数学辅助线做法

1 D A BC E F M N 初中几何中常见辅助线的作法 在几何学习中 如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题 许多同学常因辅助线的 添加方法不当 造成解题困难 在老师的帮助下 我根据自己的学习经验把初中几何中常 见的辅助线作法编成了一些 顺口溜 歌诀 现将该歌诀写出来奉献给同学们 但愿能给 大家的学习 复习带来一些帮助 人人都说几何难 难就难在辅助线 辅助线 如何添 把握定理和概念 还要刻苦加钻研 找出规律凭经验 图中有角平分线 可向两边作垂线 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 平行四边形出现 对称中心等分点 梯形里面作高线 平移一腰试试看 平行移动对角线 补成三角形常见 证相似 比线段 添线平行成习惯 等积式子比例换 寻找线段很关键 直接证明有困难 等量代换少麻烦 斜边上面作高线 比例中项一大片 半径与弦长计算 弦心距来中间站 圆上若有一切线 切点圆心半径连 切线长度的计算 勾股定理最方便 要想证明是切线 半径垂线仔细辨 是直径 成半圆 想成直角径连弦 弧有中点圆心连 垂径定理要记全 圆周角边两条弦 直径和弦端点连 弦切角边切线弦 同弧对角等找完 如果遇到相交圆 不要忘作公共弦 内外相切的两圆 经过切点公切线 若是添上连心线 切点肯定在上面 辅助线 是虚线 画图注意勿改变 基本作图很关键 平时掌握要熟练 解题还要多心眼 经常总结方法显 切勿盲目乱添线 方法灵活应多变 分析综合方法选 困难再多也会减 虚心勤学加苦练 成绩上升成直线 正确熟练地掌握辅助线的作法和规律 也是迅速解题的关键 如何准确地 作出需要的辅助线 简单介绍几种方法 方法一 从已知出方法一 从已知出发发作出作出辅辅助助线线 例 1 已知 在 ABC 中 AD 是 BC 边的中线 E 是 AD 的中点 F 是 BE 延长线 与 AC 的交点 求证 AF FC 2 1 分析 题设中含有 D 是 BC 中点 E 是 AD 中点 由此可以联想到三角形中与边中点有密 切联系的中位线 所以 可有如下 2 种辅助线作法 1 过 D 点作 DN CA 交 BF 于 N 可得 N 为 BF 中点 由中位线定理得 DN 2 A B D C E A B C D E F M A B C D E O 再证 AEF DEN 则有 AF DN 进而有 AF FC 2 1 FC 2 1 2 过 D 点作 DM BF 交 AC 于 M 可得 FM CM FM AF 则有 AF FC 2 1 方法二 分析方法二 分析结论结论 作出 作出辅辅助助线线 例 2 如图 AD 是 ABC 的高 AE 是 ABC 的外接圆直径 求证 AB AC AE AD 分析 要证 AB AC AE AD 需证 AC AE AD AB 或 需证 ABE ADC 或 ABD AEC AC AD AE AB 这就需要连结 BE 或 CE 形成所需要的三角形 同时得 ABE ADC 900 或 ADB ACE 900 又 E C 或 B E 因而得证 方法三 方法三 两两头头凑凑 即同 即同时时分析已知和分析已知和结论结论 作出 作出辅辅助助线线 例 3 过 ABC 的顶点 C 任作一直线 与边 AB 及中线 AD 分别交于点 F 和 E 求证 AE ED 2AF FB 分析 已知 D 是 BC 中点 那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线 若要出现结论中的 AE ED 则应有一条与 EF 平行的直线 所 以 过 D 点作 DM EF 交 AB 于 M 可得 再证 FM AF FM AF ED AE 2 2 BF 2FM 即可 方法四 找出方法四 找出辅辅助助线线的一般的一般规规律 将律 将对证题时对证题时能准确地作出所需能准确地作出所需辅辅助助线线有很大帮有很大帮 助 助 例如 在 圆 部分就有许多规律性辅助线 1 有弦 作 垂直于弦的直径 例 4 已知 如图 在以 O 为圆心的两个同心圆中 大圆的弦 AB 交小圆于 C D 两点 求证 AC BD 分析 过 O 点作 OE AB 于 E 则 3 A B C D O 1 2 3 A B C O AB C D O E A B C D E 1 2 O AE BE CE DE 即可证得 AC BD 2 有直径 构成直径上的圆周角 直角 例 5 已知 如图 以 ABC 的 AC 边为直径 作 O 交 BC BA 于 D E 两点 且 DECD 求证 B C 分析 连结 AD 由于 AC 为直径 则有 AD BC 又 DECD 有 1 2 由内角和定理得 B C 3 见切线 连半径 证垂直 例 6 如图 AB 为 O 的直径 C 为 O 上一点 AD 和过 C 点的切线互相垂直 垂足为 D 求证 AC 平分 DAB 分析 连结 OC 由于 CD 为切线 可知 OC CD 易证 1 2 又因为 2 3 所以 1 3 则可得 AC 平分 DAB 4 证切线时 连半径 证垂直 或 作垂直 证半径 例 7 已知 直线 AB 经过 O 上的一点 并且 OA OB CA CB 求证 直线 AB 是 O 的切线 分析 连结 OC 要证 AB 是 O 的切线 需证 OC AB 由已知可证 OAC OBC 可得 OCA OCB 900 结论得证 例 8 已知 梯形 ABCD 中 AB CD A 900 BC 是 O 的直径 BC CD AB 求证 AD 是 O 的切线 分析 过 O 点作 OE AD 垂足为 E 要证 AD 是 O 的切线 只要证 OE 是 O 的半径即可 也就是说需要证 OE 由于 A 900 AB CD 可得 AB CD OE 再由平BC 2 1 行线等分线段定理得 DE EA 进而由梯形中位线定理得 OE 所以 E 点在 O 上 AD 是BCCDAB 2 1 2 1 O 的切线 二 二 练习练习 4 1 已知 如图 在 ABC中 AD DB AE EC 求证 DE BC DE BC 2 1 2 已知 如图 27 3 12 所示 在梯形ABCD中 AD BC AE BE DF CF 求证 EF BC EF AD BC 2 1 3 已知 如图 27 3 13 所示 在 ABC 中 AD DB BE EC AF FC 求证 AE DF 互相平分 4 如图 已知 AB 为 O 的直径 弦 CD AB M 为上一点 AM 的延长 AC 线交 DC 的延长线于 F 求证 AMD FMC 与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的辅助线常规作法解析 与圆有关与圆有关的几何问题 几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质 题型的复杂 程度可想而知 为此 常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形 从而方 便求解 为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法 现就圆中辅助线 的常规作法分类总结如下 供同学们学习时参考 一 圆中有弦 常作弦心距一 圆中有弦 常作弦心距 或者作垂直于弦的半径或直径 有时还要连结过弦端点 的半径 例例 1 1 如图 以 Rt ABC 的直角顶点 A 为圆心 直角边 AB 为半径的 A 分别交 BC AC 于点 D E 若 BD 10cm DC 6cm 求 A 的半径 解 解 过 A 作 AH BD 于 H 则 1 BHBD5cm 2 BA AC CAB AHB 90 又 ABH CBA ABH CBA ABCB BHAB 2 ABBC BH BDDC BH16 580cm rAB804 5cm E D A CB 5 例例 2 2 如图 AB 是 O 的直径 PO AB 交 O 于点 P 弦 PN 与 AB 相交于点 M 求证 2 PM PN2PO 证明 证明 过 O 作 OC NP 于点 C 则 1 PCPN 2 OC NP PO AB POM PCO 90 又 OPM CPO OPM CPO POPM PCPO 即 2 1 POPM PCPM PN 2 2 PM PN2PO 评析 评析 求解圆中与弦有关的问题 常需作弦心距 即垂直于弦的直径或半径 其目的 是构造以半径 弦心距 弦为边的直角三角形 并利用垂径定理来沟通弦 弧 弦心距之 间的联系 二 圆中有直径 常作直径所对的圆周角二 圆中有直径 常作直径所对的圆周角 在半圆中 同样可作直径所对的圆周角 例例 3 3 如图 AB 为半圆的直径 OH AC 于 H BH 与 OC 交于 E 若 BH 12 求 BE 的长 解 解 连结 BC AB 为直径 AC BC 又 OH AC AO BO OHBC OHE CBE HOE BCE OHE CBE 1 2 HEOH1 BEBC2 22 BEBH128 33 例例 4 4 如图 AB 是半圆的直径 C 为圆上的一点 CD AB 于 D 求证 2 CDAD BD 证明 证明 连结 AC BC AB 为直径 ACB 90 1 2 90 又 CD AB ADC CDB 90 1 3 90 3 2 BCD CAD 即 ADCD CDBD 2 CDAD BD 评析 评析 由于直径所对的圆周角为直角 所以在有关圆的证明或计算问题中 利用该性 质极易构造出直角三角形 从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决 三 圆中有切线 常作过切点的半径三 圆中有切线 常作过切点的半径 若无切点 则过圆心作切线的垂线 例例 5 5 如图 已知 MN 为 O 的直径 AP 是 O 的切线 P 为切点 点 A 在 MN 的延长线 上 若 PA PM 求 A 的度数 解 解 连结 OP 设 A 的度数为 x PA PM M A 同理可得 OPM M POA OPM M 2 M 2 A 2x 又 AP 切 O 于点 P AP OP A POA 90 即 x 2x 90 解之得 x 30 A 30 例例 6 6 如图 AB 为 O 的直径 C 为 O 上的一点 AD 和过 C 点的切线垂直 垂足为 D 求 证 1 2 证明 证明 连结 OC DC 切 O 于点 C OC DC 又 AD DC OC AD 1 3 OA OC 2 3 1 2 评析 评析 当欲求解的问题中含有圆的切线时 常常需要作出过切点的 半径 利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系 四 圆中有特殊角 常作直径构造直角三角形四 圆中有特殊角 常作直径构造直角三角形 若题中有三角函数但无直角三角形 6 则也需作直径构造直角三角形 例例 7 7 如图 点 A B C 在 O 上 AC 不过 O 点 若 ACB 60 AB 6 求 O 半径的 长 解 解 作直径 AD 连结 BD ACB 与 D 都是所对的圆周角 D ACB 60 又 AD A AB 是直径 ABD 90 AB6 AD4 3 sinDsin60 1 rAD2 3 2 例例 8 8 如图 在锐角 ABC 中 若 BC a CA b AB c ABC 的外接圆半径为 R 求证 abc 2R sinAsinBsinC 证明 证明 作直径 CD 连结 BD CD 为直径 CBD 90 又 A D BCa sinD DC2R 即 同理可得 a sinAsinD 2R a 2R sinA b 2R sinB c 2R sinC abc 2R sinAsinBsinC 评析 评析 当题设中未告诉有直角三角形但却含有 30 45 60 90 等特殊角或 某个角的三角函数值时 通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解 五 两圆相切 常作公切线五 两圆相切 常作公切线 或者作两圆的连心线 例例 9 9 如图 O1和 O2外切于点 A BC 是 O1和 O2外公切线 B C 为切点 求证 AB AC 证明 证明 过点 A 作 O1与 O2的公切线 AM 交 BC 于点 M MA 和 MB 分别切 O1于点 A B MA MB 同理可得 MA MC MA MB MC 即点 A B C 同在以 M 为圆心 BC 为直径的圆 周上 AB AC 例例 10 10 如图 A 和 B 外切于点 P CD 为 A B 的外公切线 C D 为切点 若 A 与 B 的半径分别为 r 和 3r 求 CD 的长 B 的度数 解 解 连结 AB 连结 AC BD 过点 A 作 AE BD 于 E CD 是 A 和 B 的外公切线 C D 为切点 AC CD BD CD 又 AE BD 四边形 ACDE 为矩形 CD AE DE AC r BE BD DE 3r r 2r AB r 3r 4r 22 CDAEABBE2 3r 在 Rt AEB 中 B 60 BE2r1 cosB AB4r2 评析 评析 在解决有关两圆相切的问题时 常常需作出两圆的公切线或连心线 利用公切 线垂直于经过切点的半径 切线长相等 连心线长等于两圆半径之和 或差 等性质来沟 通两圆间的联系 六 两圆相交 常作公共弦六 两圆相交 常作公共弦 或者作两圆的连心线 例例 11 11 如图 O1和 O2相交于 A B 两点 AD 是 O1的直径 且圆心 O1在 O2上 连结 DB 并延长交 O2于点 C 求证 CO1 AD 证明 证明 连结 AB 7 AD 为 O1的直径 ABD 90 D BAD 90 又 C 和 BAO1都是 O2 中所对的圆周角 C BAO1 即 C BAD D C 90 CO1 AD A 1 BO 例例 12 12 如图 O1和 O2相交于 A B 两点 两圆半径分别为和 公共弦 AB6 24 3 的长为 12 求 O1AO2的度数 解 解 连结 AB O1O2 使之交于 H 点 AB 为 O1与 O2的公共弦 连心线 O1O2垂直平分 AB 1 AHAB6 2 1 1 AH62 cosO AH AO2 6 2 2 2 AH63 cosO AH AO2 4 3 O1AH 45 O2AH 30 O1AO2 O1AH O2AH 75 评析 评析 在解决有关两圆相交的问题时 最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线 公 共弦可以联通两圆中的弦 角关系 而连心线则垂直平分公共弦 全等三角形作辅助线的常用方法全等三角形作辅助线的常用方法 一 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时 如直接证不出来 可连接两点或廷长 某边构成三角形 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中 再运用三角形三边 的不等关系证明 如 例 1 已知如图 1 1 D E 为 ABC 内两点 求证 AB AC BD DE CE 证明 法一 证明 法一 将 DE 两边延长分别交 AB AC 于 M N 法二 图 法二 图 1 21 2 延长 BD 交 AC 于 F 廷长 CE 交 BF 于G 二 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时 可连接两点 或延长某边 构造三角形 使求证的大角在某个三角形的外角的位置上 小角处于 这个三角形的内角位置上 再利用外角定理 例如 如图 2 1 已知 D 为 ABC 内的任一点 求证 BDC BAC 分析分析 因为 BDC 与 BAC 不在同个三角形中 没有直接的联系 可适当添加辅助线构造新的三角形 使 BDC 处于在外角的位置 BAC 处于 在内角的位置 证法一证法一 延长 BD 交 AC 于点 E 证法二证法二 连接 AD 并廷长交 BC 于 F 注意 利用三角形外角定理证明不等关系时 通常将大角 放在某三角形的外角位置上 小角放在这个三 角 形的内 A BC DE NM 11 图 A B C DE F G 21 图 A BC D E F G 12 图 A B C D EF N 13 图 1 23 4 8 角位置上 再利用不等式性质证明 三 三 有角平分线时 通常在角的两边截取相等的线段 构造全等三角形 如 例如 如图 3 1 已知 AD 为 ABC 的中线 且 1 2 3 4 求证 BE CF EF 分析 要证 BE CF EF 可利用三角形三边关系定理证明 须把 BE CF EF 移到同一 个三角形中 而由已知 1 2 3 4 可在角的两边截取相等的线段 利用三角形全等对应边相等 把 EN FN EF 移到同个三角形中 证明 证明 在 DN 上截取 DN DB 连接 NE NF 则 DN DC 注意 当证题有角平分线时 常可考虑在角的两边截取相等 的线段 构造全等三角形 然后用全等三角形的对应性质得 到相等元素 四 有以线段中点为端点的线段时 常延长加倍此线段 构 造全等三角形 例如 如图 4 1 AD 为 ABC 的中线 且 1 2 3 4 求证 BE CF EF 证明证明 廷长 ED 至 M 使 DM DE 连接 CM MF 注意 当涉及到有以线段中点为端点的线段时 可通过延长加倍此线段 构造全等三角 形 使题中分散的条件集中 五 在三角形中线时 常廷长加倍中线 构造全等三角形 例如 如图 5 1 AD 为 ABC 的中线 求证 AB AC 2AD 分析 要证 AB AC 2AD 由图想到 AB BD AD AC CD AD 所以有 AB AC BD CD AD AD 2AD 左边比要证结论多 BD CD 故不能直接证出此题 而由 2AD 想到要构造 2AD 即 加倍中线 把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明 延长延长 AD 至 E 使 DE AD 连接 BE CE 常延长中线加倍 构造全等三角形 练习 已知 ABC AD 是 BC 边上的中线 分别以 AB 边 AC 边为直 角边各向外作等腰直角三角形 如图 5 2 求证 EF 2AD 六 截长补短法作辅助线 例如 已知如图 6 1 在 ABC 中 AB AC 1 2 P 为 AD 上任一点 求证 AB AC PB PC 分析 要证 AB AC PB PC 想到利用三角形三边关系 定理证之 因为欲证的线段之 A BC D E 15 图 14 图 A B C D EF M 1 23 4 A BC D E F 25 图 9 差 故用两边之差小于第三边 从而想到构造第三边 AB AC 故可在 AB 上截取 AN 等于 AC 得 AB AC BN 再连接 PN 则 PC PN 又在 PNB 中 PB PNPB PC 证明 截长法 在 AB 上截取 AN AC 连接 PN 证明 补短法 延长 AC 至 M 使 AM AB 连接 PM 七 七 延长已知边构造三角形 延长已知边构造三角形 例如 如图 7 1 已知 AC BD AD AC 于 A BC BD 于 B 求证 AD BC 分析 欲证 AD BC 先证分别含有 AD BC 的三角形全等 有几种方案 ADC 与 BCD AOD 与 BOC ABD 与 BAC 但根据现有条件 均无法证全等 差角的相等 因此可设法作出新的角 且让此角作为 两个三角形的公共角 证明证明 分别延长 DA CB 它们的延长交于 E 点 当条件不足时 可通过添加辅助线得出新的条件 为证题创造条件 八 连接四边形的对角线 把四边形的问题转化成为三角形来解决 例如 如图 8 1 AB CD AD BC 求证 AB CD 分析 图为四边形 我们只学了三角形的有关知识 必 须把它转化为三角形来解决 证明证明 连接 AC 或 BD 九 九 有和角平分线垂直的线段时 通常把这条线段 延长 例如 如图 9 1 在 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 1 2 CE BD 的延长于延长于 E E 求证 求证 BD 2CE 分析分析 要证 BD 2CE 想到要构造线段 2CE 同时 CE 与 ABC 的平分线垂直 想到 要将 其延长 证明 分别延长 BA CE 交于 F 十 十 连接已知点 构造全等三角形 例如 已知 如图 10 1 AC BD 相交于 O 点 且 AB DC AC BD 求证 A D 分析 要证 A D 可证它们所在的三角形 ABD 和 DCO 全等 而只有 AB DC 和 对顶角 A B C D N M P 16 图 12 A BC D 18 图 19 图 D CB AE F 1 2 10 两个条件 差一个条件 难以证其全等 只有另寻其它的三角形全等 由 AB DC AC BD 如连接 BC 则 ABD 和 DCO 全等 所以 证得 A D 证明 连接 BC 在 ABC 和 DCB 中 十一 十一 取线段中点构造全等三有形 例如 如图 11 1 AB DC A D 求证 ABC DCB 分析 由 AB DC A D 想到如取 AD 的中点 N 连接 NB NC 再由 SAS 公理有 ABN DCN 故 BN CN ABN DCN 下面只需证 NBC NCB 再取 BC 的中 点 M 连接 MN 则由 SSS 公理有 NBM NCM 所以 NBC NCB 问题得证 证明 取 AD BC 的中点 N M 连接 NB NM NC 梯形问题中的辅助线梯形问题中的辅助线 1 连结对角线 连结对角线 例例 1 如图 1 梯形 ABCD 中 AB CD AD BC 延长 AB 到 E 使 BE CD 试说明 AC CE 解 解 如图 1 连结 BD 由 BDCE 可证得 BD CE 由等腰梯形 ABCD 性质得 AC BD 所以 AC CE 2 平移一腰 即从梯形的一个顶点作一腰的平行线 把梯形转化为一个平行四 平移一腰 即从梯形的一个顶点作一腰的平行线 把梯形转化为一个平行四 边形和一个三角形边形和一个三角形 例例 2 如图 2 梯形 ADCB 中 AB CD AB 2cm CD 8cm AD 4cm 求 BC 的取值 范围 解析 解析 过点 B 作 BE AD 交 CD 于点 E 则四边形 ADEB 是平行四边形 可 知 BE AD 4cm DE AB 2cm 于是 EC CD DE 8 2 6cm 在 ABC 中 EC BE BC EC BE 所以 2cm BC 10cm 3 平移两腰 将两腰转化到同一个三角形中 平移两腰 将两腰转化到同一个三角形中 D CB A 110 图 O 111 图 D C B A M N 11 例例 3 如图 3 在梯形 ABCD 中 AD BC B C 90 E F 分别为 AD BC 的中点 BC 8 AD 4 试求 EF 解 解 过点 E 分别作 EM AB EN CD 交 BC 于 M N 则 EMF B ENF C 所以 MEN 90 AE BM DE CN 所以 MF NF 所以 EF MN BC AD 8 4 2 1 2 1