杨辉三角及其空间拓展

42 杨辉三角及其空间拓展杨辉三角及其空间拓展 株洲市二中 G0216 刘子儒 郭时伟 摘摘 要要 本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索 发现了其奇偶排列的等边三角 形现象 然后 在研究中 我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步 由平面杨辉三 角走向三维杨辉三角 我们在研究过程中推导出了三维杨辉三角数坐标公式 并总结出其 与三项式系数的关系 在三维杨辉三角模型的基础上我们又续而导出四维杨辉三角和N维 杨辉三角 经过努力的研究 最后归纳出了四维及N维杨辉三角数坐标公式 由此得出了N 项式展开项系数定理 在研究过程中我们还有机地结合现代计算机技术协助公式的推导 并将其付之实用 进一步完善了课题的研究 对此 还有几名著名的数学教授提出了宝贵的 意见 这些都是前人从未涉足过的领域 而这篇论文把这次研究的新颖性给淋漓尽致地体现 出来了 关关键词键词 杨辉三角 空间 公式 系数 杨辉三角 作为中国古代数学中的奇迹 在数学计算中 日常生活中 无时不刻地 展示着自己的魅力 从古至今 从中国到外国 有无数的学者为之着迷 但是 以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角 如果考虑到空间上的拓展 那在学术上是突破性的 所以我们决定对杨辉三角进行全面 深刻地分析 将其拓展到 三维 四维乃至 N 维 研究杨辉三角 是在偶然中想到的 对于多次出现在数学课本上的 杨辉三角 不 对其有些想法才是奇怪了 而恰好我的母亲又叫 杨辉 所以 小时候第一次在 十万 个为什么 中看到时就留下了深刻的印象 再加上多次 再次地在高中数学课本中 相 遇 愈发觉得亲切 一 杨辉三角的相关信息一 杨辉三角的相关信息 看似简单的一个数字列表 却蕴藏着很深的奥秘 这无疑是我国古代劳动人民智慧 的结晶 也集中地体现了数学的奥妙无穷 有了它 我们可以轻易地计算两个数的和的 几次方 甚至用来开一个数的几次方 杨辉杨辉 约十三世纪 字谦光 钱塘 今浙江杭州 人 是我国南宋时的数学家 杨 辉的数学著作有 讲解九章算法 十二卷 流传至今的只是其中的一部分 其中 开方 作法本源 载有二项式系数三角形 后人称为杨辉三角形 此外 他还著有 日用算法 二卷 乘除通变算宝 三卷 田亩比类乘除捷法 二卷 续古摘奇算法 二卷等 43 二项式展开的系数 按 图 1 1 排列成一个三角形 这里每一行的外侧的两数都是 1 中间的数字等于两肩的数的和 这一三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著 详 解九章算法 一书 1261 年 在我国通常称为杨辉三角形 杨辉在书中指出 一出 释 锁 算书 贾宪用此术 可见更早时代的贾宪已知道这一三角形了 并且 当时不仅用 这一三角来求二项展开式的系数 还用于对一个数开 n 次方 在西方 十五世纪和十六 世纪时 也有多人发现了这一三角形 国外却把它叫做帕斯卡三角形 而法国数学家帕 斯卡 Blaise Pascal 1623 1662 发现这一三角形却是十七世纪的事 比我国杨辉晚 了五百年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 首先 让我们来看看杨辉三角的某些性质 1 1 项数项数 在杨辉三角的第 n 行的项数为 n 1 2 2 系数系数 在杨辉三角形的第 n 行 各项的系数分别为 C C C C n 1 2 3 2 n 1 n 2 n n n 这与二项式定理有密切的联系 a b n Can Can 1b1 Can rbr Cbn nN 0 n 1 n r n n n 在其中令 a b 1 则 C C C C 2n 0 n 1 n 2 n n n 所以 可推出杨辉三角形的第 n 行的系数和为 2n 3 3 总项数总项数 在杨辉三角形的 n 行及以上 总的项数 K n 1 n 2 2 1 4 4 通项公式通项公式 令 C表示第几行第 m 1 个数 则这个数的系数为 C m n m n mnm n 1 1 a b 0 1 112 313 614 10151105 1 14 a b 1 a b 2 a b 3 a b 4 a b 5 20 图 1 1 44 所以这个数为 M C an mbm m n mnm ban mmn 5 5 最大值 最大值 在杨辉三角的第几行中 mN 当 n 2m Km C 即中间的一项 n 2 n 当 n 2m 1 Km C 或 Km C 即中间的两项 1 2 n n 1 2 n n 以上是我们查阅的资料 再来看看我们自己的发现 如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出 便又会出现一种奇特的现象 所有 的偶数都会呈现出倒立的等边三角形状排列 而奇数都成正立三角形排列 且等边三角形 偶数 的边长依次为 3 7 15 31 63 经过反复思考比对 我们又发出现了其中 的规律即 3 22 1 7 23 1 15 24 1 31 25 1 即所有的偶数依次排出以 2n 1 nN 的 A B 图 5 1 45 长度为边长的倒立的等边三角形 以上种种的性质都向我们展示了杨辉三角独特的魅力 那么 它在解题中有哪些运 用呢 例 如图 5 1 有一只猫在 A 点 它要跑到老鼠所在的 B 点 要求它只能向上或向右 跑 问有几种跑法 如图 本题的背景正是著名的杨辉三角形 只需以 A 点为顶点 依次排出杨辉三角 容易解得共有 35 种走法 这是信息学中典型的有向图的问题 或许信息学的朋友对信息题的数学解法并不陌生 但想不到还可以用杨辉三角解有向图吧 以上的例子还有很多很多 这里就不一一列举了 这也已经足以反映杨辉三角的魅 力之所在了 二 二维直角坐标系中的杨辉三角二 二维直角坐标系中的杨辉三角 为了研究方便 我借鉴平面直角坐标系将杨辉三角放了进去 正如图所示 在平面 直角坐标系里 杨辉三角成了直角三角形了 且它还具有一个特点 就是这个平面直角 坐标系是由两个直角坐标系重叠而成的 图 7 1 1 1 1 1 41020 11 234 36 10 35 1 1 5 15 1 1 51535 6 21 126 70 56 图 7 2 b2 b1 b0 a1 ab3a2b3a3b3 a2a3 aba2ba3b ab2 a2b2a3b2 a4b3 a4a5 a4b a4b2 b4 b3 ab4a2b4a3b4 a5b a5b2 a5b4a4b4 a5b3 一边是杨辉三角的系数的坐标系 另一边是 a b 各项的次数的坐标系 当两者合并 A B 1111 4102035 361015 2345 1 1 1 1 图 5 2 1 1 b 3 1 1 1 410 ab3 a b 2 a b 3 a b 1 a b 0 b 2 b 1 b 0 a 1 a2b3 a3b3 20 1 a 2 1 a 3 1 a 4 23 ab a2b a3b 4 36 ab2 a2b2 a3b2 10 a 0 a b 图 2 1 46 P C y yx x n m y m m y n x y 成为新的杨辉三角形时 一切的运算与规律都已经系统化了 沿着经过整点的斜率为 1 的线 我们轻易地可以找到 a b n的系数与项数 这也就是坐标系 系统化的杨辉三角 二项式定理 既然是在平面直角坐标系中 这里只考虑整点 点与坐标就会有一一对应的关系 这其中就必然有规律 经过我们的推理 得出了杨辉三角的平面公式 本来杨辉三角第 n 行 0 1 2 m n 1 各数 则第 m 1 个数 Pm C m n 当呈直角坐标系时 这就系统地表达了杨辉三角的内含 这更有助于我们研究其规律 及研究二项式的 展开项 三 三维直角坐标系中的杨辉三角三 三维直角坐标系中的杨辉三角 当研究了二维直角坐标系中的杨辉三角后 就很自然地想到三维直角坐标系 我们 完全可以将 3 个二维直角坐标系中的杨辉三角放在一起 组成三维直角坐标系中的杨辉 三角 47 图 9 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 6 B C A D 图 8 1 1 1 1 1 410 20 1 1 2 3 4 3610 35 1 5 15 1 1 5153570 5 5 5 5 15 15 15 15 35 35 35 3570 70 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 6 6 10 10 10 10 20 20 6 12 12 12 Y b Z c X a 正如上图 我们得到了一组在空间有序排列的数字 这就是我们的立体杨辉三角 那么 它又有哪些性质呢 对此我们再度展开了研究与探索 立体杨辉三角中的每一个平面内都是一个杨辉三角的平面型 所以它就包含了一般 杨辉三角的所有性质 其中最主要的当然是对二项展开式系数的表示 对于 a b n 在 面的斜线上我们依次可以找到各项 系数分别是 C C C C C n N 0 n 1 n 2 n 3 n n n 纵观整位体图 我们发现 以 原点为顶点 过坐标轴上某一顶点 截下一个正三棱锥 以下图为例 我们截下立体杨辉三角中的正 三棱锥 O ABC 首先 沿底边依次 有数字 1 3 3 1 3 3 1 3 3 这 到底有什么规律呢 我们一时还看 不出来 但仔细一算 我们还忽略 了一点重要的地方 假设点 O 到 48 ABC 的距离为 d 则有 OBCAABCO VV OASdS OBCABC 3 1 3 1 OAOCOBdBACSinACAB 2 1 3 1 2 1 3 1 3 d 又3111 222 OD D 在面 ABC 上 所以 这个三棱锥底面上的数字为 1 3 3 1 3 3 1 3 3 6 同样也 我们共截下了 3 个正三棱锥 它们底边的数字为 1 1 1 CBAO 1 2 1 2 1 2CBAO 1 3 3 1 3 3 1 3 3 6ABCO 这时 我们发现 cbacba 1 accbcbabacba222 2222 abcbcacccbabbcabaacba6333333 2232232233 我们又继续地研究 发现这确实是我们的立体杨辉三角的规律 有了它 我们可以做出 三项式的展开项的系数 即 在面对这样的式子时 我们可以轻易地知 n cba 道它的每一项的系数了 在古希腊 毕达哥拉斯学派把 1 3 6 10 15 这些数 即 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 称作三角形数 因为它们可以组成正三角形 如图 而我们作的各个正三棱锥的底面上的整点数 包括原点 也正好符合三角形数的原 理 而且最重要的 也是与平面的杨辉三角形的联系最紧密的是 它们正好是 49 的各项系数 为了更清淅地观察 我们又做了立体三维的实物模型 n cba 与平面的杨辉三角形类似 我们又做了另一个空间直角坐标系 让三条轴分别为 A B C 三轴 轴上标出它们的项数递推 这样一来 将两个空间直角坐标系合并后 我们便能得到将系数 项数合并系统化 的杨辉三角立体图 在实物模型上 我们可以更好地分析出各数字之间的关系 但我们又把目标瞄向了 杨辉三角的立体公式 公式推导 设在空间直角坐标系中有一点 P x y z 首先 过 y 0 作 x z 平面的平行截面 并以此为 标一 过 y 1 作 x z 平面的平行截面 我们发现 当过 y y0作 x z 平面的平行截面时 x z 轴 上的坐标依次变成了 标一 中 x 或 z y0的那一 行坐标 即 1 y y C 1 y y C 2 y y C 3 y ny C 过截面的某一点 P x z 做 K 1 的直线 与 x 轴交于一点 这一点的坐标为 令 P y zyx C 点的系数为 MP 在 标一 中对应一点 P x z z x54 1 x 32 2 3 4 5 1 20 1 2 3 0 2012 3 6 2 b 2 z x1111 1 1 1 1 1 4 36 43 3 2 2 b 2 50 令 P 的系数为 MP 则有 MP MP y zyx C 根据以上两点规律 便可作出证明 过 y y0作 x z 平面的平行截面 则 P 在截面内的 x0 z0 过 P 做 K 1 的直线交 x 轴于第 x0 z0 个点 对应而 P x0 z0 在 标 y zyx C 一 内对应系数 MP x zx C MP y zyx C x zx C 公式 对于 a b c n的展开项 axbycz x y z n 的系数 P 有 P y zyx C x zx C 四 四 N N 维杨辉三角与维杨辉三角与 N 1N 1 维杨辉三角之间的关系维杨辉三角之间的关系 平面的杨辉三角可以求出 n aa 21 立体的杨辉三角可以求出 n aaa 321 我们认为 拼凑了一定数量的杨辉三角形必可以求出 a1 a2 am n的各项系数 然而 我们的运算能力毕竟有限 要想推导出针对 N 维的公式有一定的难度 经过 多次失败后 我们转向推导 N 维的递推公式 根据平面杨辉三角和立体杨辉中数的规律 我们有了以下发现 我们可以拿出平面杨辉三角和立体杨辉三角进行比较 分析一下它们的共同特点就 可清楚地看到 平面杨辉三角是二二维 的 在其中任取一点 p p 点所对应的数 P x y P x 1 y P x y 1 P x y 表示在平面杨辉三角中 p 点所对应的数 立体杨辉三角是三维 的 在其中任取一点 p p 点所对应的数 P x y z P x 1 y z P x y 1 z P x y z 1 所以 我们认为在四维杨辉三角中任取一点 p p 点所对应的数 P w x y z P w 1 x y z P w x 1 y z P w x y 1 z P w x y z 1 道理很简单 四维坐标系有四个坐标轴 一个非特殊点对应四个坐标 再拓展到 维便可得到以下公式 同在 N 维的点所对应的 N 维杨辉三角数 系数 之间的关系 Pn a1 a2 a3 an 1 an Pn a1 1 a2 an Pn a1 a2 1 a3 an P a1 a2 at 51 P w x y z P x y z P w x y z 1 an Pn a1 a2 an 1 其中 Pn a1 a2 a3 an 1 an 表示 n 维坐标系中的 P 点所对应的系数 a1 a2 a3 an 1 an表示 n 维坐标系中的 P 点的 n 个坐标 这实际上就是把平面杨辉三角的递推公式空间 化 注 P x y P y x 在 Pn a1 a2 a3 an 1 an 中坐标可任意交换值不改变 当 p 点的 x y z 中有一个为 0 时 p 的值就等于平面杨辉三角数了 P y z x 0 P x z y 0 P x y z 0 当 p 点的 w x y z 中有一个为 0 时 p 的值就等于平面杨辉三角 数了 P x y z w 0 P w y z x 0 P w x z y 0 P w x y z 0 这时我们发现 N 维与 N 1 维的点的杨辉三角数 系数 的关系 当 Pn a1 a2 a3 an 1 an 的 a1 a2 a3 an 1 an中有一个坐标为 0 时 Pn a1 a2 a3 an 1 an Pn 1 a1 a2 a3 at 1 at 1 an 1 an at 0 五 四维及五 四维及 N N 维的杨辉三角数 系数 公式维的杨辉三角数 系数 公式 求 N 维杨辉三角数公式的关键突破点在于四维杨辉三角数公式 只要四维杨辉三角 数公式求出来了 N 维就好办了 先前我们之所以没有进行四维杨辉三角数公式的推导是因为 无论从四维坐标系方 面还是从 a1 a2 a3 a4 n的展开项的系数来看 数字都过大 不便于运算 现在有了 N 维 递推程序 我们可以用它来进行复杂的数字运算 我们在前面发现发现了四维与三维杨辉三角数之间的关系 P x y z w 0 P w y z x 0 P w x z y 0 P w x y z 0 P w x y z P w 1 x y z P w x 1 y z P w x y 1 z P w x y z 1 这两个公式体现了四维与三维杨辉三角数之间的递归关系 通过数学归纳法可得出 P w x y z P x y z w zyxw C 再把公式 代入 最终求出四维杨辉三角数公式 52 P w x y z w zyxw C z zyx C y yx C 同理可得 N 维杨辉三角数递推公式 Pn a1 a2 a3 an 1 an Pn 1 a1 a2 a3 an 2 an 1 an anaa C 21 再对公式 递归可得 N 维杨辉三角数公式 Pn a1 a2 a3 an 1 an an anaa C 21 3 321 a aaa C 2 21 a aa C 六 小结六 小结 经过我们的研究 最终得出了以下成果 杨辉三角数公式 杨辉三角数公式 平面杨辉三角中位于 P x y 点的杨辉三角数 P x y y yx C 对应为 a b n的展开项 axby的系数 立体杨辉三角中位于 P x y z 点的杨辉三角数 P x y z z zyx C y yx C 对应为 a b c n的展开项 axbycz的系数 四维杨辉三角中位于