最短路径--教学设计(冯丽华)

才丰似华 德厚如山 1 最 短 路 径 第二师华山中学初中数学组 冯丽华 2015 9 30 最短路径 教学设计 才丰似华 德厚如山 2 一 内容和内容解析 1 内容 利用轴对称探究简单的最短路径问题 2 内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到 初中阶段主要以 两点之间 线段最短 及 连 接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 为知识基础 有时还要借助轴对称 平移 旋转等变换进行研究 本节课以数学史中的一个经典问题 将军饮马问题 为载体 开展最短路径问题的 课题研究 让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题 再利用轴对称将线段和最小 问题转化 两点之间 线段最短 问题 基于以上分析 确定本节课的教学重点是 利用轴对称将最短路径问题转化为 两点之间 线段最短 问题 培养学生解决实际问题的能力 二 目标和目标解析 1 目标 能利用轴对称解决简单的最短路径问题 体会图形的变换在解决最值问题中的作用 感悟 转化思想 进一步获得数学活动的经验 增强应用意识 2 目标解析 1 学生能将实际问题中的 地点 河 抽象为数学中的 点 线 把实际问题抽象为数 学问题 2 能利用轴对称将线段和最小问题转化为 两点之间 线段最短 问题 3 能另选一点 通过比较 逻辑推理证明所求线段和最短 4 在探索最短路径的过程中 体会轴对称的 桥梁 作用 感悟转化思想 三 教学问题诊断分析 最短路径问题从本质上说是极值问题 作为八年级的学生 在此之前很少接触 解决这方 面问题的经验明显不足 特别是面对实际背景的极值问题无从下手 对于直线异侧的两点 怎样在直线上找到一点 使这一点到这两点的距离之和最短 学生 很容易想到连接这两点 所连线段与直线的交点就是所求点 但对于直线同侧的两点 如何在 直线上找到一点 使这一点到这两点的距离之和最短 一些学生感到茫然 找不到解决问题的 方法 才丰似华 德厚如山 3 在证明最短时 需要在直线上任选一点 与所求作的点不重合 证明所连线段和大于所求 作的线段和学生想不到 不会用 教学时 教师可从 直线异侧的两点 过渡到 直线同侧的两点 为学生搭建 脚手架 在证明 最短 时 教师可告诉学生证明 最大 最小 问题 常常要另选一个量 通过与 求证的那个 最大 最小 的量进行比较证明 由于另取的点具有任意性 所以结论对于直 线上的每一点 点 C 除外 都成立 本节课的教学难点是 利用轴对称将同侧线段和最短问题转化为异侧线段和最短问题 并 能进行简单推理论证 四 教学支持条件分析 在初次解决问题时 学生出现了多种方法 通过测量 发现利用轴对称将同侧两点转化为 异侧两点求得的线段和比较短 进而利用几何画板通过动画演示 实验验证了结论的一般性 最后通过逻辑推理证明 教具准备 直尺 几何画板 ppt 五 教学过程设计 环 节教师活动学生活动设计意图 一 复 习 引 入 1 问题 看到课题 回忆 学过哪些最短路径问题 2 以上两个问题 我们称为 最短路径 问题 3 小试身手 已知 如图 点 A B 分别是直 线l异侧的两个点 如何在直 线l上找到一个点 使得这个 点到点 A 点 B 的距离的和最 短 A B 两点之间 线段最短 直线外一点与直线上各 点所连线段中 垂线段 最短 从学生已经学 过的知识入手 为进一步丰富 完善知识结构 做铺垫 二 探 究 1 提出问题 故事引入 相传 古希腊 亚历山大里亚城里有一位久负 盛名的学者 名叫海伦 有一 天 一位将军专程拜访海伦 认真读题 仔细思考 才丰似华 德厚如山 4 新 知 求教一个百思不得其解的问题 从图中的 A 地出发 到一条笔 直的河边 l 饮马 然后到 B 地 到河边什么地方饮马可使 他所走的路线全程最短 精通 数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个 问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 二 探 究 新 知 2 分析问题 1 转化 你能将实际 问题抽象为数学问题吗 2 度量 请尝试找出 符合条件的点 C 分别度量出 AC BC 的长度 并计算 AC BC 记录在题目旁边 3 展示 巡视发现学生不同的作法 尽 可能多 投影 拍照 4 追问 上述几种 方法中 哪一种作法中的点 C 能使得 AC BC 较短 将实际问题中的 地点 河 抽象为数学中的 点 线 把实际问 题抽象线段和最小问题 展示 学生展示并 能简单说明思路 作法 1 作法 2 作法 3 通过 度量 的数据得 出 结论 小结 发现第 3 种 作法是较短的 第 1 种 作法只能说明在河 l 上 学生主动探索 充分发挥学生 的主动性 展示多种方法 产生思维冲突 引发学生进一 步探究的学习 欲望 l A B C 才丰似华 德厚如山 5 取一点 到 A B 两地的 距离相等 第 2 种作法 是利用 两点之间线段 最短 得到 BC 最短 利用 垂线段最短 得 到 AC 最短 但不能确定 AC BC 是最短的 3 解决问题 1 转化 用第 3 种作法的 同学 你们是怎样找到的点 C 2 比较 在以上几种方法 中 利用轴对称找出的点 C 能 使得 AC BC 较短 但在直线 l 上有无数个点 也就有无数条 路线 此时点 C 还能使 AC BC 最短吗 通常我们要在直线上任另 取一点 P 与点 C 不重合 说 明 AC BC AP BP 3 几何画板 下面我们可 以借助数学工具 几何画板来 进一步验证一般性 老师动手操作 并回忆作图 步骤 验证对于第 3 种情况来 说是最短的路径 注 通过动画演示 从特殊 到一般地验证了前面的结论 利用轴对称将同侧线段 和最短转化转化为异侧线段 和最短问题 借助轴对 称的 桥梁 作用 若直线 l 上任意一定 与点 C 不重合 与 A B 两点的距离和都大 于 AC BC 就说明 AC BC 最小 认真观察老师的做法 思考 要想确认 AC BC 最短 可以在直线 l 上 任取一点 P 不与点 C 重 合 通过度量可以得出 AC BC 最短 并观察变化 趋势 让学生进一步 体会做法的正 确性 提高逻 辑思维能力 让学生在反思 的过程中 体 会轴对称的 桥梁 作用 感悟转化思想 丰富数学活动 经验 二 探 究 新 知 4 推理论证 1 独立纠正图形 2 请两位同学全班交流推 理过程 3 师生共同完成板书 4 学友向学师口述证明过 程 1 独立纠错 2 兵教兵进一步推理论 证 加强逻辑 性 培养学生 良好的思维习 惯 1 本节课研究问题的基本 过程是什么 2 轴对称在所研究问题中 起什么作用 用到了转化的数学思想 才丰似华 德厚如山 6 高 归纳 通过梳理 将 军饮马问题 的解题思路 帮助学生归纳 解决实际问题 的探究过程 让学生充分体 会轴对称变换 可以将不共线 的两条路径转 化到一条直线 上 四 拓 展 应 用 问题 如图 A 为马厩 牧马人某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处牧马 再到 河边饮马 然后回到马厩 请 你帮他确定这一天的最短路线 小结 在解决最短路径问 题时 我们通常利用轴对称将 同侧转化为异侧问题 化折线 为直线 从而作出最短路径的 选择 教师寄语 现实生活中需 要我们寻找简单 实用的方法 但学习无捷径 希望大家勤于 思考 多多动脑 用数学知识 武装自己 做一位有智慧的小 将军 F E C B A 作两次轴对称 找 到点 B 点 C 连接 BC 与两直线的交点 E F AE EF FC 即为所 求路径 学以致用 及时复习所学 的知识 才丰似华 德厚如山 7 F E C B A C P P Q 五 板 书 设 计 13 4 最短路径 六 目标检测设计 题目题目 1 1 课堂检测 如图 A 为马厩 牧马人某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处 牧马 再到河边饮马 然后回到马厩 请你帮他确定这一天的最短路线 设计意图 学以致用 并且有提高和挑战 作两次轴对称 找到点 B 点 C 连接 BC 与两直线的交点 E F AE EF FC 即为所求路径 在解决最短路径问题时 通常利用轴对称将同侧转化为异侧问 题 化折线为直线 从而作出最短路径的选择 题目题目 2 2 课后检测 如图 一个旅游船从大桥AB 的P