初中数学+特殊平行四边形的证明及详细答案模板

第 1 页 共 33 页 初中数学初中数学 特殊平行四边形的证明特殊平行四边形的证明 一 解答题 共一 解答题 共 30 小题 小题 1 2015 泰安模拟 如图 在 ABC 中 ACB 90 BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D 交 AB 于 E F 在 DE 上 并且 AF CE 1 求证 四边形 ACEF 是平行四边形 2 当 B 满足什么条件时 四边形 ACEF 是菱形 请回答并证明你的结论 2 2015 福建模拟 已知 如图 在 ABC 中 D E 分别是 AB AC 的中点 BE 2DE 延长 DE 到点 F 使得 EF BE 连接 CF 求证 四边形 BCFE 是菱形 3 2015 深圳一模 如图 四边形 ABCD 中 AB CD AC 平分 BAD CE AD 交 AB 于 E 1 求证 四边形 AECD 是菱形 2 若点 E 是 AB 的中点 试判断 ABC 的形状 并说明理由 4 2015 济南模拟 如图 四边形 ABCD 是矩形 点 E 是边 AD 的中点 第 2 页 共 33 页 求证 EB EC 5 2015 临淄区校级模拟 如图所示 在矩形 ABCD 中 DE AC 于点 E 设 ADE 且 cos AB 4 则 AC 的长为多少 6 2015 春 宿城区校级月考 如图 四边形 ABCD 是矩形 对角线 AC BD 相交于 点 O BE AC 交 DC 的延长线于点 E 求证 BD BE 7 2014 雅安 如图 在 ABCD 中 AC 为其对角线 过点 D 作 AC 的平行线与 BC 的延长线交于 E 1 求证 ABC DCE 2 若 AC BC 求证 四边形 ACED 为菱形 8 2014 贵阳 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 D E 分别为 AB AC 边上的中 点 连接 DE 将 ADE 绕点 E 旋转 180 得到 CFE 连接 AF AC 1 求证 四边形 ADCF 是菱形 第 3 页 共 33 页 2 若 BC 8 AC 6 求四边形 ABCF 的周长 9 2014 遂宁 已知 如图 在矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O E 是 CD 中点 连结 OE 过点 C 作 CF BD 交线段 OE 的延长线于点 F 连结 DF 求证 1 ODE FCE 2 四边形 ODFC 是菱形 10 2014 宁德 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC 点 E 是 BC 的中点 连接 AC DE AC AB DE AB 求证 四边形 AECD 是矩形 11 2014 钦州 如图 在正方形 ABCD 中 E F 分别是 AB BC 上的点 且 AE BF 求证 CE DF 12 2014 贵港 如图 在正方形 ABCD 中 点 E 是对角线 AC 上一点 且 CE CD 过点 E 作 EF AC 交 AD 于点 F 连接 BE 1 求证 DF AE 2 当 AB 2 时 求 BE2的值 第 4 页 共 33 页 13 2014 吴中区一模 已知 如图 菱形 ABCD 中 E F 分别是 CB CD 上的点 BAF DAE 1 求证 AE AF 2 若 AE 垂直平分 BC AF 垂直平分 CD 求证 AEF 为等边三角形 14 2014 新乡一模 小明设计了一个如图的风筝 其中 四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都是菱形 点 C 在 AF 上 点 E G 分别在 BC CD 上 若 BAD 135 EAG 75 AE 100cm 求菱形 ABCD 的边长 15 2014 槐荫区三模 如图 菱形 ABCD 的边长为 1 D 120 求对角线 AC 的 长 16 2014 历城区一模 如图 已知菱形 ABCD 的对角线 AC BD 的长分别为 6cm 8cm AE BC 于点 E 求 AE 的长 第 5 页 共 33 页 17 2014 湖南校级模拟 如图 AE AF 点 B D 分别在 AE AF 上 四边形 ABCD 是菱形 连接 EC FC 1 求证 EC FC 2 若 AE 2 A 60 求 AEF 的周长 18 2014 清河区一模 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D E F 分别是 ABC 三边 的中点 求证 四边形 ADEF 是菱形 19 2014 春 防城区期末 如图 已知四边形 ABCD 是平行四边形 DE AB DF BC 垂足分别是为 E F 并且 DE DF 求证 四边形 ABCD 是菱形 第 6 页 共 33 页 20 2014 通州区一模 如图 在四边形 ABCD 中 AB DC E F 分别是 AD BC 的中点 G H 分别是对角线 BD AC 的中点 1 求证 四边形 EGFH 是菱形 2 若 AB 1 则当 ABC DCB 90 时 求四边形 EGFH 的面积 21 2014 顺义区二模 如图 在 ABC 中 D E 分别是 AB AC 的中点 BE 2DE 过点 C 作 CF BE 交 DE 的延长线于 F 1 求证 四边形 BCFE 是菱形 2 若 CE 4 BCF 120 求菱形 BCFE 的面积 22 2014 祁阳县校级模拟 如图 O 为矩形 ABCD 对角线的交点 DE AC CE BD 1 求证 四边形 OCED 是菱形 2 若 AB 6 BC 8 求四边形 OCED 的周长 23 2014 荔湾区校级一模 已知点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 延长线上的一点 且 AD DE 连结 BE 交 CD 于点 O 求证 AOD BOC 第 7 页 共 33 页 24 2014 东海县二模 已知 如图 在正方形 ABCD 中 点 E F 在对角线 BD 上 且 BF DE 1 求证 四边形 AECF 是菱形 2 若 AB 2 BF 1 求四边形 AECF 的面积 25 2014 玉溪模拟 如图 正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上 连接 BE DG 求证 BE DG 26 2014 工业园区一模 已知 如图正方形 ABCD 中 E 为 CD 边上一点 F 为 BC 延长线上一点 且 CE CF 1 求证 BCE DCF 2 若 FDC 30 求 BEF 的度数 27 2014 深圳模拟 四边形 ABCD 是正方形 E F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的 点 且 DE BF 连接 AE AF EF 1 求证 ADE ABF 2 若 BC 8 DE 6 求 AEF 的面积 第 8 页 共 33 页 28 2014 碑林区校级模拟 在正方形 ABCD 中 AC 为对角线 E 为 AC 上一点 连 接 EB ED 求证 BEC DEC 29 2014 温州一模 如图 AB 是 CD 的垂直平分线 交 CD 于点 M 过点 M 作 ME A C MF AD 垂足分别为 E F 1 求证 CAB DAB 2 若 CAD 90 求证 四边形 AEMF 是正方形 30 2014 湖里区模拟 已知 如图 ABC 中 ABC 90 BD 是 ABC 的平分线 DE AB 于点 E DF BC 于点 F 求证 四边形 DEBF 是正方形 第 9 页 共 33 页 初中数学初中数学 特殊平行四边形的证明特殊平行四边形的证明 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 30 小题 小题 1 2015 泰安模拟 如图 在 ABC 中 ACB 90 BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D 交 AB 于 E F 在 DE 上 并且 AF CE 1 求证 四边形 ACEF 是平行四边形 2 当 B 满足什么条件时 四边形 ACEF 是菱形 请回答并证明你的结论 考点 菱形的判定 线段垂直平分线的性质 平行四边形的判定 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 1 ED 是 BC 的垂直平分线 根据中垂线的性质 中垂线上的点线段两个端点的距离 相等 则 EB EC 故有 3 4 在直角三角形 ACB 中 2 与 4 互余 1 与 3 互余 则可得到 AE CE 从而证得 ACE 和 EFA 都是等腰三角形 又因为 FD BC AC BC 所以 AC FE 再根据内错角相等得到 AF CE 故四边形 ACEF 是平 行四边形 2 由于 ACE 是等腰三角形 当 1 60 时 ACE 是等边三角形 有 AC EC 有平行 四边形 ACEF 是菱形 解答 解 1 ED 是 BC 的垂直平分线 EB EC ED BC 3 4 ACB 90 FE AC 1 5 2 与 4 互余 1 与 3 互余 1 2 AE CE 又 AF CE ACE 和 EFA 都是等腰三角形 5 F 2 F 在 EFA 和 ACE 中 第 10 页 共 33 页 EFA ACE AAS AEC EAF AF CE 四边形 ACEF 是平行四边形 2 当 B 30 时 四边形 ACEF 是菱形 证明如下 B 30 ACB 90 1 2 60 AEC 60 AC EC 平行四边形 ACEF 是菱形 点评 本题综合利用了中垂线的性质 等边对等角和等角对等边 直角三角形的性质 平行四 边形和判定和性质 菱形的判定求解 有利于学生思维能力的训练 涉及的知识点有 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 2015 福建模拟 已知 如图 在 ABC 中 D E 分别是 AB AC 的中点 BE 2DE 延 长 DE 到点 F 使得 EF BE 连接 CF 求证 四边形 BCFE 是菱形 考点 菱形的判定 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 由题意易得 EF 与 BC 平行且相等 四边形 BCFE 是平行四边形 又 EF BE 四边 形 BCFE 是菱形 解答 解 BE 2DE EF BE EF 2DE 1 分 第 11 页 共 33 页 D E 分别是 AB AC 的中点 BC 2DE 且 DE BC 2 分 EF BC 3 分 又 EF BC 四边形 BCFE 是平行四边形 4 分 又 EF BE 四边形 BCFE 是菱形 5 分 点评 此题主要考查菱形的判定 综合利用了平行四边形的性质和判定 3 2015 深圳一模 如图 四边形 ABCD 中 AB CD AC 平分 BAD CE AD 交 AB 于 E 1 求证 四边形 AECD 是菱形 2 若点 E 是 AB 的中点 试判断 ABC 的形状 并说明理由 考点 菱形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 1 利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形 进而证明一组邻边相等可得该四边 形为菱形 2 利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等 进而证明 ACB 为直角即可 解答 解 1 AB CD CE AD 四边形 AECD 为平行四边形 2 3 又 AC 平分 BAD 1 2 1 3 AD DC 四边形 AECD 是菱形 2 直角三角形 理由 AE EC 2 4 AE EB EB EC 5 B 又因为三角形内角和为 180 2 4 5 B 180 第 12 页 共 33 页 ACB 4 5 90 ACB 为直角三角形 点评 考查菱形的判定与性质的应用 用到的知识点为 一组邻边相等的平行四边形是菱形 菱形的 4 条边都相等 4 2015 济南模拟 如图 四边形 ABCD 是矩形 点 E 是边 AD 的中点 求证 EB EC 考点 矩形的性质 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出 ABE DCE SAS 即可得出答 案 解答 证明 四边形 ABCD 是矩形 AB DC A D 90 点 E 是边 AD 的中点 AE ED 在 ABE 和 DCE 中 ABE DCE SAS EB EC 点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质 得出 ABE DCE 是解题关 键 5 2015 临淄区校级模拟 如图所示 在矩形 ABCD 中 DE AC 于点 E 设 ADE 且 cos AB 4 则 AC 的长为多少 第 13 页 共 33 页 考点 矩形的性质 菁优网版权所有 分析 根据等角的余角相等 得 BAC ADE 根据锐角三角函数定义可求 AC 的长 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 ABC 90 AD BC EAD ACB 在 ABC 与 AED 中 DE AC 于 E ABC 90 BAC ADE cos BAC cos AC 点评 此题综合运用了锐角三角函数的知识 勾股定理 矩形的性质 6 2015 春 宿城区校级月考 如图 四边形 ABCD 是矩形 对角线 AC BD 相交于点 O BE AC 交 DC 的延长线于点 E 求证 BD BE 考点 矩形的性质 平行四边形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 根据矩形的对角线相等可得 AC BD 对边平行可得 AB CD 再求出四边形 ABEC 是平 行四边形 根据平行四边形的对边相等可得 AC BE 从而得证 解答 证明 四边形 ABCD 是矩形 AC BD AB CD 又 BE AC 四边形 ABEC 是平行四边形 第 14 页 共 33 页 AC BE BD BE 点评 本题考查了矩形的性质 平行四边形的判定与性质 熟记各性质并求出四边形 ABEC 是 平行四边形是解题的关键 7 2014 雅安 如图 在 ABCD 中 AC 为其对角线 过点 D 作 AC 的平行线与 BC 的延长 线交于 E 1 求证 ABC DCE 2 若 AC BC 求证 四边形 ACED 为菱形 考点 菱形的判定 全等三角形的判定与性质 平行四边形的性质 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 1 利用 AAS 判定两三角形全等即可 2 首先证得四边形 ACED 为平行四边形 然后证得 AC AD 利用邻边相等的平行四 边形是菱形判定即可 解答 证明 1 四边形 ABCD 为平行四边形 AB CD AB CD B 1 又 DE AC 2 E 在 ABC 与 DCE 中 ABC DCE 2 平行四边形 ABCD 中 AD BC 即 AD CE 由 DE AC ACED 为平行四边形 AC BC B CAB 由 AB CD CAB ACD 又 B ADC ADC ACD 第 15 页 共 33 页 AC AD 四边形 ACED 为菱形 点评 本题考查了菱形的判定等知识 解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理 难度不大 8 2014 贵阳 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 D E 分别为 AB AC 边上的中点 连 接 DE 将 ADE 绕点 E 旋转 180 得到 CFE 连接 AF AC 1 求证 四边形 ADCF 是菱形 2 若 BC 8 AC 6 求四边形 ABCF 的周长 考点 菱形的判定与性质 旋转的性质 菁优网版权所有 专题 几何综合题 分析 1 根据旋转可得 AE CE DE EF 可判定四边形 ADCF 是平行四边形 然后证明 DF AC 可得四边形 ADCF 是菱形 2 首先利用勾股定理可得 AB 长 再根据中点定义可得 AD 5 根据菱形的性质可得 AF FC AD 5 进而可得答案 解答 1 证明 将 ADE 绕点 E 旋转 180 得到 CFE AE CE DE EF 四边形 ADCF 是平行四边形 D E 分别为 AB AC 边上的中点 DE 是 ABC 的中位线 DE BC ACB 90 AED 90 DF AC 四边形 ADCF 是菱形 2 解 在 Rt ABC 中 BC 8 AC 6 AB 10 D 是 AB 边上的中点 AD 5 四边形 ADCF 是菱形 第 16 页 共 33 页 AF FC AD 5 四边形 ABCF 的周长为 8 10 5 5 28 点评 此题主要考查了菱形的判定与性质 关键是掌握菱形四边相等 对角线互相垂直的平行 四边形是菱形 9 2014 遂宁 已知 如图 在矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O E 是 CD 中点 连结 OE 过点 C 作 CF BD 交线段 OE 的延长线于点 F 连结 DF 求证 1 ODE FCE 2 四边形 ODFC 是菱形 考点 矩形的性质 全等三角形的判定与性质 菱形的判定 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 1 根据两直线平行 内错角相等可得 ODE FCE 根据线段中点的定义可得 CE DE 然后利用 角边角 证明 ODE 和 FCE 全等 2 根据全等三角形对应边相等可得 OD FC 再根据一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形判断出四边形 ODFC 是平行四边形 根据矩形的对角线互相平分且相等可得 OC OD 然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可 解答 证明 1 CF BD ODE FCE E 是 CD 中点 CE DE 在 ODE 和 FCE 中 ODE FCE ASA 2 ODE FCE OD FC CF BD 四边形 ODFC 是平行四边形 在矩形 ABCD 中 OC OD 四边形 ODFC 是菱形 点评 本题考查了矩形的性质 全等三角形的判定与性质 菱形的判定 熟记各性质与平行四 边形和菱形的判定方法是解题的关键 第 17 页 共 33 页 10 2014 宁德 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC 点 E 是 BC 的中点 连接 AC DE AC AB DE AB 求证 四边形 AECD 是矩形 考点 矩形的判定 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 先判断四边形 AECD 为平行四边形 然后由 AEC 90 即可判断出四边形 AECD 是矩 形 解答 证明 AD BC DE AB 四边形 ABED 是平行四边形 AD BE 点 E 是 BC 的中点 EC BE AD 四边形 AECD 是平行四边形 AB AC 点 E 是 BC 的中点 AE BC 即 AEC 90 AECD 是矩形 点评 本题考查了梯形和矩形的判定 难度适中 解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定 理 11 2014 钦州 如图 在正方形 ABCD 中 E F 分别是 AB BC 上的点 且 AE BF 求 证 CE DF 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 根据正方形的性质可得 AB BC CD B BCD 90 然后求出 BE CF 再利用 边角 边 证明 BCE 和 CDF 全等 根据全等三角形对应边相等证明即可 解答 证明 在正方形 ABCD 中 AB BC CD B BCD 90 AE BF 第 18 页 共 33 页 AB AE BC BF 即 BE CF 在 BCE 和 CDF 中 BCE CDF SAS CE DF 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 熟记性质并确定出三角形全等的 条件是解题的关键 12 2014 贵港 如图 在正方形 ABCD 中 点 E 是对角线 AC 上一点 且 CE CD 过点 E 作 EF AC 交 AD 于点 F 连接 BE 1 求证 DF AE 2 当 AB 2 时 求 BE2的值 考点 正方形的性质 角平分线的性质 勾股定理 菁优网版权所有 分析 1 连接 CF 根据 HL 证明 Rt CDF 和 Rt CEF 全等 根据全等三角形对应边相等可 得 DF EF 根据正方形的对角线平分一组对角可得 EAF 45 求出 AEF 是等腰直角 三角形 再根据等腰直角三角形的性质可得 AE EF 然后等量代换即可得证 2 根据正方形的对角线等于边长的倍求出 AC 然后求出 AE 过点 E 作 EH AB 于 H 判断出 AEH 是等腰直角三角形 然后求出 EH AH AE 再求出 BH 然后 利用勾股定理列式计算即可得解 解答 1 证明 如图 连接 CF 在 Rt CDF 和 Rt CEF 中 Rt CDF Rt CEF HL DF EF AC 是正方形 ABCD 的对角线 EAF 45 AEF 是等腰直角三角形 AE EF DF AE 第 19 页 共 33 页 2 解 AB 2 AC AB 2 CE CD AE 2 2 过点 E 作 EH AB 于 H 则 AEH 是等腰直角三角形 EH AH AE 2 2 2 BH 2 2 在 Rt BEH 中 BE2 BH2 EH2 2 2 2 8 4 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形的判定与性质 勾股定理的应用 作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键 13 2014 吴中区一模 已知 如图 菱形 ABCD 中 E F 分别是 CB CD 上的点 BAF DAE 1 求证 AE AF 2 若 AE 垂直平分 BC AF 垂直平分 CD 求证 AEF 为等边三角形 考点 菱形的性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 1 首先利用菱形的性质得出 AB AD B D 进而得出 ABE ADF ASA 即 可得出答案 2 利用垂直平分线的性质得出 ABC 和 ACD 都是等边三角形 进而得出 EAF CAE CAF 60 求出 AEF 为等边三角形 解答 1 证明 四边形 ABCD 是菱形 AB AD B D 第 20 页 共 33 页 又 BAF DAE BAE DAF 在 ABE 和 ADF 中 ABE ADF ASA AE AF 2 解 连接 AC AE 垂直平分 BC AF 垂直平分 CD AB AC AD AB BC CD DA ABC 和 ACD 都是等边三角形 CAE BAE 30 CAF DAF 30 EAF CAE CAF 60 又 AE AF AEF 是等边三角形 点评 此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识 熟练掌 握全等三角形的判定方法是解题关键 14 2014 新乡一模 小明设计了一个如图的风筝 其中 四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都 是菱形 点 C 在 AF 上 点 E G 分别在 BC CD 上 若 BAD 135 EAG 75 AE 100cm 求菱形 ABCD 的边长 考点 菱形的性质 菁优网版权所有 分析 根据菱形的性质可得出 BAE 30 B 45 过点 E 作 EM AB 于点 M 设 EM x 则 可得出 AB AE 的长度 继而可得出的值 求出 AB 即可 解答 解 BAD 135 EAG 75 四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都是菱形 第 21 页 共 33 页 B 180 BAD 45 BAE BAC EAC 30 过点 E 作 EM AB 于点 M 设 EM x 在 Rt AEM 中 AE 2EM 2x AM x 在 Rt BEM 中 BM x 则 AE 100cm AB 50 1 cm 菱形 ABCD 的边长为 50 1 cm 点评 本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识 属于基础题 关键是掌握菱形的对角线 平分一组对角 15 2014 槐荫区三模 如图 菱形 ABCD 的边长为 1 D 120 求对角线 AC 的长 考点 菱形的性质 菁优网版权所有 分析 连接 BD 与 AC 交于点 O 根据菱形的性质可得 AB AD AC 2AO ADB ADC AC BD 然后判断出 ABD 是等边三角形 根 据等边三角形的性质求出 AO 再根据 AC 2AO 计算即可得解 解答 解 如图 连接 BD 与 AC 交于点 O 四边形 ABCD 是菱形 AB AD AC 2AO ADB ADC AC BD D 120 ADB 60 ABD 是等边三角形 AO AD sin ADB AC 2AO 第 22 页 共 33 页 点评 本题考查了菱形的性质 等边三角形的判定与性质 熟记性质并作辅助线构造出等边三 角形是解题的关键 16 2014 历城区一模 如图 已知菱形 ABCD 的对角线 AC BD 的长分别为 6cm 8cm AE BC 于点 E 求 AE 的长 考点 菱形的性质 勾股定理 菁优网版权所有 分析 根据菱形的对角线互相垂直平分求出 CO BO 再利用勾股定理列式求出 BC 然后利用 菱形的面积等于底乘以高和对角线乘积的一半列出方程求解即可 解答 解 四边形 ABCD 是菱形 CO AC 3cm BO BD 4cm AO BO BC 5cm S菱形 ABCD BC AE 即 6 8 5 AE 解得 AE cm 答 AE 的长是cm 点评 本题考查了菱形的性质 勾股定理 熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键 难 点在于利用菱形的面积列出方程 17 2014 湖南校级模拟 如图 AE AF 点 B D 分别在 AE AF 上 四边形 ABCD 是菱 形 连接 EC FC 1 求证 EC FC 2 若 AE 2 A 60 求 AEF 的周长 第 23 页 共 33 页 考点 菱形的性质 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 分析 1 连接 AC 根据菱形的对角线平分一组对角可得 CAE CAF 然后利用 边角边 证明 ACE 和 ACF 全等 根据全等三角形对应边相等可得 EC FC 2 判断出 AEF 是等边三角形 然后根据等边三角形的三条边都相等解答 解答 1 证明 如图 连接 AC 四边形 ABCD 是菱形 CAE CAF 在 ACE 和 ACF 中 ACE ACF SAS EC FC 2 解 连接 EF AE AF A 60 AEF 是等边三角形 AEF 的周长 3AE 3 2 6 点评 本题考查了菱形的性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 熟记各 性质并作出辅助线是解题的关键 18 2014 清河区一模 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D E F 分别是 ABC 三边的中 点 求证 四边形 ADEF 是菱形 第 24 页 共 33 页 考点 菱形的判定 三角形中位线定理 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 利用三角形中位线的性质得出 DE AC EFAB 进而得出四边形 ADEF 为平行四 边形 再利用 DE EF 即可得出答案 解答 证明 D E F 分别是 ABC 三边的中点 DEAC EFAB 四边形 ADEF 为平行四边形 又 AC AB DE EF 四边形 ADEF 为菱形 点评 此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定和菱形的判定等知识 熟练 掌握菱形判定定理是解题关键 19 2014 春 防城区期末 如图 已知四边形 ABCD 是平行四边形 DE AB DF BC 垂 足分别是为 E F 并且 DE DF 求证 四边形 ABCD 是菱形 考点 菱形的判定 全等三角形的判定与性质 平行四边形的性质 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 首先利用已知条件和平行四边形的性质判定 ADE CDF 再根据邻边相等的平行四边 形为菱形即可证明四边形 ABCD 是菱形 解答 证明 在 ADE 和 CDF 中 四边形 ABCD 是平行四边形 A C DE AB DF BC 第 25 页 共 33 页 AED CFD 90 又 DE DF ADE CDF AAS DA DC 平行四边形 ABCD 是菱形 点评 本题考查了平行四边形的性质 全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法 解题的 关键是熟练掌握各种图形的判定和性质 20 2014 通州区一模 如图 在四边形 ABCD 中 AB DC E F 分别是 AD BC 的中点 G H 分别是对角线 BD AC 的中点 1 求证 四边形 EGFH 是菱形 2 若 AB 1 则当 ABC DCB 90 时 求四边形 EGFH 的面积 考点 菱形的判定与性质 正方形的判定与性质 中点四边形 菁优网版权所有 分析 1 利用三角形的中位线定理可以证得四边形 EGFH 的四边相等 即可证得 2 根据平行线的性质可以证得 GFH 90 得到菱形 EGFH 是正方形 利用三角形的 中位线定理求得 GE 的长 则正方形的面积可以求得 解答 1 证明 四边形 ABCD 中 E F G H 分别是 AD BC BD AC 的中点 FG CD HE CD FH AB GE AB AB CD FG FH HE EG 四边形 EGFH 是菱形 2 解 四边形 ABCD 中 G F H 分别是 BD BC AC 的中点 GF DC HF AB GFB DCB HFC ABC HFC GFB ABC DCB 90 GFH 90 菱形 EGFH 是正方形 AB 1 EG AB 正方形 EGFH 的面积 2 第 26 页 共 33 页 点评 本题考查了三角形的中位线定理 菱形的判定以及正方形的判定 理解三角形的中位线 定理是关键 21 2014 顺义区二模 如图 在 ABC 中 D E 分别是 AB AC 的中点 BE 2DE 过点 C 作 CF BE 交 DE 的延长线于 F 1 求证 四边形 BCFE 是菱形 2 若 CE 4 BCF 120 求菱形 BCFE 的面积 考点 菱形的判定与性质 菁优网版权所有 分析 1 由题意易得 EF 与 BC 平行且相等 故四边形 BCFE 是平行四边形 又麟边 EF BE 则四边形 BCFE 是菱形 2 连结 BF 交 CE 于点 O 利用菱形的性质和等边三角形的判定推知 BCE 是等边 三角形 通过解直角 BOC 求得 BO 的长度 则 BF 2BO 利用菱形的面积 CE BF 进 行解答 解答 1 证明 D E 分别是 AB AC 的中点 DE BC BC 2DE CF BE 四边形 BCFE 是平行四边形 BE 2DE BC 2DE BE BC BCFE 是菱形 2 解 连结 BF 交 CE 于点 O 四边形 BCFE 是菱形 BCF 120 BCE FCE 60 BF CE BCE 是等边三角形 BC CE 4 第 27 页 共 33 页 点评 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算 使学生能够灵活运用菱形知识解决有 关问题 22 2014 祁阳县校级模拟 如图 O 为矩形 ABCD 对角线的交点 DE AC CE BD 1 求证 四边形 OCED 是菱形 2 若 AB 6 BC 8 求四边形 OCED 的周长 考点 矩形的性质 菱形的判定 菁优网版权所有 分析 1 根据矩形性质求出 OC OD 根据平行四边形的判定得出四边形 OCED 是平行四边 形 根据菱形判定推出即可 2 根据勾股定理求出 AC 求出 OC 得出 OC OD CE ED 5 相加即可 解答 1 证明 四边形 ABCD 是矩形 AC 2OC BD 2OD AC BD OD OC DE AC CE BD 四边形 OCED 是菱形 2 解 四边形 ABCD 是矩形 ABC 90 AB 6 BC 8 在 Rt ABC 中 由勾股定理得 AC 10 即 OC AC 5 四边形 OCED 是菱形 OC OD DE CE 5 四边形 OCED 的周长是 5 5 5 5 20 点评 本题考查了勾股定理 平行四边形的判定 菱形的判定和性质 矩形的性质的应用 主 要考查学生的推理能力 第 28 页 共 33 页 23 2014 荔湾区校级一模 已知点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 延长线上的一点 且 AD DE 连结 BE 交 CD 于点 O 求证 AOD BOC 考点 矩形的性质 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 根据矩形的对边相等可得 AD BC 根据矩形的对边平行可得 AD BC 根据两直线平行 内错角相等可得 E OBC 再求出 BC DE 然后利用 角角边 证明 AOD 和 BOC 全 等即可 解答 证明 在矩形 ABCD 中 AD BC AD BC E OBC AD DE BC DE 在 AOD 和 BOC 中 AOD BOC AAS 点评 本题考查了矩形的性质 全等三角形的判定 熟练掌握矩形的对边平行且相等找出三角 形全等的条件是解题的关键 24 2014 东海县二模 已知 如图 在正方形 ABCD 中 点 E F 在对角线 BD 上 且 BF DE 1 求证 四边形 AECF 是菱形 2 若 AB 2 BF 1 求四边形 AECF 的面积 考点 正方形的性质 菱形的判定与性质 菁优网版权所有 分析 1 根据正方形的性质 可得正方形的四条边相等 对角线平分对角 根据 SAS 可 得 ABF 与 CBF 与 CDE 与 ADE 的关系 根据三角形全等 可得对应边相等 再根 据四条边相等的四边形 可得证明结果 2 根据正方形的边长 对角线 可得直角三角形 根据勾股定理 可得 AC EF 的长 第 29 页 共 33 页 根据菱形的面积公式 可得答案 解答 1 证明 正方形 ABCD 中 对角线 BD AB BC CD DA ABF CBF CDE ADE 45 BF DE ABF CBF DCE DAE SAS AF CF CE AE 四边形 AECF 是菱形 2 解 在 Rt ABD 中 由勾股定理 得 AD BC AD 2 EF BC BF DE 2 1 1 四边形 AECF 的面积 AD EF 2 2 4 2 点评 本题考查了正方形的性质 1 先证明四个三角形全等 再证明四边相等的四边形是菱 形 2 先求出菱形的对角线的长 再求出菱形的面积 25 2014 玉溪模拟 如图 正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上 连接 BE DG 求证 BE DG 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 根据正方形的性质得出 CD CB CG CE BCE DCG 90 再利用全等三角形的判 定定理 SAS 即可得出 BCE DCG 进而得出 BE DG 解答 证明 四边形 ABCD 和四边形 ECGF 都是正方形 在 BCE 和 DCG 中 BCE DCG SAS BE DG 第 30 页 共 33 页 点评 此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质 正方形性质的考查经常与 三角形的全等相结合综合考查 同学们分析问题时应多从这个角度思考 26 2014 工业园区一模 已知 如图正方形 ABCD 中 E 为 CD 边上一点 F 为 BC 延长线 上一点 且 CE CF 1 求证 BCE DCF 2 若 FDC 30 求 BEF 的度数 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 分析 1 根据正方形的四条边都相等 四个角都是直角 BC CD BCE DCF 90 又 CE CF 根据边角边定理即可证明 BCE 和 DCF 全等 2 由 1 可知 BCE DCF 得 EBC FDC 30 可得 BEC 60 从而可求 BEF 的度数 解答 证明 四边形 ABCD 是正方形 BC DC BCD 90 F 为 BC 延长线上的点 DCF 90 BCD DCF 在 BCE 和 DCF 中 BCE DCF SAS 2 BCE DCF EBC FDC 30 BEC 60 DCF 90 CE CF FEC 45 BEF BEC FEC 60 45 105 点评 本题主要考查正方形的四条边都相等和四个角都是直角的性质以及三角形全等的判定和 全等三角形对应边相等的性质和等腰三角形的性质 题目比较简单 第 31 页 共 33 页 27 2014 深圳模拟 四边形 ABCD 是正方形 E F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点 且 DE BF 连接 AE