有等腰三角形时常用的辅助线

1 有等腰三角形时常用的辅助线有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线 底边中线 底边高线作顶角的平分线 底边中线 底边高线 例 已知 如图 AB AC BD AC 于 D 求证 BAC 2 DBC 证明 方法一 作 BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E 则 1 2 BAC 1 2 又 AB AC AE BC 2 ACB 90o BD AC DBC ACB 90o 2 DBC BAC 2 DBC 方法二 过 A 作 AE BC 于 E 过程略 方法三 取 BC 中点 E 连结 AE 过程略 有底边中点时 常作底边中线有底边中点时 常作底边中线 例 已知 如图 ABC 中 AB AC D 为 BC 中点 DE AB 于E DF AC 于 F 求证 DE DF 证明 连结 AD D 为 BC 中点 BD CD 又 AB AC AD 平分 BAC DE AB DF AC DE DF 将腰延长一倍 构造直角三角形解题将腰延长一倍 构造直角三角形解题 例 已知 如图 ABC 中 AB AC 在 BA 延长线和 AC 上各 取一点 E F 使 AE AF 求证 EF BC 证明 延长 BE 到 N 使 AN AB 连结 CN 则 AB AN AC B ACB ACN ANC B ACB ACN ANC 180o 2 BCA 2 ACN 180o BCA ACN 90o 即 BCN 90o NC BC AE AF AEF AFE 又 BAC AEF AFE BAC ACN ANC BAC 2 AEF 2 ANC AEF ANC 21 E D C B A FE D C B A N F E C B A 2 EF NC EF BC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例 已知 如图 在 ABC 中 AB AC D 在 AB 上 E 在 AC 延长 线上 且 BD CE 连结 DE 交 BC 于 F 求证 DF EF 证明 证法一 过 D 作 DN AE 交 BC 于 N 则 DNB ACB NDE E AB AC B ACB B DNB BD DN 又 BD CE DN EC 在 DNF 和 ECF 中 1 2 NDF E DN EC DNF ECF DF EF 证法二 过 E 作 EM AB 交 BC 延长线于 M 则 EMB B 过程略 常过一腰上的某一已知点做底的平行线常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例 已知 如图 ABC 中 AB AC E 在 AC 上 D 在 BA 延长线上 且 AD AE 连结 DE 求证 DE BC 证明 证法一 过点 E 作 EF BC 交 AB 于 F 则 AFE B AEF C AB AC B C AFE AEF AD AE AED ADE 又 AFE AEF AED ADE 180o 2 AEF 2 AED 90o 即 FED 90o DE FE 又 EF BC DE BC 证法二 过点 D 作 DN BC 交 CA 的延长线于 N 过程略 证法三 过点 A 作 AM BC 交 DE 于 M 过程略 2 1 N F E D C B A 2 1 M F E D C B A N M FE D CB A 3 常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形 等边三角形等边三角形 例 已知 如图 ABC 中 AB AC BAC 80o P 为形内一点 若 PBC 10o PCB 30o 求 PAB 的度数 解法一 以 AB 为一边作等边三角形 连结 CE 则 BAE ABE 60o AE AB BE AB AC AE AC ABC ACB AEC ACE EAC BAC BAE 80o 60o 20o ACE 180o EAC 1 2 80o ACB 180o BAC 1 2 50o BCE ACE ACB 80o 50o 30o PCB 30o PCB BCE ABC ACB 50o ABE 60o EBC ABE ABC 60o 50o 10o PBC 10o PBC EBC 在 PBC 和 EBC 中 PBC EBC BC BC PCB BCE PBC EBC BP BE AB BE AB BP BAP BPA ABP ABC PBC 50o 10o 40o PAB 180o ABP 70o 1 2 解法二 以 AC 为一边作等边三角形 证法同一 解法三 以 BC 为一边作等边三角形 BCE 连结 AE 则 EB EC BC BEC EBC 60o EB EC E 在 BC 的中垂线上 同理 A 在 BC 的中垂线上 EA 所在的直线是 BC 的中垂线 EA BC AEB BEC 30o PCB 1 2 P E C B A P E C B A 4 由解法一知 ABC 50o ABE EBC ABC 10o PBC ABE PBC BE BC AEB PCB ABE PBC AB BP BAP BPA ABP ABC PBC 50o 10o 40o PAB 180o ABP 180o 40o 70o 1 2 1 2 有等腰三角形时常用的辅助线有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线 底边中线 底边高线作顶角的平分线 底边中线 底边高线 例 已知 如图 AB AC BD AC 于 D 求证 BAC 2 DBC 有底边中点时 常作底边中线有底边中点时 常作底边中线 例 已知 如图 ABC 中 AB AC D 为 BC 中点 DE AB 于 E DF AC 于 F 求证 DE DF 将腰延长一倍 构造直角三角形解题将腰延长一倍 构造直角三角形解题 例 已知 如图 ABC 中 AB AC 在 BA 延长线和 AC 上各 取一点 E F 使 AE AF 求证 EF BC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例 已知 如图 在 ABC 中 AB AC D 在 AB 上 E 在 AC 延长线上 且 BD CE 连结 DE 交 BC 于 F 求证 DF EF 5 常过一腰上的某一已知点做底的平行线常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例 已知 如图 ABC 中 AB AC F 在 AC 上 E 在 BA 延长