 arctan tan 2222 xxx C 2 11 x eC xx 三 四 五 2 2 1 f x xx dy xx y x 1 ln 1 ln n n n nIxxI 学院 姓名 学号 日期 参考答案 98 六 2 1 1 y x x 2 1 arctan 1 y xy x dxCC x 2 17 arctan 6 1 y x x 七 22 331 ln 3 tan 2