八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析

1 初二数学初二数学第十一章全等三角形综合复习第十一章全等三角形综合复习 切记 有三个角对应相等 和 有两边及其中一边的对角对应相等 的两个三角形 不一定全等 例例 1 如图 四点共线 求 A F E BACCE BDDF AEBF ACBD 证 ACFBDE 思路 思路 从结论入手 全等条件只有ACFBDE 由两边同时减去得到 又得到一个全等条件 还缺少ACBD AEBF EFAFBE 一个全等条件 可以是 也可以是 CFDE AB 由条件 可得 再加上 ACCE BDDF 90ACEBDF AEBF 可以证明 从而得到 ACBD ACEBDF AB 证明证明 ACCE BDDF 90ACEBDF 在与中Rt ACE Rt BDF AEBF ACBD HL Rt ACERt BDF AB AEBF 即 AEEFBFEF AFBE 在与中ACF BDE AFBE AB ACBD SAS ACFBDE 思考思考 本题的分析方法实际上是 两头凑 的思想方法 一方面从问题或结论入手 看还需要什么条件 另一方面从条件入手 看可以得出什么结论 再对比 所需条件 和 得出结论 之间是否吻合或具有明显的联系 从而得出解题思路 小结 小结 本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件 而且告诉我们如何去分 析一个题目 得出解题思路 例例 2 如图 在中 是 ABC 的平分线 垂足为 求证 ABC BEADBE D 21C 2 思路 思路 直接证明比较困难 我们可以间接证明 即找到 证明21C 且 也可以看成将 转移 到 2 1C 2 那么在哪里呢 角的对称性提示我们将延长交于 则构造了 FBD ADBCF 可以通过证明三角形全等来证明 2 DFB 可以由三角形外角定理得 DFB 1 C 证明证明 延长交于ADBCF 在与中ABD FBD ASA 90 ABDFBD BDBD ADBFDB ABDFBD 2DFB 又 1DFBC 21C 思考思考 由于角是轴对称图形 所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形 例例 3 如图 在中 为延长线上一点 点在ABC ABBC 90ABC FABE 上 连接和 求证 BCBEBF AE EFCFAECF 思路 思路 可以利用全等三角形来证明这两条线段相等 关键是要找到这两个三角形 以线 段为边的绕点顺时针旋转到的位置 而线段正好是AEABE B90 CBF CF 的边 故只要证明它们全等即可 CBF 证明证明 为延长线上一点 90ABC FAB 90ABCCBF 在与中ABE CBF ABBC ABCCBF BEBF SAS ABECBF AECF 思考思考 利用旋转的观点 不但有利于寻找全等三角形 而且有利于找对应边和对应角 小结 小结 利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法 但有时不容易找到需证明的 三角形 这时我们就可以根据需要利用平移 翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用 辅助线构造全等三角形 3 例例 4 如图 求证 ABCDADBCABCD 思路 思路 关于四边形我们知之甚少 通过连接四边形的对角线 可以把原问题转化为全等 三角形的问题 证明证明 连接AC ABCDADBC 12 34 在与中ABC CDA 12 43 ACCA ASA ABCCDA ABCD 思考思考 连接四边形的对角线 是构造全等三角形的常用方法 例例 5 如图 分别是外角和的平分线 它们交于点 求证 AP CPABC MAC NCA P 为的平分线 BPMBN 思路 思路 要证明 为的平分线 可以利用点到的距离相等来证明 BPMBN P BM BN 故应过点向作垂线 另一方面 为了利用已知条件 分别是和P BM BN AP CPMAC 的平分线 也需要作出点到两外角两边的距离 NCA P 证明证明 过作于 于 于PPDBM DPEAC EPFBN F 平分 于 于 APMAC PDBM DPEAC E PDPE 平分 于 于 CPNCA PEAC EPFBN F PEPF PDPE PEPF PDPF 且于 于 PDPF PDBM DPFBN F 为的平分线 BPMBN 思考思考 题目已知中有角平分线的条件 或者有要证明角平分线的结论时 常过角平分线上 的一点向角的两边作垂线 利用角平分线的性质或判定来解答问题 4 例例 6 如图 是的边上的点 且 是DABC BCCDAB ADBBAD AE 的中线 求证 ABD 2ACAE 思路 思路 要证明 不妨构造出一条等于的线段 然后证其等于 因2ACAE 2AEAC 此 延长至 使 AEFEFAE 证明证明 延长至点 使 连接AEFEFAE DF 在与中ABE FDE AEFE AEBFED BEDE SAS ABEFDE BEDF ADFADBEDF ADCBADB 又 ADBBAD ADFADC ABDF ABCD DFDC 在与中ADF ADC ADAD ADFADC DFDC SAS ADFADC AFAC 又 2AFAE 2ACAE 思考思考 三角形中倍长中线 可以构造全等三角形 继而得出一些线段和角相等 甚至可以 证明两条直线平行 例例 7 如图 在中 为上任意一点 求证 ABC ABAC 12 PAD ABACPBPC 5 原图 法一图 法二图 思路 思路 欲证 不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明 由于ABACPBPC 结论中是差 故用两边之差小于第三边来证明 从而想到构造线段 而构造ABAC 可以采用 截长 和 补短 两种方法 ABAC 证明证明 法一 在上截取 连接ABANAC PN 在与中APN APC 12 ANAC APAP SAS APNAPC PNPC 在中 BPN PBPNBN 即 AB AC PB PC PBPCABAC 法二 延长至 使 连接ACMAMAB PM 在与中ABP AMP 12 ABAM APAP SAS ABPAMP PBPM 在中 PCM CMPMPC ABACPBPC 思考思考 当已知或求证中涉及线段的和或差时 一般采用 截长补短 法 具体作法是 在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段 再设法证明较长线段的剩余线段等于另 外的较短线段 称为 截长 或者将一条较短线段延长 使其等于另外的较短线段 然后 证明这两条线段之和等于较长线段 称为 补短 小结 小结 本题组总结了本章中常用辅助线的作法 以后随着学习的深入还要继续总结 我 们不光要总结辅助线的作法 还要知道辅助线为什么要这样作 这样作有什么用处 同步练习同步练习 一 选择题 1 能使两个直角三角形全等的条件是 6 A 两直角边对应相等B 一锐角对应相等 C 两锐角对应相等D 斜边相等 2 根据下列条件 能画出唯一的是 ABC A B 3AB 4BC 8CA 4AB 3BC 30A C D 60C 45B 4AB 90C 6AB 3 如图 已知 增加下列条件 12 ACAD ABAE BCED 其中能使的条件有 CD BE ABCAED A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 4 如图 交于点 下列不正确的是 12 CD AC BDE A B DAECBE CEDE C 不全等于D 是等腰三角形DEA CBE EAB 5 如图 已知 则等于 ABCD BCAD 23B D A B C D 无法确定67 46 23 二 填空题 6 如图 在中 的平分线交于点 且ABC 90C ABC BDACD 则点到的距离等于 2 3CD AD 10ACcm DABcm 7 如图 已知 是上的两点 且 若ABDC ADBC E FBDBEDF 则 100AEB 30ADB BCF 7 8 将一张正方形纸片按如图的方式折叠 为折痕 则的大小为 BC BDCBD 9 如图 在等腰中 平分交于 Rt ABC 90C ACBC ADBAC BCD 于 若 则的周长等于 DEAB E10AB BDE 10 如图 点在同一条直线上 且 若 D E F BABCDAECFAECF 则 10BD 2BF EF 三 解答题 11 如图 为等边三角形 点分别在上 且 与ABC M N BC ACBMCN AM 交于点 求的度数 BNQAQN 8 12 如图 为上一点 交90ACB ACBC DABAECD BFCD 延长线于点 求证 CDFBFCE 9 同步练习的答案同步练习的答案 一 选择题 1 A2 C3 B4 C5 C 二 填空题 6 47 8 9 1010 670 90 三 解答题 1