二项式期权定价ppt课件.ppt

第七章二项树模型与期权估价 衍生金融产品定价问题是现代金融和财务理论研究的难点和热点问题 本章将以欧式股票期权为标准展开分析 然后将有关理论应用到美式期权 下面我们来介绍欧式项式期权定价 估算实例 一个欧式股票买权 约定价格为26美元 到期时间为3个月 标的股票当前价格为25美元 假设到期时 股价将有两种可能 或上升到30美元或下降到20美元 假定无风险利率为10 求期权的价格 下面尝试构造一个投资组合消除这种风险 组合中包括股票多头和买权空头如果能按合适的比例买进股票 同时卖出买权 使得在股票上的盈余 亏损 正好被买权上的亏损 盈余 所抵消 那么组合的风险将被消除 这时投资组合的价值在目前和将来的某一时刻是确定的 假定卖出一个买权同时买进 股股票的组合 消除了风险 那么此时构造了一个无风险的组合 在期权到期时 不管股票的价格为30美元还是20美元 投资组合的价值应该是确定的 从而也是相同的 即有 30 4 20 因此 4 10 0 4这样 无风险的投资组合应为 买进0 4股股票同时卖出一个买权 投资组合的到期价值为 30 0 4 4 20 0 4 8美元 上述投资组合既然是无风险的 在不存在套利机会的情况下 其回报率一定等于无风险利率 假定无风险利率为10 投资组合的期初价值为 8美元 exp 0 1 0 25 8美元 0 975 7 8美元而投资组合的期初价值又等于25 c所以 25 c 7 8美元从而 C 25 7 8美元 25 0 4 7 8美元 2 2美元这个买权的价值或价格应该为2 2美元 已知一个欧式股票卖权 X 26美元 T 3个月 0 25年 S 25美元 上升因子u 1 2 下降因子d 0 8 无风险利率r 10 第一步 根据已知条件 做出股价二项树图 第二步 卖入一个卖权同时卖入 股票组成无风险投资组合 求出 其中股票多头可以消除卖权多头的风险 根据30 20 6 得 6 10 0 6 第三步 投资组合的价值到期时价值 30 0 6 20 0 6 6 18美元当前价值 18 exp 0 1 0 25 17 56美元第四步 卖权的价值根据p 25 17 56得p 17 56 25 0 6 2 56美元 一期二项树模型以S代表股票的价格 f代表期权 买权或卖权 的价格 代表购进股票股数 T代表一期的时间 Su fu Sd fd fu fd Su Sd 若要构造无风险的组合 须购买的股票股数等于期末期权价值的变动幅度与股票价格的变动幅度之比 或说同一期末两节点之间期权价值的差值与股票价格的差值之比 投资组合到期价值的期初值或现值为S 一f根据套利原理 应有 S f Su fu exp rT Sd fd exp rT 带入上面的 整理得 f exp rT pfu 1 p fd 其中 p exp rT d u d 注意 这里要求 0 p l 即d exp rT u 借助于这一模型 就可以计算得出只有一期股票价格变动的期权价格 具体步骤为 第一步 计算p第二步 计算期权到期的期望现金流量pfu 1 p fd 第三步 按无风险利率折现上述现金流量 得出期权的 理论 价格 在上例中 u 1 2 d 0 8 r 0 1 T 0 25 fu 买权 4 fd 买权 0 fu 卖权 0 fd 卖权 6 pfu 买权 1 p fd 买权 0 563 4 0 437 0 2 253 pfu 卖权 1 p fd 卖权 0 563 0 0 437 6 2 620 c exp rT pfu 买权 1 p fd 买权 exp 0 1 0 25 2 253 2 20美元 p exp rT pfu 卖权 1 p fd 卖权 exp 0 1 0 25 2 620 2 56美元 两期二项树模型假定欧式买权约定价格为56美元 到期时间为6个月 标的股票当前价格为60 每3个月上升或下降20 无风险利率为10 如何根据上述股票价格的变化情况得出期初的买权价格呢 如果知道节点cu和cd时期权的价值 期初的买权价格根据一期的二项树模型即可计算得出 但现在 cu和cd不能从3个月时的股票价格直接得出 因为此时期权不能执行 尽管3个月时期权不能执行 但可以出售 而其价格或价值根据一期的二项树模型可以从6个月买权价值推出 注意 我们仍以T代表一期即3个月的时间 因而期权的到期时间为2T f0 exp rT pfu 1 p fd exp 2rT p2fuu 2p 1 p fud 1 p 2fdd 二项式模型与期权定价 二项式期权定价模型是由Cox Ross和Rubinstein等人提出的 研究者的最初动机是以该模型为基础 为推导Black Scholes模型提供一种比较简单和直观的方法 但是 随着研究的不断深入 二项式模型不再仅仅是作为解决Black Scholes模型的一种辅助工具 它已经成为建立复杂期权 如美式期权和非标准的变异期权 定价模型的基本手段 一 无红利股票美式期权考虑到提前执行的选择 美式期权在任何未到期的节点上的价值将是下面两个价值中较大的一个 1 继续持有直到下一期的价值 称为持有价值 即价格 2 立即执行的价值 称为执行价值 即内在价值 下面先通过例子说明在无红利情况下美式期权的估价 例 股票当前价格为50美元 每3个月上升或下降20 已知无风险利率为10 在这一股票上的美式买权约定价格为52美元 到期时间为9个月 试求这一美式买权的当前价格 3 计算6个月时买权在3个节点的持有 到9个月 价值 Cuu exp rT pCuu 1 p Cuud exp 0 1 0 25 0 563 34 4 0 437 5 6 21 28美元Cud exp rT pCuud 1 p Cuud exp 0 1 0 25 0 563 5 6 0 437 0 3 08美元Cdd 0美元 4 根据6个月的实际价值计算3个月时买权在2个节点的持有 到6个月 价值 Cu exp rT pCuu 1 p Cud exp 0 1 0 25 0 563 21 28 0 437 3 08 13 0美元Cd exp rT pCud 1 p Cdd exp 0 1 0 25 0 563 3 08 0 437 0 1 69美元 二 有红利股票美式期权在有红利情况下 美式买权和卖权提前执行的决策有所不同 因此其价值也不同 下面通过实例加以说明 并验证前面章节分析的结论 1 美式买权假定股票当前价格为60美元 每3个月上升或下降50 3个月时将按股票当时价格的20 发放红利 已知无风险利率为10 在这一股票上的美式买权约定价格为40美元 到期时间为6个月 试求这一美式买权的当前价格 3 计算3个月时买权在2个节点的持有 到6个月 价值 Cu exp rT PCuu 1 p Cud exp 0 1 0 25 0 523 68 0 4747 0 34 84美元Cd 0美元比较持有价值与相应的执行价值 34 84美元大于32美元 然而 如果期权持有人在除息日之前执行期权 实际已接近3个月末 股票价格也接近90或30美元 从而 期权的内在价值约为Cu 90 40 50美元 大于34 84美元 Cd 0美元这说明买权的实际价值为50美元和O美元 应该立即执行期权 4 按3个月的实际价值计算当前买权的价值 Co exp rT pCu 1 p Cd exp 0 1 0 25 0 5253 50 0 4747 0 25 62美元目前期权价值25 62美元大于立即执行价值20美元 60美元 40美元 所以 应持有买权 如果在除息日之前股票价格升至90美元 则应立即执行期权 如果除息日之前股票价格降至30美元 则