正弦定理知识点与典型例题

20112011 年深圳最具影响力教育品牌年深圳最具影响力教育品牌 关注孩子成长关注孩子成长 成就孩子未来成就孩子未来 龙城国际校区龙城国际校区 8925009989250099 1 正弦定理正弦定理 基础知识点基础知识点 1 1 三角形常用公式 A A B B C C S S abab sinsin C C bcbc sinsin A A caca sinsin B B 2 1 2 1 2 1 sin A B sinC sin A B sinC cos A B cosC cos A B cosC sin A B 2 cosC 2 sin A B 2 cosC 2 cos A B 2 sinC 2cos A B 2 sinC 2 2 2 三角形中的边角不等关系 A BA Ba b a b c a bb a b c a b c 3 3 正弦定理正弦定理 2 2R R 外接圆直径 外接圆直径 A a sinB b sinC c sin 正弦定理的变式 正弦定理的变式 a a b b c c sinsin A A sin sin B B sin sin CRc BRb ARa sin2 sin2 sin2 C C asinB bsinAasinB bsinA bsinC csinBbsinC csinB asinC csinAasinC csinA sinA a 2RsinA a 2R sinB b 2RsinB b 2R sinC c 2RsinC c 2R 4 4 正弦定理应用范围 已知两角和任一边 求其他两边及一角 已知两边和其中一边对角 求另一边的对角 几何作图时 存在多种情况 如已知a b及A 求作三角形时 要分类讨论 确定 解的个数 已知两边和其中一边的对角解三角形 有如下的情况 1 A 为锐角 b ab aa b a B1B A C A C AB C B2 a bsinAbsinA ab 也可利用正弦定理进行讨论 a Ab B sin sin 20112011 年深圳最具影响力教育品牌年深圳最具影响力教育品牌 关注孩子成长关注孩子成长 成就孩子未来成就孩子未来 龙城国际校区龙城国际校区 8925009989250099 2 如果 sinB 1 则问题无解 如果 sinB 1 则问题有一解 如果求出 sinB 1 则可得 B 的两个值 但要通过 三角形内角和定理 或 大边对大角 等三角形有关性质进行判断 典型例题 例 1 在中 求 B 的大小 ABC 45 1 2 Aba 例 2 在 ABC 中 已知 B 45 求 A C 及c 3 a2 b 例 3 在 ABC 中 a 15 b 10 A 则 cosB 的值 60 例 4 在 ABC 中 AC 2 求 ABC 的面积 30 B32 AB 例 5 在 ABC 中已知 acosB bcosA 试判断 ABC 的形状 20112011 年深圳最具影响力教育品牌年深圳最具影响力教育品牌 关注孩子成长关注孩子成长 成就孩子未来成就孩子未来 龙城国际校区龙城国际校区 8925009989250099 3 例 6 在 ABC 中 试判断 ABC的形状 sin sin 2222 BAbaBAba 例 7 在 ABC 中 cos2 a b c 分别为角 A B C 的对边 则 ABC 的形状为 B 2 a c 2c 例 8 在 ABC 中 tanA cosB 若最长边为 1 则最短边的长 1 2 3 10 10 例 9 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 cos 3 A 2 2 5 5 AB AC 1 求 ABC 的面积 20112011 年深圳最具影响力教育品牌年深圳最具影响力教育品牌 关注孩子成长关注孩子成长 成就孩子未来成就孩子未来 龙城国际校区龙城国际校区 8925009989250099 4 例 10 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 acosC c b 1 2 1 求角 A 的