浅析射影几何及其应用

浅析射影几何及其应用浅析射影几何及其应用 湖北省黄冈中学湖北省黄冈中学 一 概述一 概述 射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支 研究的是在射影 变换中图形所具有的性质 在高等数学中 射影几何的定义是根据 克莱因的变换群理论与奥古斯特 费迪南德 莫比乌斯 1970 1868 的齐次坐标理论 这一部分已经涉及了群论和解析几何 但 是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的 在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探 究 对以下专题进行了研究 1 射影几何的基本概念及交比不变性 2 笛沙格定理 早期射影几何中最重要的定理之一 3 对偶原理 4 二次曲线在射影几何上的应用 5 布列安桑定理和帕斯卡定理 6 二次曲线蝴蝶定理 二 研究过程二 研究过程 1 射影几何的基本概念及交比不变性 射影几何虽然不属于高考内容 射影几何与较为容易的中学几 何具有更加抽象 难以理解的特点 但是射影几何所研究的图形的 性质是极具有吸引力的 可以说是中学几何的一个延伸 射影几何所研究的对象是图形的位置关系 和在射影变换下图 形的性质 射影 顾名思义 就是在光源 可以是平行光源或者是 点光源 图形保持的性质 在生活中 路灯下人的影子会被拉长 矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子 图形的形 状和大小发生了变化 然而 在这种变换中图形之间的有些位置关 系没有变 比如 相切的椭圆和直线在变换之后仍相切 此外 射 影几何最重要的概念之一 交比也不会发生改变 在中学的几何中 我们认为两条平行的直线是不相交的 但是 在射影几何中 我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷 远点 而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线 一 条直线有且只有一个无穷远点 平面上方向不同的直线经过不同的 无穷远点 所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线 同样在三 维空间中可类似地定义出无穷远平面 这样就扩充了两个公理 1 过两点有且只有一条直线 2 两条直线有且只有一个交点 这两条公理对普通点 即非无穷远点 和无穷远点均成立 这两条 公里是何其相似 这与对偶原理有联系 实际上这是对偶原理的根 本来源 其基本思想是 把线和点看作是对等的两类元素 这在中 学几何中几乎是无法理解的 但是通过这样 可以将点和线定义成 两种元素 两条公理可以统一为 有且只有一个元素与另外两个不 同种元素相关联 这里 相关联 的意思是 点在直线上 或 直 线通过点 所谓的射影变换 就是在一次或多次点光源或线光源的投影下 进行的变换 如图表示的是在点光源 O 为光源 射影点 和平行光源下进行的 射影变换 下面引入交比的概念 直线上四个点 可以是无穷远点 组成的点列 有顺序 A B C D 的交比定义为 DB DA CB CA CDAB 需要注意的是这里的线段都是有向线段 即需先规定直线的正 方向 交比的最基本的性质是 在射影变换下交比不变 的 故交比不变其对应角的正弦是相等和对于 同理有 两式相除得 中 由正弦定理和 证明 在 sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin DCBACDAB DOB DOA COB COA DB DA CB CA DOB DOA OB OA DB DA COB COA OB OA CB CA COB OCB OB CBCOA OCA OA CA OBCOAC 交比的不变性在射影几何中有广泛的应用 在二次曲线中也有涉及 并且 若两条直线上的对应点都具有交比不变的性质 那么这个对 应无论是怎么确定的 即使是非投影的方法 都可叫做射影对应 与此同时 我们还可定义出直线列 面列的交比 都可变成一条直 线通过他们时的四个交点的交比 这里不详尽讨论 2 笛沙格定理 笛沙格定理有空间和平面两种形式 但其本质是相同的 内容 如下 两个 或同一个 平面内有两个三角形 ABC DEF 设它们的对 应顶点 A 和 D B 和 E C 和 F 的连线交于一点 这时如果对应 边或其延长线相交 则这三个交点共线 空间形式的笛沙格定理易于证明 三点共线 故 的交线上 在 同理 的交线上 在即 证明 IHG IH GG EFGBCG 空间形式的笛沙格定理的逆定理也成立 可以用同一法给出证明 证明逆定理通过证明于交交于 证明 设 DDDPAPCFBE 值得一提的是 笛沙格定理的对偶定理是它的逆定理 平面中的笛沙格定理可以看做是空间图形 压下去了 但是实际叙 述中有很大难度 是否严谨也有待考究 平面中的证明需要用到梅 涅劳斯定理 利用它也可以对空间图形进行证明 由于超出高考范 围 这里不再深究 感兴趣的同学可以查阅资料进行探究 以上是平面中笛沙格定理的一个证明 来源 百度百科 3 对偶原理 对偶原理是射影几何中最引人注目的一个结论之一 其思想的 精髓所在 早已超出了经典几何学 延伸到物理 化学等学科中 在数学中 对偶原理被描述为 如果在一个射影几何学定理 正确 的 中把点与直线的概念对换一下 把点的共线定义换成线的共点 定义 所得命题仍然是正确的 这就是为什么要将点和线之间的关 系描述为 相关联的 下面所要介绍的布列安桑定理和帕斯卡定理 就是一组对偶定理 梅涅劳斯定理虽然和塞瓦定理形式相似 但他 们属于度量几何学 不属于射影几何学的范畴 物理学中对偶原理也有应用 例如在电磁学中 均匀导电媒质 中的恒定电场与均匀介质中的静电场对偶 电流密度矢量 J 与电位 移矢量 D 电流 I 与电荷量 q 对偶 描述的也是点与线的关系 经 典物理学中的最高成就 除了牛三大运动定律 就是麦克斯韦 J Maxwell 1831 1879 方程组 具有极强的对称性 描述了电 与磁之间的关系 只可惜天妒英才 这位伟大的物理学家在 1865 年 提出后不久就去世了 在爱因斯坦 Albert Einstein 1879 1955 提出相对论后 许多经典物理学中的公式和定义被改写 包 括牛顿三大定律 甚至对空间和时间的概念 惟一没有变化的就是 麦克斯韦方程组 具有优美数学形式 描述了自然界的本质的方程 历经沧桑之后仍能保持其本质 也是理所当然的 对偶原理是自然 界最基本的原理之一 事实上 能够被称为 原理 的命题寥寥无 几 4 二次曲线在射影几何上的应用 二次曲线是解析几何中研究的一个重要内容 有许多种定义方 法 为了更好研究它的性质 给出几种定义方法 1 平面中与两个定点 的距离之和等于定值 1 F 2 F 的动点 P 的轨迹叫做椭圆 这是我们最熟悉的 2 2 21F Faa 一种椭圆的定义方式 同样 到两个定点的距离之差为定值的 点的轨迹称为双曲线 这两个定点叫做焦点 抛物线的焦点可 以理解在一个无穷远点处 我们初中学过的反比例函数的图像 也叫做双曲线 和这里的双曲线是不是一样呢 事实上 反比 例函数是双曲线的一种特殊形式 等轴双曲线 对勾函数实际 上也是双曲线 并且有两条对称轴 以前可能以为它只有对称 中心 2 平面内到定点 F 的距离与到定直线的距离之比为定值 e 的点的 轨迹 e 就是我们熟悉的离心率 定点就是二次曲线的焦点 e 1 时为抛物线 e 1 时为双曲线 e 1 时为椭圆 3 到两个顶点斜率之积为定值的点的轨迹 定值大于 0 时为双曲 线 小于 0 为椭圆 特别地 定值为 1 时为圆 4 几何定义 用一个平面去截一个上下圆锥面 得到的交线就是 二次曲线 因为这个定义 二次曲线也被叫做圆锥曲线 圆锥 曲线这个名词实际上更常用一些 将第一种定义与这种定义统一有一个非常巧妙的证明 丹德林的球 5 形如的方程表示的曲线叫0 22 FEyDxCxyByAx 二次曲线 这就是二次曲线的解析定义 二次曲线和这种方程 是一一对应的 下面将从两个对偶的方面研究二次曲线的射影定义 圆是一种特殊的圆锥曲线 圆锥曲线可以定义为 一个圆在平面上 的投影 但这并不是纯粹的射影定义 因为圆是度量几何的内容 众所周知 圆有一个这样的度量性质 一给定圆弧对的圆周角相等 考虑圆周上的四个点 A B C D 它就和交比这个射影的概念有关 了 连接四个点与圆上的第五点 O 的四条直线 a b c d 将有交比 ab cd 并且这个交比不取决于 O 点的位置 现在把圆射影成任意二 次曲线 K 交比在射影中是不变的 这样引出 把二次曲线 K 上任 意四点 A B C D 和第五个点 O 用直线 a b c d 连接起来 交 比与 O 的位置无关 二次曲线这些射影性质 启发了我们对二次曲 线的作图采取更一般的方法 先定义通过 O 的所有直线为一线束 二次曲线上有 O O 两点 通过他们的线束可以建立这样的一一对 应 O 的线束的任意四条直线 a b c d 与 O 的线束的对应直线 有相同的交比 这一对应被称为线束之间的射影对应 显然这是点 与点之间的射影对应的对偶定义 二次曲线的纯粹射影定义为 二 次曲线是射影对应的线束中相应直线交点的轨迹 二次曲线是点的 轨迹 射影定义的圆 射影定义的等轴双曲线 橙色渐近线 用射影定义椭圆并不是很方便 因为交比并不是一个可以直接度量 的量 并且交比趋向无穷时 直线会收缩在第一个点处 下面从另一个方面研究二次曲线的性质 容易证明二次曲线这 样一个基本的射影性质 二次曲线任意的四个固定的切线与第五个 切线的交点的交比 与第五个点的位置无关 之所以说容易 是因 为很容易在园中证明这一性质 而射影后交比不变 的特殊位置 不依赖于第五条切线 而仅依赖于四条切线此推出交比的固定位置给出的 由 这四条射线的角是由出发的四条射线的投影是从点 上的圆周角 因此所对的等于弧上的圆周角 类似地 对的 所等于弧是圆心 则显然有如果 于点交的切点 切线是另一切线的四个切点 任意切线 是圆上的问题 设明这个定理是初等几何证明 对于圆来说 证 2 1 2 1 dcbaCDAB SRQPMDCBA KTQTMBK TPTMPTMPTMAMDCBA dcbaTdcba SRQP 这个定理启发我们用上一个作图方法的对偶方法 如果两条直线上 的点存在着射影对应 无论它是怎么确定的 那么它上面的四对对 应点有相同的交比 这也被称做点类之间的射影对应 它表明 一 个二次曲线 K 看做是它的切线族 是由两条射影对应的直线对应 点的连线组成的 它与上面定义的椭圆有一个同样的弊端 即交比趋于无穷时 直线 会收缩于一条定直线 二次曲线是线曲线 比较一下上面两种定义方法 一个二次曲线是由点集组成的 它是两个射影对应的线束中对应 直线的交点 一个二次曲线是由直线集组成的 它是两个射影对应的点类中连 接对应点的直线 以上两种定义方法都是有些复杂的 但是它却指出了这样一个 结论 五点确定一条二次曲线 只要把其中两个点看做射影点 剩 下三个点用于计算交比即可 这是前几种非解析的定义办法中难以 做到的 5 布列安桑定理和帕斯卡定理 布列安桑定理 六条边都和一条二次曲线相切的六边形的三条对角 线三线共点 帕斯卡定理 二次曲线的内接六边形的三对对边 所在直线 的交点 共线 这里的六边形可以是任何形状 甚至是重叠的 这里的交点当然也 包括无穷远点 显然这两个定理是对偶的 用其他初等几何的方法 也可以给出这两个定理的证明 但是利用射影几何显得更为直接简 洁 我们可以把其中的一条边投影到无穷远处 这是允许的 从而 只需对一个特殊情形进行证明 但这里的证明技巧不是所要求的 感兴趣的同学可查阅相关资料 6 二次曲线蝴蝶定理 蝴蝶定理 设 M 为二次曲线的弦 PQ 的中点 过 M 作两条弦 AB 和 CD 若 AD 和 BC 分别相交 PQ 于点 X 和 Y 则 M 是 XY 的中点 这个命题作为一个征解问题最早出现在 1815 年英国一本杂志 男士日记 登出的当年 英国一位自学成才的数学教师 W G 霍 纳给出了第一个证明 证明过程完全是初等的 另一证明由理查 德 泰勒给出 另一种早期的证明由 M 布兰德在 几何问题 1827 一书中给出 最为简便的证法是利用射影几何的证法 也 就是我们要给出的证法 英国的 J 开世在 近世几何学初编 李俨译 上海商务印书馆 1956 给出 只用了一句话 就是 线束的交比 1981 年 Crux 杂志刊登 K 萨蒂亚纳拉亚纳利用解 析几何给出一种较为简单的方法 直线束和二次曲线束 三 总结三 总结 本次综合性学习的全部内容就是关于射影几何的基本知识 各 个小组成员通力合作 积极思考 尽管在探究过程中不时遇到困难 但是在证明和绘图的技巧上进行了详细深入的讨论后 并且善于利 用信息技术进行探究 最终各个问题都得到了圆满的解决 在此要 向各位组员和提供宝贵建议的指导老师一并表示衷心的感谢 通过 这次研究性学习 大家对于经典几何学的一个重要分支 射影几 何 进行了探究 增长了自己的知识面 同时加深了对数学的精华 部分的理解和抽象思维能力 陶冶了数学情操 这对平时解题也是 大有裨益的 射影几何与中学几何的联系 给我们提供了解决中学 几何问题的一些办法 对射影几何有所了解 就可