有理数的乘方

1 学科辅导讲义学科辅导讲义 授课对象 初一 3 5 人班授课教师杨老师 授课时间授课题目有理数的除法 课 型预习课使用教具讲义 练习题 教学目标 1 理解有理数乘方的概念 掌握有理数乘方的运算 2 培养观察 比较 分析 归纳 概括能力 以及探索精神 3 分类讨论思想 教学重点和难点 重点 有理数乘方的运算和正确运用科学记数法表示较大的数 难点 有理数乘方运算的符号法则和正确掌握 10 的幂指数特征 教学流程及授课详案 有理数的乘方有理数的乘方 知识回顾 知识回顾 1 叙述有理数的乘法法则 2 叙述有理数的除法法则 学习过程 学习过程 情景导入情景导入 棋盘上的学问 古时候 在某个王国里有一位聪明的大臣 他发明了国际象棋 献给了国王 国王从 此迷上了下棋 为了对聪明的大臣表示感谢 国王答应满足这个大臣的一个要求 大臣说 就在这个棋盘上放一些米吧 第 1 格放 1 粒米 第 2 格放 2 粒米 第 3 格放 4 粒米 然 后是 8 粒米 16 粒米 32 粒米 一直到第 64 格 你真傻 就要这么一点米粒 国王哈哈大笑 大臣说 就怕你的国库里没有这么多米 你认为国王的国库里有这么多米吗 一 一 从学生原有认知结构提出问题 从学生原有认知结构提出问题 在小学我们我们已经学习过 记作 读作的平方 或的二次方 a a 2 aaa 记作 读作的立方 或的三次方 那么 n 是正整数 呢 a a a 3 aaaa a a a 在小学对于字母我们只能取正数 进入中学后 我们学习了有理数 那么还可以取哪aa 些数呢 请举例说明 2 二 二 讲授新课 讲授新课 重点重点 1 1 有理数乘方 有理数乘方 1 1 求求 n n 个相同因数的积的运算叫做乘方 个相同因数的积的运算叫做乘方 2 2 乘方的结果叫做幂 相同的因数叫做底数 相同因数的个数叫做指数 乘方的结果叫做幂 相同的因数叫做底数 相同因数的个数叫做指数 一般地 在一般地 在中 中 取任意有理数 取任意有理数 n n 取正整数 应当注意 乘方是一种运算 幂是乘方取正整数 应当注意 乘方是一种运算 幂是乘方 n aa 运算的结果 当运算的结果 当看作看作的的 n n 次方的结果时 也可以读作次方的结果时 也可以读作的的 n n 次幂 次幂 n aaa 3 3 我们知道 乘方和加 减 乘 除一样 也是一种运算 我们知道 乘方和加 减 乘 除一样 也是一种运算 就是表示就是表示 n n 个个相乘 所相乘 所 n aa 以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算 以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算 n aa a aa 指数 底数 n a 幂 例例 1 1 计算 1 2 3 4 3 2 3 2 4 2 5 2 注 2 就是 指数 1 通常不写 1 2 观察 比较 分析这几组计算题中 底数 指数和幂之间有什么关系 1 横向观察 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数 偶数幂是正数 零的任何次幂都是零 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数 偶数幂是正数 零的任何次幂都是零 2 纵向观察 互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数 偶次幂相等 互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数 偶次幂相等 3 任何一个数的偶次幂是什么数 任何一个数的偶次幂都是非负数 任何一个数的偶次幂都是非负数 你能把上述的结论用数学符号语言表示吗 当当时 时 n n 是正整数 是正整数 0a 0 n a 当当时 时 n n 是正整数 是正整数 0a 0 n a 以上为有理数乘方运算的符号法则 n n 是正整数 是正整数 2 2 n n aa 3 n n 是正整数 是正整数 21 21 n n aa a a 是有理数 是有理数 n n 是正整数 是正整数 2 0 n a 例例 2 2 计算 1 2 3 2 34 34 32 4 3 2 642 3 4 n 为正整数 2212009 111 nn 例例 3 3 计算 1 2 3 3 3 5 3 2 2 3 3 3 5 3 3 2 4 3 5 3 4 3 2 3 4 4 22 2 3 3 2 2 3 2 3 3 引导学生纵向观察第 1 题和第 2 题的形式和计算结果 让学生自己体会到 的底数是 表示 n 个相乘 是的相反数 这是和的区别 n a a a n a n a n a n a 引导学生横向观察第 3 题的形式和计算结果 让学生自己体会到 写分数的乘方时 要加括号 不然就是另一种计算了 课堂练习 计算 4 1 3 3 44 22 2 2 44 2 2009 1 2 3 2 3 3 22 3 n 为偶数 11 n 3 5 2 32 2 3 4 2 1 115 3 4 55 例 3 已知 22 1342 13593 2 1357164 根据前面的各式规律 猜测 的结果 2 13579255 1 357 21 n 其中 n 为自然数 随堂练习随堂练习 1 当时 求下列各代数式的值 3 5 4abc 1 2 2 ab 222 abc 3 4 2 ab 22 2aabb 5 2 当 a 是负数时 判断下列各式是否成立 1 2 2 2 aa 3 3 aa 重点重点 2 2 科学记数法科学记数法 例 计算 5 10100000 6 101000000 10 1010000000000 左边用 10 的 n 次幂表示简洁明了 且不易出错 右边有许多零 很容易发生写错的情况 读的时候也是左易右难 这就是我们想到用 10 的 n 次幂表示较大的数 比如一亿 一百 亿等等 但是像太阳的半径大约是 696 000 千米 光速大约是 300 000 000 米每秒 中国 人口大约 13 亿等等 我们如何能简单明了地表示它们呢 这就是本节课我们要学习的内 容科学记数法 1 的特征10n 观察下题 123410 1010 10100 101000 1010000 1010000000000 提问 中的 n 表示 n 个 10 相乘 它与运算结果中 0 的个数有什么关系 与运算结果的10n 数位有什么关系 练习 1 把下面各数写成 10 的幂的形式 1000 100000000 100000000000 练习 2 指出下列各数是几位数 3 10 5 10 12 10 100 10 2 科学记数法 1 任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以 10 的 n 次幂的形式 如 6 2 1001 1001 10 3 60006 10006 10 3 75007 5 10007 5 10 第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识 我们现在要做的就是 把 100 1000 变成 10 的 n 次幂的形式就行了 2 科学记数法定义 根据上面的例子 我们把大于 10 的数记成的形式 其中 a 是正数数位只有一位10na 的数 你是自然数 这种计数法叫做科学记数法 现在我们只学习绝对值大于 10 的数的 科学记数法 以后我们还要学习其他一些数的科学记数法 说它科学 因为它简单明了 易读易记易判断大小 在自然科学中经常运用 用字母用字母 N N 表示数 则表示数 则 这就是科学记数法 这就是科学记数法 10 1 10 n Naan 为整数 例 1 用科学记数法表示下列各数 1 1 000 000 2 57 000 000 3 696 000 4 300 000 000 5 78 000 6 12 000 000 000 解 解 1 1 000 000 6 10 2 57 000 000 7 5 7 100000005 7 10 3 696 000 5 6 96 1000006 96 10 4 300 000 000 8 3 1000000003 10 5 78 000 4 7 8 100007 8 10 6 12 000 000 000 10 1 2 100000000001 2 10 如果每次都按解的步骤去做又显得有点繁 那么利用 n 与数位的关系去做 试一试 1 1 000 000 是 7 位数 所以 n 6 即 6 10 7 2 57 000 000 是 8 位数 n 7 所以 57 000 000 7 5 7 10 3 696 000 是 6 位数 n 5 所以 696 000 5 6 96 10 4 300 000 000 是 9 位数 n 8 所以 300 000 000 8 3 10 随堂练习随堂练习 1 用科学记数法记出下列各数 8000000 5600000 740000000 2 用科学记数法记出下列各数 1 7 000 000 2 92 000 3 63 000 000 4 304 000 5 8 700 000 6 500 900 000 7 374 2 8 7000 5 例例 2 2 下列用科学记数法记出的数 原来各是什么数 1 2 3 4 6 2 10 5 9 6 10 7 7 58 10 5 4 31 10 5 6 7 8 8 6 03 10 7 5 002 10 2 5 016 10 4 7 7105 10 3 巧算 首同末和 10 1 已知 可写成 2 15225 100 11 125 8 可写成 2 25625 100 22 125 可写成 2 351225 100 33 125 则可写成 可写成 2 755625 2 857225 2 请归纳猜想得 2 105n 3 根据上面的归纳猜想 计算出 2 1995 4 给出依次排列的一列数 1 2 4 8 16 32 1 写出 32 后面的三项数 2 按照此规律 第 n 个数为 例例 比较比较和的大小 2008 2007 2007 2008 为了解决这个问题 我们先把它抽象成数学问题 写出它的一般形式 即比较和 1n n 大小 n 为正整数 然后我们从分析 n 1 2 3 这些简单情形入手 从中发现规 1 n n 律 如 1 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 5 4 4 5 6 5 5 6 猜想 2 和的大小关系是 1n n 1 n n 结论 3 2008 2007 2007 2008 小结小结 让学生回忆 做出小结 1 乘方的有关概念 乘方的符号法则和括号的作用 2 强调什么是科学记数法 以及为什么学习科学记数法 3 突出科学记数法中字母 a 的规定及 10 的幂指数与原整数位数的关系 课后作业课后作业 A A 基础演练基础演练 1 填空 9 1 平方得的数是 立方得的数是 2 16 49 64 27 2 4 2 4 3 的底数是 它表示 4 4 5 2 0 1 3 0 6 4 3 5 已知 0 则 6 若 则 0 42 2 4 ab 32 ab 5 0a 32 a b 7 若 则 a 8 在中 最大的数是 2 1 a a 55 5511 23 23 9 瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据 中得到巴尔末公式 从而打开 9 16 25 36 5 12 21 32 了光谱奥妙的大门 请你按照这种规律写出第七个数据是 10 那么的个位数字是 12345 33 39 327 381 3243 2005 3 2 选择题 1 已知 则 m n 的值为 2 120mn A 1 B 3 C 3 D 不确定 2 一个数的平方是 4 这个数的立方是 A 8 B 8 C 8 或 8 D 4 或 4 3 若 a b 为有理数 下列判断 总是正数 总是正数 22 1 ab 22 1ab 的最小值为 9 的最大值是 0 其中错误的有 2 9 ab 2 11ab A 1 B 2 C 3 D 4 3 计算 1 2 3 32 23 3 1 313 3 22 233 4 5 6 2 4 3 2 52 55 2 20037 1 8 7 8 22 2 12 14 23 2 2 2 5 5 10 B B 综合测试综合测试 1 用科学记数法记出下列各数 1 地球离太阳约有一亿五千万千米 2 地球上煤的储量估计为 15 万亿吨以上 3 月球的质量约为 7 340 000 000 000 000 万吨 4 银河系中的恒星数约为 160 000 000 000 个 5 地球绕太阳公转的轨道半径约是 149 000 000 千米 6 的空气中约有 25 000 000 000 000 000 000 个分子 3 1cm 2 一天有秒 一年如果按 365 天计算 一年有多少秒 用科学记数法表示 4 8 64 10 3 地球绕太阳转动 即地球的公转 每小时约通过千米 声音在空气中传播 每小时 5 1 1 10 约通过千米 地球公转的速度与声音的速度哪个大 3 1 2 10 4 10m 长的绳子 第一次剪去一半 第二次减去剩下的一半 如此剪下去 第 5 次后剩下的绳 子有多长 5 已知 a b 互为相反数 c d 互为倒数 x 的绝对值等于 2 试求 的值 220092009 xabcdxabcd 11 C C 探究升级探究升级 1