第三章--矩阵的初等变换与线性方程

1 3 13 1 基本内容基本内容 3 23 2 典型例题典型例题分分析析 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 3 13 1 基本内容基本内容 3 1 1 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是一种十分重要的运算方法 它在解先行方程组 求逆矩阵及矩阵 理论的探讨中都有重要的作用 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 1 对调两行 对调两行 记着 ji ji rr 2 以数乘某一行中的所有元素 第 行乘 记着 0 kikkri 3 把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去 第行的倍加到第 行 kjki 记着 ji krr 把定义中矩阵的行换成列 即得矩阵的初等列变换的定义 所用记号把换成 rc 矩阵的初等行变换和初等列变换统称初等变换 初等变换都是可逆的 且其逆变换仍是 同一类的初等变换 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与矩阵B等价 记着BA 矩阵之间的等价关系满足下列性质 1 反身性 AA 2 对称性 若 则 BA AB 3 传递性 若 则 BA CB CA 3 1 2 初等矩阵 由单位矩阵 E 经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵 jiE 1 1 01 1 10 1 1 第 列 第列ij 2 第 行 kiE 1 1 1 1 ki kijE 1 1 1 1 k 经验证 可得下述定理 设 A 是一个矩阵 对 A 施行一次初等行变换 相当于在 A 的左边乘以相应nm 的 阶初等矩阵 对 A 施行一次初等列变换 相当于在 A 的右边乘以相应的 阶mn 初等矩阵 设 A 是可逆矩阵 则存在有限个初等矩阵 使得 A l PPP 21l PPP 21 证明 因为 所以 E 经过有限次初等变换可变成 A 即则存在有限个初等矩阵EA 使得 l PPP 21 APEPPPP lrr 121 即 得证 l PPPA 21 推论 矩阵的充要条件是 存在着阶可逆矩阵及阶可逆矩阵 nm BA mPnQ 使得BPAQ 根据此定理 可得到一种求逆矩阵的方法 由 l PPPA 21 有 EAPPP l 11 2 1 1 及 1 11 2 1 1 AEPPP l 即 3 1 11 2 1 1 AEEAPPP l 即对阶矩阵施行初等行变换 把A变成E时 原来的E就变成nn 2 EA 1 A 3 1 3 矩阵的秩 在矩阵A中 任取行列 位于这些行列处交叉处的个元nm kknkmk 2 k 素 不改变它们在A中所处的位置秩序而得的阶行列式 称为A的阶子式 kk 设在矩阵A中有一个不等于0的阶子式D 且所有阶子式 如果存在的话 全r1 r 等于0 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式 数称为矩阵A的秩 记着r AR 注 零矩阵的秩规定为 0 3 1 4 线性方程组的解 利用方程组的系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩 可以方便的讨论线性方程组 的解bAx 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩 n0 xA nm nAR 元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩 等于增nbxA nm AR 广矩阵 B 的秩 即 bA BR bARAR 3 23 2 典型例题分析典型例题分析返回 例1 求解方程组 97963 42264 42 22 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解 对应的增广矩阵为 bAB 97963 42264 41211 21112 2 3 21 r rr 97963 21132 21112 41211 1 B 4 1 14 3 32 3 2 rr rr rr 34330 63550 02220 41211 2 B 31000 62000 01110 41211 3 B 00000 31000 01110 41211 4 B 00000 31000 30110 40101 5 B 对应方程组 5 B 3 3 4 4 32 31 x xx xx 取为自由未知量 令 即得 3 xcx 3 3 3 4 4 3 2 1 c c c x x x x x 3 0 3 4 0 1 1 1 c 其中为任意常数 c 对于任意的矩阵A 总可以经过初等变换把它化为标准形nm F nm R OO OE 例2 求矩阵A与B的秩 5 A B 152 110 121 00000 20000 01230 10123 解 在A中 有一个2阶子式 其3阶子式 所以 2 01 10 21 0 A AR B是一个阶梯形矩阵 其非零行有3行 因此3 BR 若 则 BA AR BR 例3 设矩阵A 41461 35102 16323 05023 求矩阵A的秩 并求A的一个最高阶非零子式 解 对A作初等变换 化为阶梯形矩阵 A 41461 35102 16323 05023 12812610 1179120 11340 41461 84000 84000 11340 41461 6 00000 84000 11340 41461 因为行阶梯形矩阵有3个非零行 所以 3 AR 对应于阶梯形矩阵 在A中有016 502 623 523 所以这个子式便是A的一个最高阶非零子式 例 4 设矩阵 求逆矩阵 523 012 101 A 1 A 解 AE 100523 010012 001101 103220 012210 001101 127200 012210 001101 2 1 1 2 7 100 115010 2 1 1 2 5 001 7 所以 1 A 2 1 1 2 7 115 2 1 1 2 5 例 5 求解齐次线性方程组 034 0222 022 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解 对系数矩阵 A 施行初等行变换 化为行最简形矩阵 A 3411 2212 1221 4630 4630 1221 0000 3 4 210 1221 0000 3 4 210 3 5 201 由此可得与原方程同解的方程组 8 可任意取值 432 431 3 4 2 3 5 2 xxx xxx 43 xx 令 即得 2413 cxcx 24 13 212 211 3 4 2 3 5 2 cx cx ccx ccx 其中为任意常数 写成向量为 21 c c 4 3 2 1 x x x x 2 1 21 21 3 4 2 3 5 2 c c cc cc 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 21 cc 例 6 求解非齐次线性方程组 233 3332 1 321 321 321 xxx xxx xxx 解 对增广矩阵 A b 施行初等行变换 化为行最简形矩阵 A b 2331 3332 1111 1440 1110 1111 9 5000 1110 1111 所以方程组无解 3 2 bARAR 例 7 求解非齐次线性方程组 22 1242 12 54321 54321 5421 xxxxx xxxxx xxxx 解 对增广矩阵 A b 施行初等行变换 A b 212111 124112 112011 124120 148110 112011 3612300 148110