极限与连续部分基本概念

极限与连续 包含第三章集合极限与连续 包含第三章集合 映射和函数 映射和函数 1 函数及其特性函数及其特性 基本概念基本概念 1 集合集合 集合的表示方法集合的表示方法 集合的关系及运算集合的关系及运算 见书中概念 见书中概念 2 映射映射 3 函数函数 定义域定义域 值域值域 函数的两要素 定义域函数的两要素 定义域 对应法则对应法则 4 反函数反函数 xfy 1 xfy 注意 注意 1 不是任一函数都存在反函数 反函数存在的条件 不是任一函数都存在反函数 反函数存在的条件 2 一个函数 一个函数与它的反函数与它的反函数互为反函数 互为反函数 xfy 1 xfy 3 与与图像关于直线图像关于直线 y x 对称 对称 xfy 1 xfy 4 的定义域即为的定义域即为值域 而值域 而的值域即为的值域即为 xfy 1 xfy xfy 的定义域 的定义域 1 xfy 5 函数的基本性质 函数的基本性质 1 有界性 有界性 界是不唯一的 函数的有界性与区间有关 如函数界是不唯一的 函数的有界性与区间有关 如函数在区间在区间 x y 1 1 2 有界 但在 有界 但在 0 1 无界 无界 2 单调性 单调性 函数的单调性在后面的导数应用中还会用到函数的单调性在后面的导数应用中还会用到 函数的单调性也与区间有关 如函数函数的单调性也与区间有关 如函数在在上是减函数 上是减函数 2 xy 0 上是增函数 上是增函数 如一函数在某区间是严格增函数 或减函数 如一函数在某区间是严格增函数 或减函数 0 则其必有反函数 则其必有反函数 3 奇偶性 函数要定义在一对称区间上 奇偶性 函数要定义在一对称区间上 偶函数的图像关于偶函数的图像关于 y 轴对称 奇函数的图像关于坐标原点对称且轴对称 奇函数的图像关于坐标原点对称且 f 0 0 判断一函数的奇偶性只需验证判断一函数的奇偶性只需验证 f x 与与 f x 关系关系 4 周期性 周期性 f x f x T f x kT k 为整数为整数 三角函数的周期性 三角函数的周期性 6 幂函数 指数函数 对数函数幂函数 指数函数 对数函数 常用的指数函数 常用的指数函数 常用的对数函数 常用的对数函数 指数函数与对数函 指数函数与对数函 x ey xyln 数互为反函数 数互为反函数 7 基本初等函数基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数统称为基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数统称为基本初等函数 对于基本初等函数的图形及其基本特性必须熟练掌握 对于基本初等函数的图形及其基本特性必须熟练掌握 8 复合函数复合函数 掌握两个 或多个函数 是如何复合构成新函数的 即复合函数是如何复合掌握两个 或多个函数 是如何复合构成新函数的 即复合函数是如何复合 而成的 而成的 9 初等函数初等函数 10 分段函数分段函数 分段函数不是两个或多个函数 它是一个函数 只是自变量在不同的取值范分段函数不是两个或多个函数 它是一个函数 只是自变量在不同的取值范 围其函数表达式不同 围其函数表达式不同 分段函数在分段点处极限的存在性 连续性 可导性等都是难点 分段函数在分段点处极限的存在性 连续性 可导性等都是难点 2 数列极限数列极限 基本概念基本概念 1 数列极限数列极限 数列极限是一常数 是随着数列项数的增加通项的一种变化趋势 数列极限是一常数 是随着数列项数的增加通项的一种变化趋势 2 数列极限的四则运算数列极限的四则运算 数列极限的四则运算的前提两个数列极限都存在 数列极限的四则运算的前提两个数列极限都存在 3 函数极限函数极限 一 基本概念一 基本概念 1 函数极限函数极限 自变量的变化趋势共有自变量的变化趋势共有 6 种情形 种情形 1 f x 在在上有定义 上有定义 Axf x lim a 2 f x 在在上有定义 上有定义 Axf x lim a 3 f x 在在上有定义 上有定义 Axf x lim aa 结论 结论 Axf x lim Axfxf xx lim lim 典型 典型 a 2 arctanlim x x2 arctanlim x x 不存在 不存在 x x arctanlim b x x elim0lim x x e 不存在不存在 x x e lim 4 f x 在在邻域内有定义 邻域内有定义 除外 除外 Axf xx lim 0 0 x 0 x 5 左极限 左极限 0 lim 0 0 xfAxf xx 6 右极限 右极限 0 lim 0 0 xfAxf xx 左右极限主要用于求分段函数在分段点处的极限 左右极限主要用于求分段函数在分段点处的极限 结论 结论 Axf xx lim 0 Axfxf xxxx lim lim 00 注 函数在某点注 函数在某点处的极限与函数在该点处的极限与函数在该点处是否有定义无关 与函数在此处是否有定义无关 与函数在此 0 x 0 x 点点取何值也无关 函数在某点取何值也无关 函数在某点的极限与此点无关 而与的极限与此点无关 而与周围点有关 周围点有关 0 x 0 x 0 x 2 函数极限的性质函数极限的性质 1 极限是唯一 极限是唯一 2 若若 则 则 f x 在在邻域内有界 邻域内有界 若若 则 则Axf xx lim 0 0 xAxf x lim f x 在在 x 充分大时是有界的 充分大时是有界的 3 若若 或 或0 或 或 0 0 lim 0 Axf xx 0 x 3 函数极限的运算法则函数极限的运算法则 1 四则运算法则 四则运算法则 其他同数列极限 其他同数列极限 CC xx 0 lim 2 复合函数的极限法则 复合函数的极限法则 4 两个重要极限 两个重要极限 1 e x x x 1 1 limex x x 1 0 1 lime n n n 1 1 lim 变形 变形 ex x x 1 0 1 lim 2 1 sin lim 0 x x x 变形 变形 1 sin lim 0 x x x 5 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量 注 注 1 无穷小量是 无穷小量是 f x 有极限的特殊情形 有极限的特殊情形 2 无穷大量是 无穷大量是 f x 没有极限的特殊情形 没有极限的特殊情形 3 无穷小量和无穷大量之间的关系 无穷小量和无穷大量之间的关系 6 无穷小量的性质无穷小量的性质 注意无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量的应用 如注意无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量的应用 如 0 sin lim x x x 7 无穷小量的比较无穷小量的比较 高阶无穷小量 同阶无穷小量 等价无穷小量高阶无穷小量 同阶无穷小量 等价无穷小量 在应用这些概念时注意前提必须是无穷小量才能比较 否则没有任何意义 在应用这些概念时注意前提必须是无穷小量才能比较 否则没有任何意义 8 无穷小量的替换 代换 无穷小量的替换 代换 在进行无穷小量替换时只有在乘除时能替换 在加减时是不能替换的 在进行无穷小量替换时只有在乘除时能替换 在加减时是不能替换的 二 难点二 难点 1 分段函数在分段点处的极限 如何思考 分段函数在分段点处的极限 如何思考 2 等价无穷小代换在求极限过程中的灵活应用 等价无穷小代换在求极限过程中的灵活应用 3 重要极限的准确运用 重要极限的准确运用 4 一些常用结论一些常用结论 1 0 1 lim xx xx 1 lim 0 2 x x elim0lim x x e 3 1 tan lim 0 x x x 1 arcsin lim 0 x x x 1 arctan lim 0 x x x 4 5 1 1ln lim 0 x x x 1 1 lim 0 x e x x 6 特殊地特殊地 1 11 lim 0 n x x n x 1 2 11 lim 0 x x x 7 1 2 1 cos1 lim 2 0 x x x 8 若 若时 时 则 则 0 xx 0 axfbx bx xx axf lim 0 常用的等价无穷小常用的等价无穷小 必须熟记必须熟记 若若时 时 0 xxxsinxtanxarcsinxarctan 1ln x 1 x e 11 2 xxcos1 2 2 1 x 4 函数的连续性函数的连续性 基本概念基本概念 1 函数函数 f x 在某点在某点连续连续 或或 它包含三个 它包含三个 0 x lim 0 0 xfxf xx 0lim 0 y x 方面 方面 1 函数在此点有定义 函数在此点有定义 2 函数在此点的极限存在 函数在此点的极限存在 3 极限值等 极限值等 于这点的函数值 三个条件缺一不可 于这点的函数值 三个条件缺一不可 函数在某点右连续 在某点左连续 函数在某点右连续 在某点左连续 f x 在某点在某点连续连续 0 x 0 0 000 xfxfxf 2 函数函数 f x 在开区间在开区间连续 在闭区间连续 在闭区间连续 连续 ba ba 3 间断点 不连续点 三个条件不能都满足 间断点 不连续点 三个条件不能都满足 间断点分类 间断点分类 第一类间断点 左右极限第一类间断点 左右极限都存在 都存在 1 若相等但不等于此 若相等但不等于此 0 0 00 xfxf 点函数值 称为可去间断点 点函数值 称为可去间断点 2 左右极限不等 称为跳跃间断点 左右极限不等 称为跳跃间断点 第二类间断点 非第一类间断点 或左右极限第二类间断点 非第一类间断点 或左右极限至少有一个至少有一个 0 0 00 xfxf 不存在 不存在 4 连续函数的运算性质