泰勒公式例题

泰勒公式及无穷小变换的应用 1 泰勒公式及其应用泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限等价无穷小在求函数极限 中的应用及推广中的应用及推广 泰勒公式及无穷小变换的应用 2 泰勒公式及其应用泰勒公式及其应用 引言引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容 它将一些复杂函数近似地表示 为简单的多项式函数 这种化繁为简的功能 使它成为分析和研究其他数学问题 的有力杠杆 作者通过阅读大量的参考文献 从中搜集了大量的习题 通过认真演 算 其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献 并对这些应用方法做 了系统的归纳和总结 由于本文的主要内容是介绍应用 所以 本文会以大量的例 题进行讲解说明 预备知识预备知识 定义定义 2 12 1 若函数在存在阶导数 则有 1 f 0 xn 2 00 000 1 2 fxfx f xf xxxxx 0 00 n nn fx xxo xx n 1 这里为佩亚诺型余项 称 1 f 在点点的泰勒公式的泰勒公式 0 n xxo 0 x 当 0 时 1 式变成 0 x 称此式为 带有佩亚诺余 0 2 0 1 0 0 2 nn n xox n f x f x f fxf 项的 麦克劳林公式麦克劳林公式 定义定义 2 22 2 若函数 在某邻域内为存在直至 阶的连续导数 则 2 f 0 x1 n 2 00 00000 2 n n n fxfx f xf xfxxxxxxxR x n 2 这里为拉格朗日余项 其中在与 n R x 1 1 0 1 n n n f R xxx n x 之间 称 2 为在在的泰勒公式的泰勒公式 0 xf 0 x 当 0 时 2 式变成 0 x 2 0 0 0 0 2 n n n ff f xffxxxR x n 泰勒公式及无穷小变换的应用 3 称此式为 带有拉格朗日余项的 麦克劳林公式麦克劳林公式 常见函数的展开式 常见函数的展开式 1 2 1 2 1 n xn x x n e n xx xe 12 1 5 3 sin 22 1253 n n n xo n xxx xx 2462 2 cos1 1 2 4 6 2 n nn xxxx xo x n 1 1 32 1ln 1 132 n n n xo n xxx xx 1 1 1 2nn xoxxx x 2 2 1 1 1 x mm mxx m 定理定理 2 12 1 介值定理介值定理 设函数 在闭区间 上连续 且 若 3 f ba bfaf 为介于 与之间的任何实数 则至少存在一点 使得 0 af bf 0 x ba 00 xf 3 3 泰勒公式的应用泰勒公式的应用 3 13 1 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限 为了简化极限运算 有时可用某项的泰勒展开式来代替该项 使得原来函数 的极限转化为类似多项式有理式的极限 就能简捷地求出 例例 3 13 1 求极限 2 2 4 0 cos lim x x xe x 分析 分析 此为型极限 若用罗比达法求解 则很麻烦 这时可将和 0 0 cosx 分别用泰勒展开式代替 则可简化此比式 2 2 x e 泰勒公式及无穷小变换的应用 4 解解 由 得 24 4 cos1 2 4 xx xo x 2 2 2 2 4 2 2 1 22 x x x eo x 2 4444 2 2 111 cos 4 22 12 x xexo xxO x 于是 2 44 2 44 00 1 cos1 12 limlim 12 x xx xO x xe xx 例例 3 23 2 极限 1sin 2 lim sincos x x x xx xxx e 0 分析 分析 此为型极限 若用罗比达法求解 则很麻烦 这时可将和 sinx 0 0 cosx 分别用泰勒展开式代替 则可简化此比式 x e 解 解 由1sin 2 xx xx e 233 33 1 2626 x xoo xxx xx 1 x x 343 33 6126 oo xxx xx 32 33 sincos 1 62 xxxoxo xx xx x 3 3 3 o x x 于是 1sin 2 lim sincos x x x xx xxx e 0 3 3 3 3 1 6 2 3 o o x x x x 例例 3 33 3 利用泰勒展开式再求极限 泰勒公式及无穷小变换的应用 5 解 注解注解 现在 我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为 从而 当时 应为 3 23 2 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式 当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物 不妨作一个辅助函 数并用泰勒公式代替 往往使证明方便简捷 例例 3 23 2 当时 证明 0 x 3 1 sin 6 xxx 证明证明 取 则 3 1 sin 6 f xxxx 0 0 x 0 0 0 0 0 0 1 cos 0 0 ffffxx f 带入泰勒公式 其中 3 得n 其中 3 1 cos 000 3 x f xx 10 故 当时 0 x 3 1 sin 6 xxx 泰勒公式及无穷小变换的应用 6 3 33 3 利用泰勒公式判断级数的敛散性利用泰勒公式判断级数的敛散性 当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时 往往利用泰勒 公式将级数通项简化成统一形式 以便利用判敛准则 3 33 3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性利用泰勒公式判断广义积分的敛散性 例例 3 3 5 11 xxx dx 判断广义积分 2的收敛性 11 1111xxxx xx 解 2 2 11 11 xx 利用泰勒公式将 展开 22 1 1 1 1111 2 2 11 22 o xxxx 22 1 1 1 1111 2 2 11 22 o xxxx 2222 1 11 1 1 1 111111 2 22 2 111 1 2 2222 xxxxoo xxxxxx 2 33 22 3 2 1111 lim1 1 4 4 x xxx xx x 2 o 因此 由于收敛 所以 53 2 1 4x 5 11 xxx dx 2的收敛 例例 3 33 3 讨论级数的敛散性 1 11 ln n n nn 分析 直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难 因 而也就无法恰当选择判敛方法 注意到 若将其泰勒展开为的 11 lnln 1 n nn 1 n 幂的形式 开二次方后恰与相呼应 会使判敛容易进行 1 n 解解 因为 泰勒公式及无穷小变换的应用 7 234 1111111 lnln 1 234 n nnnnnnn 所以 11 ln 1nn 所以 11 ln0 n n u nn 故该级数是正向级数 又因为 3323323 22 111111111111 ln 234 22 n o nnnnnnnnnn nn 所以 33 22 111111 ln 22 n n u nnnn nn 因为收敛 所以由正向级数比较判别法知原级数收敛 3 1 2 1 2 n n 3 43 4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性利用泰勒公式证明根的唯一存在性 例例 3 43 4 设 f x 在上二阶可导 且 对 a 0 0f afa 证明 在内存在唯一实根 0 xaf 0f x a 分析 这里 f x 是抽象函数 直接讨论的根有困难 由题设 f x 在 0f x 上二阶可导且 可考虑将 f x 在 a 点展开一阶泰勒公式 然 a 0 0f afa 后设法应用戒指定理证明 证明证明 因为 所以单调减少 又 因此 x a 时 0fx fx 0fa 故 f x 在上严格单调减少 在 a 点展开一阶泰勒公式有 0fxfa a 泰勒公式及无穷小变换的应用 8 2 2 f f xf afa xaxaax 由题设 于是有 从而必存在 使得 又 0 0faf lim x ba 0f b 因为 在上应用连续函数的介值定理 存在 使 0f a a b 0 xa b 0 0f x 由 f x 的严格单调性知唯一 因此方程在内存在唯一实根 0 x 0f x a 3 53 5 利用泰勒公式判断函数的极值利用泰勒公式判断函数的极值 例例 3 53 5 极值的第二充分条件 设在的某邻域内一阶可导 在 4 f 0 x 0 xU 处二阶可导 且 0 xx 0 0 xf0 0 xf i 若 则在取得极大值 0 0 xff 0 x ii 若 则在取得极小值 0 0 xff 0 x 证明证明 由条件 可得 f 在处的二阶泰勒公式 0 x 2 1 2 0 2 0 0 0 0 0 xxoxx xf xx xf xfxf 由于 因此0 0 xf 2 0 0 0 1 2 xxo xf xfxf 又因 故存在正数 当时 与0 0 xf 0 xUx 2 1 0 xf 同号 所以 当时 式取负值 从而对任意 1 2 1 0 oxf 0 0 xf 有 0 xUx 0 0 xfxf 即在取得极大值 同样对 可得在取得极小值 f 0 x0 0 xff 0 x 3 63 6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 利用基本初等函数的幂级数展开式 通过加减乘等运算进而可以求得一些较 复杂的初等函数的幂级数展开式 例例 3 63 6 求的幂级数展开式 2 1 1xx 解解 利用泰勒公式 泰勒公式及无穷小变换的应用 9 23 11 11 x xxx 3693467910 3467910 0 1 1 1 233333333 222222223 22 1 sin 33 n n xxxxxxxxxxx xxxxxxx n x 3 73 7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式进行近似计算 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算 利用 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为 xf 2 0 0 0 0 2 n n ff f xffxxx n 其误差是余项 n R x 例例 3 73 7 计算 Ln1 2 的值 使误差不超过 0 0001 解解 先写出 f x Ln 1 x 带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式 23 1 1 1 23 n n n xxx LnxxR x n 其中 在 0 与 x 之间 1 1 1 1 1 nn n n x R x n 令 要使 2 0 x 1 1 1 0 2 0 2 0 0001 00 2 1 1 n n n n R x n 则取即可 5 n 因此 5 ln1 20 20 020 002670 000400 000060 1823 0 0001R 其误差 当要求的算式不能得出它的准确值时 即只能求出其近似值 这时泰勒公式 是解决这种问题的最好方法 例例 3 83 8 求的近似值 精确到 21 0 x edx 5 10 解解 因为中的被积函数是不可积的 即不能用初级函数表达 现 21 0 x edx 用泰勒公式的方法求的近似值 21 0 x edx 在的展开式中以代替 x 得 x e 2 x 2 42 2 1 1 2 n xn xx ex n 逐项积分 得 2 42 11111 2 00000 1 1 2 11 111 1 1 32 52n1 1111111 1 310422161329936075600 n xn n xx edxdxx dxdxdx n n A A 泰勒公式及无穷小变换的应用 10 上式右端为一个收敛的交错级数 由其余项的估计式知 n R x 2 7 1 0 1 0 000015 75600 111111 10 746836 3104221613299360 x R edx 所以 3 83 8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值 如果 f x 泰勒公式已知 其通项中的加项的系数正是 n xx 0 1 0 xf n n 从而可反过来求高阶导数数值 而不必再依次求导 例例 3 93 9 求函数在 x 1 处的高阶导数 x exxf 2 2 100 1 f 解解 设 x u 1 则 eeueuugxf uu 2 1 2 1 1 0 1 nn gf 在 u 0 的泰勒公式为 u e 100 99 98 1 100 1009998 uo uuu ueu 从而 100 99 98 1 12 100 1009998 2 uo uuu uuueug 而 g u 中的泰勒展开式中含的项应为 从 g u 的展开式知的 100 u 100 100 100 0 u g 100 u 项为 因此 100 100 1 99 2 98 1 ue 10101 0 100 1 99 2 98 1 100 0 100 100 ege g egf10101 0 1 100100 3 93 9 利用泰勒公式求行列式的值利用泰勒公式求行列式的值 若一个行列式可看做 x 的函数 一般是 x 的 n 次多项式 记作 f x 按泰 勒公式在某处展开 用这一方法可求得一些行列式的值 0 x 例例 3 103 10 求 n 阶行列式 D xzzz yxzz yyxz yyyx 1 解解 记 按泰勒公式在 z 处展开 Dxfn 泰勒公式及无穷小变换的应用 11 n n nnn n zx n zxf zx zf zx zf zfxf 2 1 2 2 易知 1 00000 000 000 000 k k yzz yz yyz yyz yyz yyz D 阶 3 由 3 得 时都成立nkyzzzf k k 2 1 1 根据行列式求导的规则 有 1 2 1 1 11 22 11 xxfxfxfxfxfnxfxnfxf nnnn 因为 于是在处的各阶导数为 xfnzx 2 1 n nzxnn yznzznfzfzf 3 1 1 n nzxnn yzznnznfzfzf znnzfnnfzf zx n n n n 2 1 2 1 1 11 12 1 nnzf n n 把以上各导数代入 2 式中 有 nn nnn n zx n nn zxz n nn zxyzz nn zxyzz n yzzxf 12 1 1 21 2 1 1 1 2321 若 有 yz 1 1 ynxyxxf n n 若 有 yz yz zxyyxz xf nn n 4 4总结总结 本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用 使我们对泰勒公式有了更深一 层的理解 怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识 只要在解题训练中注意 分析 研究题设条件及其形式特点 并把握上述处理规则 就能比较好地掌握利用 泰勒公式解题的技巧 无穷小无穷小 极限的简单计算极限的简单计算 教学目的教学目的 1 1 理解无穷小与无穷大的概念 2 2 掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限 3 3 不同类型的未定式的不同解法 教学内容教学内容 1 1 无穷小与无穷大 泰勒公式及无穷小变换的应用 12 2 2 无穷小的比较 3 3 几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换 4 4 求极限的方法 重点难点重点难点 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限 难点是未定式的极限的求法 教学设计教学设计 首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质 30 分钟 在理解无穷 小与无穷大的概念和性质的基础上 让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法 20 分钟 最后归纳总结求极限的常用方法和技巧 25 分钟 课堂练习 15 分钟 授课内容授课内容 一 无穷小与无穷大一 无穷小与无穷大 1 1 定义定义 前面我们研究了数列的极限 函数 n n x x x x 的极限 函数的极限这七种趋近方式 xf 0 xx 0 xx 0 xx f x 下面我们用 表示上述七种的某一种趋近方式 即 x 000 xxxxxxxxxn 定义 定义 当在给定的 下 以零为极限 则称是 下的 x f x f x x 无穷小无穷小 即 0lim xf x 例如 0sinlim 0 x x 0sin三三三三三三三三三 xx 0 1 lim x x 1 三三三三三三三三三 x x 0 1 lim n n n 1 三三三三三三三三三 n n n 注意注意 不能把无穷小与很小的数混淆 零是可以作为无穷小的唯一的数 任 何非零常量都不是无穷小 定义 定义 当在给定的 下 无限增大 则称是 下的无无 x xf xf x 穷大穷大 即 显然 时 都是无穷大量 xf x lim n 32 nnn 注意注意 不能把无穷大与很大的数混淆 无穷大是极限不存在的情形之一 无 穷小与无穷大是相对的 在不同的极限形式下 同一个函数可能是无穷小也可 能是无穷大 如 0lim x x e x x elim 所以当时为无穷小 当 时为无穷大 x e x x 2 2 无穷小与无穷大的关系 无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化过程中 如果为无 xf 穷大 则为无穷小 反之 如果为无穷小 且 则为无穷大 xf 1 xf 0 xf xf 1 小结 小结 无穷大量 无穷小量的概念是反映变量的变化趋势 因此任何常量都不 是无穷大量 任何非零常量都不是无穷小 谈及无穷大量 无穷小量之时 首 泰勒公式及无穷小变换的应用 13 先应给出自变量的变化趋势 3 3 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 定理定理 1 1 其中其中是是自变量在同一变化过 0 lim xx x f xAf xAx x 程 或 中的无穷小的无穷小 0 xx x 证 必要性 证 必要性 设令则有 0 lim xx f xA xf xA 0 lim 0 xx x xAxf 充分性 充分性 设其中是当时的无穷小 则 f xAx x 0 xx 00 lim lim xxxx f xAx lim 0 xA xx A 意义意义 1 将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷小 2 0 f xxf xAx 给出了函数在附近的近似表达式误差为 3 3 无穷小的运算性质无穷小的运算性质 定理定理 2 2 在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 注意注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 三三三三三三三三 n n 1 1 1 三三三三三三三三三三 n n 定理定理 3 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 如 0 1 1 lim n n n 0 1 sinlim 0 x x x 0sin 1 lim x x x 推论推论 1 1 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论推论 2 2 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论推论 3 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 二 无穷小的比较二 无穷小的比较 例如 观察各极限 22 1 0 sin sinxx xx x x 当时都是无穷小 x x x 3 lim 2 0 0 3 2 三三三三三xx x x x sin lim 0 1 sin三三三三三 xx 不可比 2 2 0 1 sin lim x x x x x x 1 sinlim 0 三三三 极限不同 反映了趋向于零的 快慢 程度不同 1 1 定义 定义 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小 且 0 1 lim0 o 如果就说是比高阶的无穷小记作 0 lim 2 三三三三三三三三三三三三 CC lim1 特殊地如果则称与是等价的无穷小 记作 泰勒公式及无穷小变换的应用 14 3 lim 0 0 k C Ckk 如果就说是的阶的无穷小 例例 1 1 tan4 0 3 三三三三三三三三三三三xxxx 证 证 4 3 0 tan4 lim x xx x 3 0 tan lim4 x x x 4 tan4 0 3 三三三三三三三三三三xxxx 例例 2 2 sintan 0三三三三三三三三xxxx 解解 3 0 sintan lim x xx x cos1tan lim 2 0 x x x x x 2 1 sintan三三三三三三三 xxx 2 2 常用等价无穷小 常用等价无穷小 0三三 x 1 2 3 xsinxxarcsinxxtanx 4 5 6 xarctanx 1ln x x1 x ex 7 8 9 xcos1 2 2 x 1 1 xx 1 x a lnax 用等价无穷小可给出函数的近似表达式 1lim 0lim o 三 o 三三三 例如 sinxoxx 2 1 1cos 22 xoxx 3 3 等价无穷小替换 等价无穷小替换 定理 定理 limlim lim 三三三三三 证 证 lim lim limlimlim lim 例例 3 3 1 2 cos1 2tan lim 2 0 x x x 三 1cos 1 lim 2 0 x ex x 解解 1 故原极限 2 2tan 2 1 cos1 0 2 xxxxx 三三 2 0 2 2 lim 1 2 x x x 8 2 原极限 2 lim 2 2 0 x x x 2 1 例例 4 4 2sin sintan lim 3 0 x xx x 三 错解错解 0 sin tan 0 xxxxx三三 3 0 2 lim x xx x 三三 正解正解 0三三 x 2 2sinxx cos1 tansintanxxxx 2 1 3 x 故原极限 3 3 0 1 2 lim 2 x x x 16 1 注意注意 和 差形式一般不能进行等价无穷小替换 只有因子乘积形式才可以 泰勒公式及无穷小变换的应用 15 进行等价无穷小替换 例例 5 5 3sin 1cos5tan lim 0 x xx x 三 解解 5tanxoxx 33sinxoxx 2 1 cos1 22 xoxx 原式 22 0 1 5 2 lim 3 x xo xxo x xo x x xo x xo x x xo x 3 2 1 5 lim 2 0 3 5 三 极限的简单计算三 极限的简单计算 1 1 代入法 代入法 直接将的代入所求极限的函数中去 若存在 0 xx 0 x 0 xf 即为其极限 例如 若不存在 我们也能知道属 9 2 423 1232 lim 3 45 1 xx xxx x 0 xf 于哪种未定式 便于我们选择不同的方法 例如 就代不进去了 但 3 9 lim 2 3 x x x 我们看出了这是一个型未定式 我们可以用以下的方法来求解 0 0 2 2 分解因式 消去零因子法分解因式 消去零因子法 例如 63lim 3 9 lim 3 2 3 x x x xx 3 3 分子 分母 有理化法分子 分母 有理化法 例如 35512512 5123535 lim 512 35 lim 2 22 2 2 2 xxx xxx x x xx 42 4 lim 2 2 x x x 22 22 lim 2 x xx x 2 又如 0 1 1 lim1lim 2 2 xx xx xx 4 4 化无穷大为无穷小法化无穷大为无穷小法 例如 实际上就是分子分母同时除以 2 2 2 2 17 3 373 limlim 14 242 2 xx xx xx xx xx 这个无穷大量 由此不难得出 2 x mn mn mn b a bxbxb axaxa n nn m mm x 0lim 0 0 1 10 1 10 泰勒公式及无穷小变换的应用 16 又如 分子分母同除 1 2 1 1 1 lim 2 1 lim x x x x xx x 再如 分子分母同除 1 1 5 3 1 5 2 lim 53 52 lim n n n nn nn n n 5 5 5 利用无穷小量性质 等价无穷小量替换求极限利用无穷小量性质 等价无穷小量替换求极限 例如 无穷小量乘以有界量 0 13 1arctan lim 2 xx xx x 又如 32 14 lim 2 1 xx x x 三 解 商的法则不能用 32 lim 2 1 xx x 0 14 lim 1 x x 三 03 14 32 lim 2 1 x xx x 0 3 0 由无穷小与无穷大的关系 得 32 14 lim 2 1 xx x x 再如 等价无穷小量替换求极限的例子见本节例 3 例 5 6 6 利用两个重要极限求极限利用两个重要极限求极限 例题参见 1 4 例 3 例 5 7 7 分段函数 复合函数求极限分段函数 复合函数求极限 例如 lim 0 1 0 1 0 2 xf xx xx xf x 三三 解解 三三三三三三三三三三三三三三 0 x 1 lim lim 00 xxf xx 1 1 lim lim 2 00 xxf xx 1 左右极限存在且相等 1 lim 0 xf x 三 启发与讨论启发与讨论 思考题思考题 1 1 11 0 sinxy xx 当时是无界变量吗 是无穷大吗 泰勒公式及无穷小变换的应用 17 解 解 3 2 1 0 2 2 1 1 0 k k x 三 无界 无界 2 2 0 kxy 0 Mxyk 三三三三三 3 2 1 0 2 1 2 0 k k x 三 不是无穷大 不是无穷大 k xk三三三三三 kkxy k 2sin2 三 0M 结论结论 无穷大是一种特殊的无界变量 但是无界变量未必是无穷大 思考题思考题 2 2 若 且 问 能否保证有的结论 试举0 xfAxf x lim0 A 例说明 解 解 不能保证 例 x xf 1 0 x0 1 x xf limxf x 0 1 lim A x x 思考题思考题 3 3 任何两个无穷小量都可以比较吗 解 解 不能 例如当时都是无穷小量 x 1 x xf x x xg sin 但不存在且不为无穷大 故当时和不能 lim xf xg x x x sinlim x xf xg 比较 课堂练习课堂练习 求下列函数的极限 1 x xe x x cos lim 0 解 解 原极限 1 cos1 lim 1 lim cos lim 000 x x x e x xe x x x x x 2 求 1ln cos1 1 cossin3 lim 2 0 xx x xx x 分析分析 型 拆项 0 0 解 解 原极限 x x xx x 2 1 cossin3 lim 2 0 x x x x x x 2 1 cos 2 sin3 lim 2 0 2 3 3 142 345 lim 5 245 xx xxx x 分析分析 抓大头法 用于型 解 解 原极限 或原极限 54 3 14 2 34 5 lim xx x x x 2 5 5 5 55 22 lim x x x 泰勒公式及无穷小变换的应用 18 4 lim 2 xxx x 分析分析 分子有理化 解 解 原极限 xxx x x 2 lim 111 1 lim x x 2 1 5 2 1 4 lim 2 2 2 xx x x 分析分析 型 是不定型 四则运算法则无法应用 需先通分 后计算 解解 2 1 4 lim 2 2 2 xx x x 4 2 lim 2 2 2 x xx x 2 1 lim 2 x x x 4 3 6 39 lim 2 2 0 x x x 分析分析 型 是不定型 四则运算法则失效 使用分母有理化消零因 0 0 子 解解 原极限 6 2 22 0 39 lim x xx x 7 21 lim 222 n n nn n 三 解解 先变形再求极限 三三三三三三三三 n 2222 21 lim 21 lim n n n n nn nn 2 1 2 1 lim n nn n 1 1 2 1 lim n n 2 1 内容小结内容小结 一 无穷小 大 的概念 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1 主要内容 两个定义 四个定理 三个推论 2 几点注意 1 无穷小 大 是变量 不能与很小 大 的数混淆 零是唯一的无穷 小的数 2 无穷多个无穷小的代数和 乘积 未必是无穷小 3 无界变量未必是无穷大 二 无穷小的比较 1 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度快慢 但并不是所有的无 穷小都可进行比较 高 低 阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 2 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法 注意适用条件 三 极限求法 不同类型的未定式的不同解法 a 多项式与分式函数代入法求极限 b 消去零因子法求极限 c 无穷小因子分出法求极限 d 利用无穷小运算性质求极限 泰勒公式及无穷小变换的应用 19 e 利用左右极限求分段函数极限 等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 前言前言 设 f 在某内有定义 若 0 x 则称 f 为当时的无穷小量无穷小量 0 lim 0 xx f x 0 xx 设当时 f 于 g 均为无穷小量 0 xx 若 则称 f 于 g 是当时的等价无穷小量等价无穷小量 记作 0 lim1 xx f x g x 0 xx 0 f xg x xx 一一 等价无穷小在求函数极限中的应用 等价无穷小在求函数极限中的应用 1 1 求函数的极限技巧很强 可利用无穷小等价的关系 简化了求某些求函数的极限技巧很强 可利用无穷小等价的关系 简化了求某些 型型0 1 的极限的计算的极限的计算 引理引理 设函数 x x 满足下列条件 f f 在 a 的某个去心邻域内均有非零导数 1 Limf x 0 lim 0 xa f x 2 则 lim1 xa fx fx lim1 xa f x f x ln 1 lim1 ln 1 xa f x f x 3 当 f x 0 时 1 f x ln lim ln xa f x f x 证明 由洛比塔法则 lim xa f x f x lim1 xa fx fx ln 1 lim ln 1 xa f x f x 1 lim 1 1 xa f xfx f xfx 证毕 ln lim ln xa f x f x lim 1 xa f xfx f xfx 定理定理 1 1 设函数 f x g x 及 满足下列条件 f x g x 1 在 a 的某去心邻域内均有导数 2 在 xa 时 均为无穷小量 于是 lim1 xa fx fx lim1 xa g x g x 泰勒公式及无穷小变换的应用 20 1 若 1 lim 1 f x xa g xl 1 lim 1 f x xa g xl 2 若 f x 0 且 则 f x lim g x xa f xt lim g x xa f xt 证明 由引理 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 limlim lim ln 1 xaxaxa g xg x g xg xf x f xf xf xf x g x 故 1 1 lim 1 lim 1 f x f x xaxa g xg xl 2 ln lim ln lim ln lim ln ln xaxaxa g xf x g xf xg xf xg xf x g xf x 故 lim lim g x g x xaxa f xf xt 如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量 则在求某些 型的极限时将很方便 如时 等 0 1 0 x sin tan 1 ln 1 x xxx ex 均为无穷小量 且 00 2 00 sin limlimcos1 tan1 limlim1 cos xx xx x x x x xx 00 00 1 limlim1 ln 1 1 limlim1 1 x x xx xx e e x x xx 例例 1 1 求下列函数的极限 1 32 cot 000 lim 1 2 lim 1tan 3 lim 1 sin x xx xxx xxx 4 1 sin 00 4 lim 5 lim 1ln 1 x x x xx xex 解解 1 原式 11 tan 00 lim 1lim 1 xx xx xxe 2 原式 3 3 0 lim 1 x x xe 3 原式 2 21 2 00 lim 1lim1 xx xx xxe 4 原式 4 1 00 lim11lim 21 xx x x xx xexe 泰勒公式及无穷小变换的应用 21 5 原式 1 0 lim 1 x x xe 例例 2 2 求下列函数的极限 sin sin 2 00 2 tan 1 2 tan 00 2 1 lim cos 2 lim 3 lim tan 1 4 lim cot 5 lim 6 lim tan xx x xx x x x x xx x xxx xx x 解解 1 原式 其中 2 0 2 lim sinlim sinlim1 2 x y y yoy x xyy 2 yx 2 原式 sin 00 limlim1 xx xx xx 3 原式 0 lim1 x x x 4 原式 11 1 ln1 lnln ln 000 lim tanlimlim x xx x xxx xxee 5 原式 tan 00 limlim1 xx xx xx 6 原式 22 2 000 lim cotlim tanlim1 yy y xxx yyy 其中 2 yx 所谓等价无穷小 是指在同种变化趋势下 和 都是无穷小 且0 如果 那么和是等价无穷小 记 这意味着在这一极限过lim1 程中 和趋近于零的速度基本相同 例如因为 0 sin lim1 x x x 0 tan lim1 x x x 所以当时 都是等价无穷小 即 0 x sin tanxxxsin tan xxxx 常见的等价形式有 时 0 x 2 2 sin tan arcsin arccos ln 1 1 1 1 1 cos 2 xa x xxx xxx xx xexaxx 1 1 1 1 n x xn 1 11 2 xx 2 2 对不定式极限对不定式极限型的计算型的计算 0 0 定理定理 2 2 若在同一极限过程中 a b 是无穷小且 则 aa bb limlim aa bb 该定理表明 对 型未定式可以施行等价无穷小替换来计算极限 但是这种替 0 0 泰勒公式及无穷小变换的应用 22 换只限于整个分子 分母 及其乘积因子 当分子或分母为代数和时 对其中 的项却不能随意作等价无穷小替换 例如 求极限时 sinx x tanx x 对原式作无穷小替换将导致错误的 3 0 tansin lim sin x xx x 结果 原式 正确结果为 3 0 lim0 x xx x 1 2 例例 3 3 因为当 时0 x sin tanxxx 0 lntan7 lim lntan2 x x x 解解 原式 0 tan7 lnln7 7 lim tan2 lnln2 2 x x x x x x x 00 7 0ln7 7 limlim1 2 0ln2 2 xx x x x x 例例 4 4 1 lntan2 0 limsin x x x 解解 0 0 sin lnln lim 1lnsintan2 limlnln2 lntan2lntan22 0 limsin x x x x x xx x xxx x xee 使用等价无穷小 当 时0 x sin tan xxxx 上式 0 ln lim 1 ln2x x x eee 例例 5 5 求 6 3 0 ln tan 12 lim lnsin 1 cos x x x 解解 它是型 按以前的求极限方法 它是不能用等价无穷小来代替 用洛必 达法则计算 原式 61265 3132 0 1 tan 121 sec 121 6 121 12 lim 1 sin 1 cos cos 1 cos 3 1 cos sin x xxx x xxxx 很显然 这个题目直接用洛比达法则求解太繁 我们考虑函数中使用等价无穷 小进行化简 注意到 当时 有0 x 6666 2 3336 1 tan 121 121 2 2 1 sin 1 cos 1 cos 28 xxxx x xxx 原极限 6 6 6 6 36 00 6 6 tan 121 lnln ln limlim1 in 1 cos 1lnln8 lnln 1 8 8 xx x x x x sxx x x 可见 对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则 会造成 泰勒公式及无穷小变换的应用 23 计算量大而且通过对函数式的构造变换 再使用等价无穷小 就很容易求得答 案了 3 3 数列极限的若干计算法数列极限的若干计算法 1 1 极限的四则运算法则 极限的四则运算法则 若 与 为收敛数列 则 也都是收敛数列 n a n b nn ab nn ab nn ab 其有 lim lim lim limlim nnnn nn nnnn nnn abab abab 例例 6 6 求lim 1 n nnn 解解 1 1 11 11 n nnn nn n 由 1 11 n n 得 11 lim 1 lim 21 11 nn nnn n 2 2 利用重要极限求数列的极限利用重要极限求数列的极限 两个重极限分别为 n 0 sinx1 1 lim1 2 lim 1 e n xn x 例例 7 7 求 n 2 lim 1 n n 解解 2 2 2 n 22 lim 1 lim1 n n n e nn 3 3 单调有界数列法 单调有界数列法 这一方法是利用极限理论基本定理 单调有界数列必有极限 其方法为 1 判定数列是单调有界的 从而可设其极限为 A 2 建立数列相邻两项之间的 关系式 3 在关系式两端取极限 得以关于 A 的方程 若能解出 A 问题得 解 例例 8 8 求数列 aaaaaaaaa 其中 a 0 极限 解解 设 0 xa 10 xaaax 1 1 1 2 nn xaxn 则 是单调有界数列 它必有极限 设其极限为 A 在 n x 两边取极限得即 1nn xax AaA 2 0AAa 所以 因为 A 0 所以 114 2 a A 114 2 a A 泰勒公式及无穷小变换的应用 24 即 114 lim 2 n n a x 4 4 利用定积分计算 利用定积分计算 计算项数无限增多的无穷小量之和 有时可设法把问题化为某一函数在某一区 间上的积分和的极限问题 从而利用定积分求解 有时问题呈现乘积的形式 也可试用本方法 只式要先取对数将问题转化为和的形式 例例 9 9 计算 1 lim n n nn 2n 解解 1 2 2 12 1 1 nnn n n nnn a nnn nnnn 1 先考虑 从而有 11 11 lnln 1 ln 1 nn n ii ii a nnn n 1 1 0 0 limlnln 1 1 ln 1 12ln2 1 n n ax dxxx 因此 2ln2 1 4 lim n n ae e 5 5 变上限积分的极限 变上限积分的极限 常用的变上限积分的等价无穷小有 2 000000 tan arcsin arctan ln 1 1 2 xxxxxx t x tdttdttdttdtt dtedt 其中 3 0 2 0 2 0 1 cos 6 11 2 1 1 ln 2 x x x t x t dt xdtx adtxa 0 1aa 上述等式可以用洛比塔法则直接证明 证明中我们可以看到被积函数之间是 等价无穷小 由此可得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价 无穷小 即是 定理定理 3 3 若当存在 则0 0 xf xfx 0 0 F xG xF xG x 00 f xf x F t dtG x dt 证明 00 0 0 0 00 limlimlimlim1 f xf x f xf x xf xof xf x F x dtF x dt F f xfxF f x G f xfxG f x G t dtG x dt 由此定理还可以得出如下结论 例如 tantan 223 00 2 00 1 sin tan 0 3 11 0 0 2 xx f xf x t dtt dtx x tdttdtf txf x 泰勒公式及无穷小变换的应用 25 例例 1010 求 2 2 0 sin 03 1 lim x t x x o edt t dt 解解 原式 2 6 2 6 0 sin4 0003 4 0 1 4 3 limlimlim0 1 3 sin 4 x x xxx x t dt x x t dt x 例例 1111 求 6 0 1 cos 02 0 arctan 1 lim 11 x x x t dt tt tdt 解解 原式 6 66 0 2 0001 cos 36 0 1 ln 1 1 limlimlim48 1111