第二章_测验题答案

第二章 测验题答案 一 填空题 1 设 X 的概率分布为 P X k 则 C 3 2 1 1 k k C 答案 25 12 2 某处有供水龙头 5 个 调查表明每一龙头被打开的可能性为 1 10 令 X 表示同时被 打开的水龙头个数 则 P X 3 答案 23 3 5 9 01 0C 3 若其中 则 1 1 12 axXPxXP 1 x 2 x 21 xXxP 答案 1 21 xXxP 4 设随机变量 X Y 独立 则 Z X Y 的概率密度函数为 2 XNYU 答案 1 2 Z zz z 5 设且独立 则 1 2 3 0 2 1 321 NXNXNX 321 XXX 123 0236 PXXX 答案 3413 0 016320 321 xxxP 二 选择题 1 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 5 4 22 NYNX 记则 12 4 5 pxpy A 对任何实数 都有 B 对任何实数 都有 1 p 2 p 1 p 2 p 答案 A 2 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N 0 1 和 N 1 1 则 A B 0PXY 2 1 1 YXP 2 1 C D 0PXY 2 1 1 YXP 2 1 答案 B 3 随机变量 X 的密度函数为 则常数 A 其他 0 0 2Axx xp A B C 1 D 2 4 1 2 1 答案 C 4 0 0 0 x Aex Xf xA x PXaa AaBa CaDa 已知随机变量的密度函数为常数 则概率 的值 与无关 随的增大而增大 与无关 随的增大而减小 与无关 随的增大而增大 与无关 随的增大而减小 4 1 1 a xxa C f x dxAe a PXaee dx eee aC PXaaC 答案是 分析由可求得 所以 此值与无关 且随的增大而增大 故选 注 利用连续型随机变量落入某一区间的概率等于密度函数曲线在该区间上曲边 梯形面积 可知随的增大而增大 因而选 5 XF xf xXX A F xFxB F xFx C f xfxD f xf 假设随机变量的分布函数为 密度函数为若与有相同的分布函 数 则 x 5 0 0 1 1 C F xf xBD P XxPXxP XxP Xx F xFxf xfxC 答案是 分析 由于故 不能选 又由题设知 即 所以有应选 三 计算题 1 设 10 件产品中有 7 件正品 3 件次品 今随机地从中抽取产品 每次取一件 直到 取到正品为止 求 1 若有放回抽取 求抽取次数 X 的概率分布和分布函数 2 若无放回抽取 求抽取次数 X 的概率分布和分布函数 1 解 1 因为是有放回抽取 抽取次数 X 的可能取值为 1 2 k 且每次取到正品的概率 p 7 10 取到次品的概率为 q 3 10 所以 X 的分布律为 k 1 2 3 10 7 10 3 1k kXP X 的分布函数为 1 1 21 37 1010 7333 1 10101010 3 1 10 k x k x x F xP Xx 其中 x 表示 x 的整数部分 2 因采取无放回抽取 且 10 件产品中只有 3 件次品 所以最多取 4 次即可取到正品 因此抽取次数 X 的可能值为 1 2 3 4 令 Ak 第 k 次取得正品 k 1 2 3 4 Bm 第 m 次取得次品 m 1 2 3 则 X 的分布律为 10 7 1 1 APXP 21121 377 2 10930 P XP A BP BP AB 123121312 3277 3 1098120 P XP B B AP BP BBP AB B 12341213124123 32171 4 10987120 P XP B B B AP BP BBP BB BP AB B B X 的分布函数为 0 1 7 12 10 28 23 30 119 34 120 1 4 x x F xx x x 2 12 0 1 2 1000 1 2 ii n niin m 市场上有个厂家生产的大量同种电子元件 价格相同 其市场上占有的份额比为 第个厂家生产的元件寿命 单位 小时 服从参数为 的指数分布规定元件寿命在小时以上者为优质品 求市场上该产品的优质品率 从市场上购买个这种元件 求至少有一个不是优质品的概率 1 1 2 1 2 i i BA iin AAP B m 2 分析决定市场产品优质品率的关键是各厂产品上的质量情况 如果记事件表示从市场上随机抽取一个元件为优质品 事件表示 从市场上随机抽取一个元件是第厂产品 依题意 两两互不相容 其和为 中要求的 是 全概率公式的计算问题 对于 由于从市场上购买的个元件中 每件都有可能是优质品 也有可能不是优质品 各件产品是否为优质 品互不影响 这是一个伯努力概型 即 1000 1000 11 1 1 2 1 2 12 1 1000 1 2 2 1 i i i ii nn ii ii p ii p Ain nn n Xi p B Ap Xein i p Bp A p B Ae n n 有关二项分布的计算问题 其中参数就是 中求的 解 依题意 记表示第厂家产的元件寿命 则 应用全概率公式 1000 1 2 1 2 1 1 i i n i m m ie n n m m p B 个都是优质品的概率为 至少有一个不是优质品是事件 个元件都是优质品的对立事件 其概率为 为 中所求的 3 某批产品优等品率为 80 每个检验员将优等品判断为优等品的概率为 97 而将 非优等品判断为优等品的概率为 2 为了提高检验结果的可信程度 决定由 3 个人组 成检查组进行检查 3 个人中至少有 2 个检验员认为是优等品的产品方能被确认为优等 品 假设各个检验员的判断是相互独立的 那么检查组对优等品作出正确判断的概率 是多少 3 3 3 0 97 3 3 0 02 AB P A BX XBY YB 解 解答此题 首先要弄清 检查组对优等品做出正确判断 的确切含义 显然 它意指 被检查组判断为优等品的产品 它确实为优等品 如果记 事件 产品为优等品 检验时该产品被判断为优等品 那么所求的概率 为 在检查优等品时 检查组人中有个检验员判断它为优等品 则 在检查非优等品时 检查组人中有个检验员判断它为 非优等品 则 22332233 3333 22 2 2 0 80 97 0 030 970 20 02 0 980 02 0 8 0 97 0 090 970 2 0 02 2 94 P ABP AP B A P A B P BP B P BP ABP ABP A P B AP A P B A P A P XP A P Y CCCC 由于 根据全概率公式 得 0 02 0 797880 000240 79812 0 79788 0 999799 97 0 79812 P A B 故所求的概率为 2 2 4 0 0 0 x X ABex F x x AB 设连续型随机变量的分布函数 求系数和 2 2 00 4 lim11 0 0limlim 1 x xx F xAF xx X F xABeAB BA 解 由 知 再由 在 处的右连续性知 故 5 假设随机变量 X 在 0 1 上服从均匀分布 求随机变量 Y 的概率密度函数 ln X X 2 2 lnln 1 01 ln 0 xx X XXZ X Z XX x XfxYXeeZX ZFz x l n 5 解 本题是属于 已知随机变量X的分布 求X的函数Y g X 分布 的题型 只 不过函数的形式是Y g X 类似与求导数的方法 可以在等式两边 求对数或化为求e形式进行求解 我们仍然运用分布函数法来解答本题 已知的密度函数为 其中 其他 若记的分布函数为 则 2 1 2 00001 lnln ln0111 1 0 2 0 0 ln01 z Y Y Y Z Z zz e z Z Z Y Z zFzzX FzP ZzPXzPzXz PzXP eXdxe Z ez fzz z YeFy FyP YyP ey ZXFyy FyP 当时 当时 由在 上取值 因而有 由此即可求出的密度函数 因而分布函数为 其中的取值是非负的 因而当y1时 当时 lnln ln 00 ln 1 0ln1 2 1 1 2ln 0 1 yy yzz y Y Zyedzdee z Y ey yyfy y 故所求的的概率密度函数为 6 设点随机地落在单位圆周圆心位于原点上 并且对弧长是均匀分布的 求这点的横坐标的密度函数 cos 6 2 1 1 02 2 0 cos cos02cos arccos2 arccos 11 cos X x PQ p pX xx xx x Fxp Xxpxp 解据题设 落在圆周上的点与定点 见图 之间的弧长 的密度