张书芳 直线与方程讲义5

使命使命 责任责任 学习学习 1 环球雅思教育集团环球雅思教育集团 学科教师讲义学科教师讲义 辅导科目 数学 学员姓名 年级 高一 学科教师 张书芳 课时数 3 第 1 次课 课 题直线与方程 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 目 的 1 掌握直线的倾斜角与斜率并会求解 2 熟练掌握直线的三种表示方法 点斜式 两点式和一般式 3 直线的交点坐标与距离公式 教 学 内 容 第一节第一节 直线与方程直线与方程 高考目标定位高考目标定位 一 直线的倾斜角与斜率一 直线的倾斜角与斜率 一 考纲点击 一 考纲点击 1 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线斜率的计算公式 2 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 二 热点提示 二 热点提示 1 直线的倾斜角和斜率 两直线的位置关系是高考热点 2 主要以选择 填空题的形式出现 属于中低档题目 二 直线的方程二 直线的方程 一 考纲点击 一 考纲点击 1 掌握确定直线位置的几何要素 2 掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点及一般式 了解斜截式与一次函数的关系 二 热点提示 二 热点提示 1 直线的方程是必考内容 是基础知识之一 2 在高考中多与其他曲线结合考查 三种题型可出现 属于中低档题 三 直线的交点坐标与距离公式三 直线的交点坐标与距离公式 使命使命 责任责任 学习学习 2 一 考纲点击 一 考纲点击 1 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 2 掌握两点间的距离公式 点到直线的距离公式 会求两条平行直线间的距离 二 热点提示 二 热点提示 1 本节重点体现一种思想 转化与化归的思想 这种思想是高考的热点之一 2 本部分在高考中主要以选择 填空为主 属于中低档题目 考纲知识梳理考纲知识梳理 一 直线的倾斜角与斜率一 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点 与 x 轴相交 x 轴正向 直线向上方向 直线与 x 轴平行或重合时 规定它的倾斜角为 0 0 倾斜角 的范围 00 0180 2 直线的斜率 直线的斜率 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值 而倾斜角为 0 90的直线斜率不存在 经过两点的直线的斜率公式是 每条直线都有倾斜角 但并不是每条直线都有斜率 2 两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定 1 两条直线平行 两条直线平行 对于两条不重合的直线 12 l l 其斜率分别为 12 k k 则有 1212 llkk 特别地 当直线 12 l l的斜率都不存在时 12 ll与的关系为平行 2 两条直线垂直 两条直线垂直 使命使命 责任责任 学习学习 3 如果两条直线 12 l l斜率存在 设为 12 k k 则 1212 1llk k A 注 两条直线 12 l l垂直的充要条件是斜率之积为 1 这句话不正确 由两直线的斜率之积为 1 可以得出两直线垂直 反过来 两直线垂直 斜率之积不一定为 1 如果 12 l l中有一条直线的 斜率不存在 另一条直线的斜率为 0 时 12 ll与互相垂直 二 直线的方程二 直线的方程 1 直线方程的几种形式 直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 为直线上一定点 k 为斜 率 不包括垂直于 x 轴的直 线 斜截式k 为斜率 b 是直线在 y 轴上的截 距 不包括垂直于 x 轴的直 线 两点式 是直线上两定 点 不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线 截距式a 是直线在 x 轴上的非零截距 b 是直线在 y 轴上的非零截距 不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线 一般式A B C 为系数无限制 可表示任何位 置的直线 注 过两点的直线是否一定可用两点式方程表示 不一定 1 若 直线垂直于 x 轴 方程为 2 若 直线垂直于 y 轴 方程为 3 若 直线方程可用两点式表示 2 线段的中点坐标公式 线段的中点坐标公式 若点的坐标分别为 且线段的中点 M 的坐标为 x y 则 此公式为线段的中点坐标公式 三 直线的交点坐标与距离公式三 直线的交点坐标与距离公式 使命使命 责任责任 学习学习 4 1 两条直线的交点两条直线的交点 设两条直线的方程是 两条直线的交 点坐标就是方程组的解 若方程组有唯一解 则这两条直线相交 此解就 是交点的坐标 若方程组无解 则两条直线无公共点 此时两条直线平行 反之 亦成立 2 几种距离几种距离 1 两点间的距离 两点间的距离 平面上的两点间的距离公式 特别地 原点 O 0 0 与任一点 P x y 的距离 2 点到直线的距离 点到直线的距离 点到直线的距离 3 两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注 1 求点到直线的距离时 直线方程要化为一般式 2 求两条平行线间的距离时 必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后 才能套用公 式计算 热点难点精析热点难点精析 一 直线的倾斜角与斜率一 直线的倾斜角与斜率 一 直线的倾斜角 一 直线的倾斜角 相关链接相关链接 2 已知斜率 k 的范围 求倾斜角 的范围时 若 k 为正数 则 的范围为 0 2 的子集 且 k tan 为增函数 若 k 为负数 则 的范围为 2 的子集 且 k tan 为增函数 若 k 的范围 使命使命 责任责任 学习学习 5 有正有负 则可所范围按大于等于 0 或小于 0 分为两部分 针对每一部分再根据斜率的增减性求 倾斜角范围 例题解析例题解析 例例 已知直线的斜率 k cos R 求直线的倾斜角 的取值范围 思路解析 思路解析 cos 的范围 斜率 k 的范围 tan 的范围 倾斜角 的取值范围 解答 解答 1cos1 1cos1 11 1tan1 3 0 44 3 0 44 k 即 或 倾斜角的范围为 二 直线的斜率及应用 二 直线的斜率及应用 相关链接相关链接 1 斜率公式 21 21 yy k xx 与两点顺序无关 即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同 2 求斜率的一般方法 1 已知直线上两点 根据斜率公式 21 21 21 yy kxx xx 求斜率 2 已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数根据tank 来求斜率 3 利用斜率证明三点共线的方法 利用斜率证明三点共线的方法 已知 112233 A x yB xyC xy若 123ABAC xxxkk 或 则有 A B C 三点共线 注 斜率变化分成两段 0 90是分界线 遇到斜率要谨记 存在与否需讨论 例题解析例题解析 例例 设 a b c是互不相等的三个实数 如果 333 A a aB b bC c c 在同一直线上 求证 0abc 思路解析 思路解析 若三点共线 则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在 解答解答 使命使命 责任责任 学习学习 6 三 两条直线的平行与垂直 三 两条直线的平行与垂直 例例 已知点 M 2 2 N 5 2 点 P 在 x 轴上 分别求满足下列条件的 P 点坐标 1 MOP OPN O 是坐标原点 2 MPN 是直角 思路解析 思路解析 MOP OPN OM PN MPN 是直角 MP NP 故而可利用两直线平行 和垂直的条件求得 解答 解答 0 0 1 200 2 2 1 5 2055 2 1 7 7 0 5 2 90 1 2222 2 5 1 2525 16 1 0 6 0 OMNP OMNP MPNP MPNP P xMOPOPNOMNPkk kkx xx xP x MPNMPNPkk kxkx xxxx xx P A 设 又 即 又 解得或 即或 注 注 1 充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键 对于斜率都存在且不 重合的两条直线 1 l和 2 l 若有一条直线的斜率不存 在 那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意 2 注意转化与化归思想的应用 3 利用斜率的几何意义可以证明不等式 利用两斜率之间的关系可以判断两直线的平行或 垂直 数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题 抓住问题的实质 二 直线的方程二 直线的方程 一 直线方程的求法 一 直线方程的求法 使命使命 责任责任 学习学习 7 相关链接相关链接 1 求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件 基本方法包括利用 条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量 用待定系数法求直线方程的步骤 1 设所求直线方程的某种形式 2 由条件建立所求参数的方程 组 3 解这个方程 组 求参数 4 把所求的参数值代入所设直线方程 2 求直线方程时 首先分析具备什么样的条件 然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直 线方程 要注意若不能断定直线具有斜率时 应对斜率存在与不存在加以讨论 在用截距式时 应先判断截距是否为 0 若不确定 则需分类讨论 例题解析例题解析 例例 求过点 P 2 1 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a b 且满足 a 3b 的直线方程 思路解析 思路解析 对截距是否为 0 分类讨论 设出直线方程 代入已知条件求解 得直线方程 解答 当 a 3 b 0 时 设所求直线方程为1 xy ab 即1 2 1 3 xy P bb 又直线过点 211 1 310 33 30 0 1 2 1 12 2 1 2 1 310 2 bxy bb abykx k Pk k yx xyyx 解得所求直线方程为 当时 则所求直线过原点 可设方程为 又直线过点则 所求直线方程为 综上所述 所求直线方程为或 二 用一般式方程判定直线的位置关系 二 用一般式方程判定直线的位置关系 相关链接相关链接 两条直线位置关系的判定两条直线位置关系的判定 已知直线 1111 0lA xB yC 2222 0lA xB yC 则 1 12122112211221 111 222 222 00 0 0 llABA BACA CBCB C ABC ABC ABC 且或 或记为 不为 使命使命 责任责任 学习学习 8 2 121212 0 llA AB B 3 4 例题解析例题解析 例例 已知直线 1 260laxy 和直线 2 2 1 10lxaya 1 试判断 1 l与 2 l是否平 行 2 1 l 2 l时 求a的值 思路解析 思路解析 可直接根据方程的一般式求解 也可根据斜率求解 所求直线的斜率可能不存在 故应按 2 l的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论 解答 解答 1 方法一 2 12211221 2 12 2 2 122 0 1 1 20 0 1 1 60 1 1 2020 1 1 1 60 1 6 1 ABA Ba aACA Ca a a aaa lla a aa a allll 由得由得 故当时 否则与不平行 方法二 1212 1212 12 12 1212 1 260 0 0 3 10 10 1 3 1 21 1 1 21 3 1 1 alxylxll alylxyll aa a lyxlyxa a a llaa a allll 当时 不平行于 当时 不平行于 当且时 两直线可化为 解得 综上可知 时 否则与不平行 2 方法一 使命使命 责任责任 学习学习 9 由 1212 2 02 1 0 3 A AB Baaa 得 方法二 1212 12 1 260 0 1 1 1 3 1 21 1 1 2 13 alxylxlla a alyxlyxa a aa a a A 当时 与不垂直 故不成立 当时 由 三 直线方程的应用 三 直线方程的应用 相关链接相关链接 利用直线方程解决问题 可灵活选用直线方程的形式 以便简化运算 一般地 已知一点通 常选择点斜式 已知斜率选择斜截式或点斜式 已知截距或两点选择截距式或两点式 另外 从所求的结论来看 若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长 常选用截距式或点 斜式 注 1 点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式 要注意在这两种形式中所要求直线的 斜率存在 2 截距 并非 距离 可以是正的 也可以是负的 还可以是 0 例题解析例题解析 例例 如图 过点 P 2 1 作直线l 分别为交 x y 轴正半轴 于 A B 两点 1 当 AOB 的面积最小时 求直线l的方程 2 当 PA PB 取最小值时 求直线l的方程 思路解析 思路解析 求直线方程时 要善于根据已知条件 选取适当的形式 由于本题中给出了一点 且直线与 x y 轴在正方向上分别相交 故有如下常见思路 点斜式 设l的方程为 分别求出 A B 的坐标 根据题目要求建立目 标函数 求出最小值并确立最值成立的条件 使命使命 责任责任 学习学习 10 截距式 设l的方程为 将点 2 1 代入得出 a 与 b 的关系 建立目标函 数 求最小值及最值成立的条件 根据题意 设出一个角 建立目标函数 利用三角函数的有关知识解决 解答 解答 1 方法一 设l的方程为1 2 0 yk xk 则 1 2 0 12 AB ok k 11111 2 1 2 22 4 22 4 4 22 11 4 2 11 0 A 0 b P 1 x 0 a b 为定值 1 x为参数 a 1 x a AB 的方程是 bx ay ab 0 AC 的方程是 bx ay ab 0 4 分 由点到直线的距离公式得 7 分 a 0 b 0 ab 0 ab0 b 1 x ab 0 10 分 12 分 注 注 解析法 坐标法 即通过建立平面直角坐标系 把几何问题转化成代数问题 用处理代 数问题的方法解决 这种方法是联系平面解析几何的纽带 求定值问题 应先表示出要证明为定 值的式子 最后出现定值 使命使命 责任责任 学习学习 15 感悟高考真题感悟高考真题 1 1 20102010 安徽文数 安徽文数 4 过点 1 0 且与直线 x 2y 2 0 平行的直线方程是 A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C 2x y 2 0 D x 2y 1 0 4 A 解析 设直线方程为20 xyc 又经过 1 0 故1c 所求方程为210 xy 方法技巧 因为所求直线与与直线 x 2y 2 0 平行 所以设平行直线系方程为20 xyc 代 入此直线所过的点的坐标 得参数值 进而得直线方程 也可以用验证法 判断四个选项中方程哪 一个过点 1 0 且与直线 x 2y 2 0 平行 2 20102010 上海文数 上海文数 7 圆 22 2440C xyxy 的圆心到直线3440 xy 的距离d 3 解析 考查点到直线距离公式 圆心 1 2 到直线3440 xy 距离为3 5 42413 3 20102010 山东理数 山东理数 16 已知圆 C 过点 1 0 且圆心在 x 轴上 直线补圆 C 所截得的弦长为 1l yx 2 2 则过圆心有与直线 垂直的直线的方程为 l 解析 由题意 设所求的直线方程为x y m 0 设圆心坐标为 a 0 则由题意知 22 a 1 2 a 1 2 解得a 3或 1 又因为圆心在x轴的正半轴上 所以a 3 故圆心坐标为 3 0 因为圆心 3 0 在所求的直线上 所以有3 0 m 0 即m 3 故所求的直线方程 为x y 3 0 命题意图 本题考查了直线的方程 点到直线的距离 直线与圆的关系 考查了同学们解决直 线与圆问题的能力 4 20082008 年年 全国二全国二 1111 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20 xy 与740 xy 原点在等腰三角形的底边上 则底边所在直线的斜率为 A A 3B 2C 1 3 D 1 2 考点精题精练考点精题精练 使命使命 责任责任 学习学习 16 一 选择题一 选择题 1 倾斜角为 45 在 y 轴上的截距为 1 的直线方程是 B A 01 yx B 01 yx C 01 yx D 01 yx 2 倾斜角为 45 在 y 轴上的截距为 1 的直线方程是 D A 1yx B 1yx C 1yx D 1yx 3 过点 2 1M 的直线 l 与 x 轴 y 轴的正半轴分别交于 P Q 两点 且 2MQMP 则直线 l 的方程为 D A x 2y 4 0 B x 2y 0 C x y 1 0 D x y 3 0 4 点 P 2 3 到直线 ax a 1 y 3 0 的距离 d 为最大时 d 与 a 的值依次为 B A 3 3 B 5 1 C 5 2 D 7 1 5 在平面直角坐标系中 点 A 1 2 点 B 3 1 到直线 l 的距离分别为 1 和 2 则符合条件的直 线条数为 B A 3 B 2 C 4 D 1 6 已知点到直线的距离相等 则实数的值等于 C A B C D 7 已知过点 2 Am 和 4 B m的直线与直线012 yx平行 则m的值为 B A 0 B 8 C 2 D 10 解析 4 2 8 2 m km m 8 已知0 0abbc 则直线axbyc 通过 C A 第一 二 三象限B 第一 二 四象限 C 第一 三 四象限 D 第二 三 四象限 解析 0 0 acac yxk bbbb 9 若方程014 32 22 mymmxmm表示一条直线 则实数m满足 C 使命使命 责任责任 学习学习 17 A 0 m B 2 3 m C 1 m D 1 m 2 3 m 0 m 解析 22 23 mmmm 不能同时为0 10 若点到直线的距离为 4 且点在不等式表示的平面区域内 则实数的值为 D A 7 B 7 C 3 D 3 11 设分别是中所对边的边长 则直线与 的位置关系是 B A 平行 B 垂直 C 重合 D 相交但不垂直 12 过原点和在复平面内对应点的直线的倾斜角为 D A B C D 二 填空题二 填空题 13 2010 届 广东省梅州揭阳高三联考 理 13 函数 x ey 2 图像上的点到直线 042 yx 距离的最小值是 5 14 11 若直线 1 10lmxy 与 2 250lxy 垂直 则m的值是 2 15 16 已知 A B C 三点的坐标分别是 0 2 0 0 3 1 若点 M 满足 MCAM2 点 N 满足 NBAN3 点 P 满足 PNPM 则 P 点的轨迹方程是 x2 y2 2x y 0 16 直线为参数 上与点的距离等于的点的坐标是 3 4 或 1 2 三 解答题 使命使命 责任责任 学习学习 18 17 广东汕头金平区 2010 届高三上联考 文 20 本小题满分 14 分 已知函数 x a xxf 的定义域为 0 且 2 2 2 2