理论力学习题解答第九章

9 1 在图示系统中 均质杆 与均质轮的质量均为 杆的长度为 OAABmOA 1 l 杆的长度为 轮的半径为 轮沿水平面作纯滚动 在图示瞬时 杆的角速度AB 2 lROA 为 求整个系统的动量 方向水平向左 1 2 5 ml 题 9 1 图 题 9 2 图 9 2 如图所示 均质圆盘半径为 R 质量为 m 不计质量的细杆长 绕轴 O 转动 角l 速度为 求下列三种情况下圆盘对固定轴的动量矩 a 圆盘固结于杆 b 圆盘绕 A 轴转动 相对于杆 OA 的角速度为 c 圆盘绕 A 轴转动 相对于杆 OA 的角速度为 a b c l R mLO 2 2 2 2 mlLO lR mLO 22 9 3 水平圆盘可绕铅直轴转动 如图所示 其对轴的转动惯量为 一质量为 m 的zz z J 质点 在圆盘上作匀速圆周运动 质点的速度为 圆的半径为 r 圆心到盘中心的距离 0 v 为 开始运动时 质点在位置 圆盘角速度为零 求圆盘角速度与角间的关系 l 0 M 轴承摩擦不计 9 4 如图所示 质量为 m 的滑块 A 可以在水平光滑槽中运动 具有刚性系数为 k 的弹簧 一端与滑块相连接 另一端固定 杆 AB 长度为 l 质量忽略不计 A 端与滑块 A 铰接 B 端装有质量 在铅直平面内可绕点 A 旋转 设在力偶 M 作用下转动角速度为常数 1 m 求滑块 A 的运动微分方程 tl mm m x mm k x sin 2 1 1 1 9 5 质量为 m 半径为 R 的均质圆盘 置于质量为 M 的平板上 沿平板加一常力 F 设 平板与地面间摩擦系数为 f 平板与圆盘间的接触是足够粗糙的 求圆盘中心 A 点的加速 度 9 6 均质实心圆柱体 A 和薄铁环 B 的质量均为 m 半径都等于 r 两者用杆 AB 铰接 无 滑动地沿斜面滚下 斜面与水平面的夹角为 如图所示 如杆的质量忽略不计 求杆 AB 的加速度和杆的内力 sin 7 4 ga 9 7 均质圆柱体 A 和 B 的质量均为 m 半径为 r 一绳缠在绕固定轴 O 转动的圆柱 A 上 绳的另一端绕在圆柱 B 上 如图所示 摩擦不计 求 1 圆柱体 B 下落时质心的加速 度 2 若在圆柱体 A 上作用一逆时针转向 矩为 M 的力偶 试问在什么条件下圆柱体 B 的质心加速度将向上 9 8 平面机构由两匀质杆 AB BO 组成 两杆的质量均为 m 长度均为 l 在铅垂平面内 运动 在杆 AB 上作用一不变的力偶矩 M 从图示位置由静止开始运动 不计摩擦 试求 当 A 即将碰到铰支座 O 时 A 端的速度 9 9 长为 l 质量为 m 的均质杆 OA 以球铰链 O 固定 并以等角速度绕铅直线转动 如 图所示 如杆与铅直线的夹角为 求杆的动能 题 9 9 图 题 9 10 图 9 10 物质量为 沿楔状物 D 的斜面下降 同时借绕过滑车 C 的绳使质量为的物体 1 m 2 m B 上升 如图所示 斜面与水平成角 滑轮和绳的质量和一切摩擦均略去不计 求楔状 物 D 作用于地板凸出部分 E 的水平压力 cosgm mm msinm Fx 1 21 21 9 11 鼓轮 重 对轮心点的回转半径为 物块重 N500 WOm2 0 AN300 Q 均质圆轮半径为 重为 在倾角为的斜面上只滚动不滑动 其中 RN400 P 弹簧刚度系数为 绳索不可伸长 定滑轮质量不计 在系统m1 0 rm2 0 RkD 处于静止平衡时 给轮心以初速度 求轮沿斜面向上滚过距离时 轮心的速度B 0B vs vB 解 轮作平面运动 物块作平动BO A 2211 VTVT 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 01 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 BBBAA JgPvgWgWvgQvT rRvrRrvvRv BBABB 000000 gPRJB 2 1 2 grRQrrWPvT B 4 23 2 222 2 01 代入已知数据得 gvT B 9 4100 2 01 同理 gvT B 9 4100 2 2 取平衡位置为各物体重力势能的零位置 有 2 1 2 1 st kV rRrsWQsPskV st sin 2 1 2 2 为确定 考虑静平衡时 及轮 由 st AO B 0 E M 得 rRrQWT 1 由 有 0 H M st kFFPT 001 0sin kPrkRkrQW st sin 代入 有 rRsrWQsP skgvkgv stBstB sin 2 1 9 4100 2 1 9 4100 2222 0 解得 2 1 2 2 0 8200 9gksvv BB 题 9 11 图 9 12 均质棒 AB 的质量为 其两端悬挂在两条平行绳上 棒处在水平位置 如kg4 m 图所示 设其中一绳突然断了 试用刚体平面运动方程求此瞬时另一绳的张力 F N8 9 F 9 13 图示机构中 物块 A B 的质量均为 两均质圆轮 C D 的质量均为 半径均mm2 为 C 轮铰接于无重悬臂梁 CK 上 D 为动滑轮 梁的长度为 绳与轮间无滑动 系RR3 统由静止开始运动 求 1 A 物块上升的加速度 2 HE 段绳的拉力 3 固定端 K 处的约束反力 gaA 6 1 mgF 3 4 mgRMmgFF kkykx 5 135 40 C B A D K E H 题 9 13 图 题 9 14 图 9 14 匀质细杆 长为 放在铅直面内与水平面成角 杆的端靠在光滑的铅直ABl 0 A 墙上 端放在光滑的水平面上 杆由静止状态在重力作用下倒下 求 1 杆在任意B 位置时的角速度和角加速度 2 当杆的端脱离墙时 杆与水平面所成的角多大 A 1 sin 3 2 arcsin 01 9 15 鼓轮重 置于水平面上 外半径 轮轴半径 对质心N1200cm90 Rcm60 r 轴的回转半径 缠绕在轮轴上的软绳水平地连于固定点 缠在外轮上的软Ccm60 A 绳水平地跨过质量不计的定滑轮 吊一重物 重 鼓轮与水平面之间的动BBN400 P 摩擦系数为 0 4 求轮心的加速度 C 解 分别取轮和重物为研究对象 轮作平面运动 设其角加速度为 轮心加速度 C C a 由题知 物加速度 raC B rRaB 对轮列平面运动微分方程 1 FTTagW C 12 2 WNfFWNWN4 00 2 rRFrRTJI 即 3 2 22 rRFrRTrgW 对重物 2 TPagP B 即 4 2 TPrRgP 2 代入 3 式 有 5 4 0 2 22 rRWrRTrgW 6 4 rR 2 2 rRTrRPrRgP 5 6 4 0 222 rRWrRPrRgPrgW 2 222 222 rad s53 2 6 09 0 8 9 400 6 06 0 8 9 1200 3 012004 0 5 1 400 4 0 rRgPrgW rRWrRP 题 9 15 图 题 9 16 图 9 16 三根匀质细杆的长均为 质量均为 铰接成一等边三角形 在CABCAB lm 铅垂平面内悬挂在固定铰接支座上 在图示瞬时处的铰链销钉突然脱落 系统由静止AC 进入运动 试求销钉脱落的瞬时 1 杆的角加速度 2 杆的角加AC AC ABBC 速度 ABBC 解 1 取为研究对象 杆长为 质量为 AClm 30 依刚体转动微分方程 mgllmgJ ACA 4 1 sin 2 1 顺时针 2 3 1 mlJA lgmlmglJmgl AAC 4 3 3 1 4 1 4 1 2 2 分别取 为研究对象 ABBC AB 1 lYlXmglJ BBABA 2 1 3 2 1 4 1 2 BC BAB Xlm 030cos 3 BBCAB Ymgllm 2 1 30sin 4 BBCD YlJ 2 1 由 2 得 5 ABB lmX 3 2 1 由 4 得 6 BCB mlY 6 1 将 5 6 式代入 1 式 化简后得 7 BCAB mlmglml 22 313 将 6 式代入 3 式 化简得 8 BCAB mlmgml 463 解 7 与 8 式得 逆时针 lg AB 55 18 将值代入 7 解得 AB 顺时针 lg BC 55 69 9 17 图示匀质细长杆 AB 质量为 m 长度为 l 在铅垂位置由静止释放 借 A 端的水滑 轮沿倾斜角为的轨道滑下 不计摩擦和小滑轮的质量 试求刚释放时点 A 的加速度 ga 2 sin31 sin4 解 解 图 a 初瞬时 以 A 为基点 则0 AB CA aaaaa ACyCxC 即 1 cos 2 cos l aaaa ACAACx 2 sin 2 sin l aa CACy 习题 9 17 图 C CA a Cy a gm A a A A a N F Cx a B a 1 Cy a D a D A N F B Cx a gm a 由平面运动微分方程 sinmgmaCx 3 singaCx 4 N cosFmgmaCy sin 2 N l FJC 即 5 sin 212 1 N 2 l Fml 解 2 4 5 联立 得 6 sin31 2sin3 2 l g 由 1 3 得 sincos 2 g l aA 6 代入 得 gaA 2 sin31 sin4 题 9 17 图 题 9 18 图 9 18 匀质细长杆 AB 质量为 m 长为 l CD d 与铅垂墙间的夹角为 D 棱是光滑 的 在图示位置将杆突然释放 试求刚释放时 质心 C 的加速度和 D 处的约束力 解 解 初始静止 杆开始运动瞬时 必沿支承处 D v 切向 即沿 AB 方向 所以此时沿 AB 方向 如图 D a a 以 D 为基点 由 tn CDCDDCyCx aaaaa 1 1 t daa CDCx 由 AB 作平面运动 2 N sinFmgmaCx 3 cosmgmaCy 4 dFml N1 2 12 1 由 3 cosgaCy 解 1 2 4 联立 习题 9 18 图 22 2 12 sin12 dl gd aCx 22 2 N 12 sin dl mgl F 9 19 匀质杆 AB 质量为 m 长为 L 两端均以速度 v0下落 且这时杆与铅垂线的夹角为 假设碰撞以后杆将绕 A 点作定轴转动 试求 1 碰撞前后的能量损失 2 B 点 与水平面即将接触时的速度 解 动量矩守恒 sin 2 1 0L mvJA Lv2 sin3 0 8 sin3 2 1 2 1 22 0 2 1 2 00 mvJTmvT A 2 2 0 sin3 4 1 1 2 1 mvT 倒下着地时 cos 2 1 2 1 2 1 2 2 1 mgLJJ AA cos 2 1 6 4 sin9 222 0 2 1 2 mgLLvmL 得 2 1 22 011 cos3sin9 4 1 gLvLuB 题 9 19 图 题 9 20 图 9 20 匀质圆柱体的质量 m 10kg 半径 r 30cm 沿水平轨道以匀速 v0 2m s 作纯滚动时 碰到高 h 6cm 的障碍 设恢复系数 e 0 A 处有足够的摩擦力 试求 1 碰撞结束时 圆柱体的角速度 2 使圆柱能超过障碍的 v0的大小 3 碰撞时动能的损失 4 碰撞冲量的水平及竖直分量 解 由对 A 点冲量矩守恒 rv hrmvJJ AA 00 00 得 m s02 1 2 1 sN 4 10sin sN13 6 cos rad s78 5 2 3 1 1 0 2 min0 0 0 v mghJv mrS rvmS rvrh A Y X 得 应满足 9 2