椭圆的标准方程练习题

1 1 第一定义 第一定义 把椭圆从圆中分离把椭圆从圆中分离 椭圆从圆 压缩 变形而来 从而使得椭圆与圆相关而又相异 它从圆中带来了中心和定长 但又产生了 2 个新的定点 焦点 准确 完整地掌握椭圆的定义 是学好椭圆 并进而学好圆锥曲线理论的基础 例 1 若点 M 到两定点 F1 0 1 F2 0 1 的距离之和为 2 则点 M 的轨迹是 椭圆 直线 线段 线段的中垂线 AB 21F FC 21F FD 21F F 解析 注意到且故点 M 只能在线段上运动 即点 M 的轨迹就是线段 选 C 12 2 FF 12 2 MFMF 21F F 21F F 评注 椭圆的定义中有一个隐含条件 那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离 忽视这一点 就会错误地选 A 2 勾股数组 勾股数组 椭圆方程的几何特征椭圆方程的几何特征 椭圆的长 短半轴 a b 和半焦距 c 满足 在 a b c 三个参数中 只要已知或求出其中的任意两个 便可以求出第 2 2 2 3 个 继而写出椭圆方程和它的一切特征数值 椭圆方程的标准式有明显的几何特征 这个几何特征就反映在这个勾股数组上 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组 例 2 已知圆 圆内一定点 3 0 圆过点且与圆内切 求圆心的轨迹方程 1003 2 2 yxAABPBAP 解析 如图 设两圆内切于 C 动点 P x y 则 A P C 共线 连 AC PB 10PAPBAC 为定长 而 A 3 0 B 3 0 为定点 圆心的P 轨迹是椭圆 且 所求轨迹方程为 5 3 4acb 22 1 2516 xy 一 的最值 若 A 为椭圆 C 内一定点 异于焦点 P 为 C 上的一个动点 F 是 C 的一个焦点 求的最 值 例 2 已知椭圆内有一点 A 2 1 F 为椭圆的左焦点 P 是椭圆上动点 求 的最大值与最小值 解 如图 1 设椭圆的右焦点为 可知其坐标为 3 0 图 1 由椭圆的第一定义得 可知 当 P 为的延长线与椭圆的交点时 最大 最大值为 当 P 为的 延长线与椭圆的交点时 最小 最小值为 故的最大值为 最小值为 X Y A 3 0 B 3 0 P x y C 2 二 椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值 例 4 定长为的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上移动 求 AB 的中 点 M 到椭圆右准线 的最短距离 解 设 F 为椭圆的右焦点 如图 3 作于 A BB 于 B MM 于 M 图 3 则 当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立 故 M 到椭圆右准线的最短距离为 评注 是椭圆的通径长 是椭圆焦点弦长的最小值 是 AB 能过焦点的充要条件 一 填空题 1 方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 则 m 的取值范围是 x2 25 m y2 16 m 2 椭圆 1 m n5 它的两焦点分别是 F1 F2 且 F1F2 8 弦 AB 过点 x2 a2 y2 25 F1 则 ABF2的周长为 4 过点 3 2 且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程是 x2 9 y2 4 5 已知椭圆的焦点是 F1 0 1 F2 0 1 P 是椭圆上一点 并且 PF1 PF2 2F1F2 则椭圆的 标准方程是 6 已知椭圆的两个焦点为 F1 1 0 F2 1 0 且 2a 10 则椭圆的标准方程是 7 若 ABC 的两个顶点坐标 A 4 0 B 4 0 ABC 的周长为 18 则顶点 C 的轨迹方程为 8 已知椭圆 1 的左 右焦点分别为 F1 F2 P 是椭圆上的一点 Q 是 PF1的中点 若 x2 16 y2 9 OQ 1 则 PF1 9 设 F1 F2是椭圆 1 的两个焦点 P 是椭圆上的点 且 PF1 PF2 2 1 则 PF1F2 x2 9 y2 4 的面积等于 1 点 P x y 在椭圆上 则的最大值为 4 2 4 22 yx x y A 1 B 1 C D 3 3 2 3 3 2 3 1 如果方程表示焦点在轴上的椭圆 那么实数的取值范围是 22 2xky yk A B C D 0 0 2 1 0 1 2 方程表示焦点在轴上的椭圆 则的取值范围是 22 1 2516 xy kk yk A B C D 1625k 9 16 2 k 9 25 2 k 9 2 k 3 椭圆上一点到一个焦点的距离为 2 则点到另一个焦点的距离为 2 2 1 25 x y pp A 5 B 6 C 7 D 8 4 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于 A B 两点 则 A B 与椭圆的另一个焦点构成 22 41xy 1 F 2 F 的的周长是 A 2 B 4 C 8 D 2 ABF 2 2 5 平面内两定点的距离为 8 则到这两个定点的距离之和为 6 的点的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 线段 D 不存在 6 椭圆的焦点坐标是 22 1 25 xy mm A B C D 7 0 0 7 7 0 0 7 二 解答题 10 已知椭圆 x2 2y2 a2 a 0 的左焦点 F1到直线 y x 2 的距离为 2 求椭圆的标准方程 2 11 已知圆 C x 3 2 y2 100 及点 A 3 0 P 是圆 C 上任意一点 线段 PA 的垂直平分