第三章-表示力学量的算符-习题答案

1 第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 1 证明 厄米算符的平均值都是实数 在任意态 证 由厄米算符的定义 F dFd 厄米算符的平均值 F FF d Fd Fd Fd F d F 即厄米算符的平均值都是实数 2 判断下列等式是否正确 1 HTU 2 HTU 3 HETU 解 1 2 正确 3 错误 因为动能 势能不同时确定 而它们的平均值却是同时确定 3 设归一化 是的本征函数 且 x k F kk k xcx 1 试推导表示式 k C 2 求征力学量 F 的态平均值 x 2 kk k FcF 3 说明的物理意义 2 k c 解 1 给左乘再对积分 x m x x mmkkk xx dxxcx dx kmk k cxx dx 因是的本函 所以具有正交归一性 x F x 2 mkmkkk kk xx dxcxx dxcmkc mk km cxx dx 2 是的本征函数 设其本征值为 则 k F k F kkk FF mkmkk k FFdxFcdx mmkkk k cx Fc dx mkkmkx mk c c Fd mkkmk mk c c F 2 kk k cF 即 2 kk k FcF 3 的物理意义 表示体系处在态 在该态中测量力学量 F 得到本征值 2 k c 的 k F 几率为 2 k c 4 一维谐振子处于基态 0 x 态 求该态中 1 势能的平均值 22 1 2 Ux 2 动能的平均值 2 2 p T 3 动量的几率分布 解 1 dxexxU x2 2 2222 2 1 2 1 2 2 2 22 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 1 3 2 2 1 0 1 3 5 21 2 nax nn n x edx aa 2 dxxpx p T 2 1 2 2 2 dxe dx d e xx 2222 2 1 2 2 2 2 1 2 1 dxex x2 2 1 2 222 2 2 2222 222 2 dxexdxe xx 2 2 3 22 2 4422 2 2 2 2 2 4 1 或 4 1 4 1 2 1 UET 3 dxxxpc p 2 1 22 2 1 dxee Px i x dxee Px i x 22 2 1 2 1 dxe pip x 22 2 2 2 2 2 2 1 2 1 dxee ip x p 2 2 2 22 2 2 1 2 2 1 2 2 1 22 2 2 p e 22 2 2 1 p e 动量几率分布函数为 4 22 2 1 2 p epcp 5 氢原子处于 态 求 0 3 0 1 r a re a 1 r 的平均值 2 e2 r 的平均值 3 最可几半径 4 动能平均值 解 1 drddrre a drrr ar sin 1 0 2 2 00 2 3 0 2 0 0 23 3 0 0 4 drar a ar 1 0 nax n n x edx a 0 4 0 3 0 2 3 2 34 a a a 0 2 2 0 3 0 2 0 2 3 0 2 0 2 00 2 3 0 2 0 2 00 2 2 3 0 22 2 14 4 sin sin 1 2 0 0 0 a e a a e drre a e ddrdre a e ddrdre ra e r e U ar ar ar 3 电子出现在 r dr 球壳内出现的几率为 0 2 0 22 sin ddrdrrdrrdrre a ar2 2 3 0 0 4 2 2 3 0 0 4 re a r ar 0 2 0 3 0 2 2 4 ar rer aadr rd 5 令 0321 0 0 arrr dr rd 与 当为几率最小位置0 0 21 rrr 与与 0 22 2 00 3 0 2 2 48 2 4 ar er a r aadr rd 0 8 2 3 0 2 2 0 e adr rd ar 是最可几半径 0 ar 4 2 2 2 2 2 1 pT 22 222 111 sin sinsin r rrr 0 2 00 2 2 3 0 2 sin 1 2 00 ddrdree a T arar 0 2 00 2 2 2 3 0 2 sin 11 2 00 ddrdre dr d r dr d r e a arar 0 0 2 0 3 0 2 2 1 2 4 0 dre a r r aa ar 2 0 22 0 2 0 4 0 2 2 44 2 2 4 a aa a 6 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为 0 eer JJ 2 sin en m e m J r 证 电子的电流密度为 2 mnmnmnmne i eJeJ 在球极坐标中为 sin 11 r ee rr er 式中为单位矢量 eeer 6 sin 11 sin 11 2 mnrmn mnrmne r ee rr e r ee rr e i eJeJ sin 1 sin 1 1 1 2 mnmnmnmnmnmn mnmnmnmnmnmnr rr e r r e rr e ie 中的和部分是实数 mn r eimim r ie J mnmne sin2 22 e r me mn 2 sin 可见 0 eer JJ 2 sin mne r me J 7 由上题知 氢原子中电流可看作许多圆周电流组成 1 求一圆周电流的磁矩 2 求证氢原子磁矩为 z MM 2 me 解 1 一圆周电流的磁矩为 为圆周电流 AdSJiAdM e i 为圆周所围面积 A 2 2 sin sin rdS r me mn dSr me mn 2 sin drdr me mn 2 2 sin rdrddS 2 氢原子的磁矩为 00 2 2 sindrdr me dMM mn 7 00 2 2 sin2 2 drdr me mn ddrdr me mn 2 000 2 2 sin 2 2 me SI 原子磁矩与角动量之比为 2 SI e L M L M zz z 8 求一维无限势阱中粒子动量与位置的测不准关系 22 xp 解 设宽为 a 的一维无限势阱的波函数为 sin 2 vnx xa aa 2 22 xxx 2 22 ppp 2 2 xxdx 22 1 sin 2 a a n xxa dx aa 2 12 1 cos 22 a a n xxa dx aa 32 111 cos 232 a a a a n xxxa dx aaa 2 2 1 sin 32 a a aan x dxa a na 2 2 1 sin 2sin 32 a a a a anxn xxaxa xdx nxaa 2 1 cos 3 a a an xdxa na 2 22 cos cos 3 a a a a aannx xxaxa dx n xaa 22 22 2 0 3 aa n x 8 22 22 2 3 aa n x 2 1 sin 2 n xxxa dx aa 1 cos 2 n xxxa dx aa 11 cos 22 aa aa n xdxxxa dx aaa 1 sin 2 a a an xdxa a nxa 1 sin sin 2 nxnx xxaxa dx nxaa 0 pp dx 1 sin sin 22 nxn xa ixa dx aaxa sin cos 222 innn xaxa dx aaaa 2 sin 4 i nnx xa dx aa 0p 2 2 ppdx 2 2 sin 2 nx xa dx aa 2 2 2 sin 22 nxnx xa dx aaa 222 3 2 1 cos 2 42 nn xadx aa 222222 33 2cos 88 nn xn axa dx aaa 222 2 4 n x a 22 2 22 22 2 3 aa xxx n 9 222 2 22 2 4 n ppp a 2222222222 22 222 2 343 424 aann x xp na 9 证明氢原子中电子与是守恒量 2 L z L 证明 氢原子的哈密顿算符 22 2 22 22 L Hru r rrrr 因与是相互对易的 且与也是对易的 2 L r 2 L 2 L 2 22 22 11 sin sinsin L 2 0L H 与 t 无在 只与有关 2222 xyz LLLL x L y L z L x y z 2 0 L t 3 0 L t 又 与也是对易的 且 3 L r 2 2 0L L 0 z L H 氢原子中电子和是守恒量 2 L z L 判断守恒量的条件 与 t 无关 且与哈密顿算符对易 10 设线性谐振子处于描述状态 则在该态中 能量可能取哪些 01 13 22 xxx 值 几率各是多少 能量的平均值是多少 解 线性谐振子能级 而是振子的两个本征态 1 2 Ew n 1 所以能量可能取 0 1 2 Ew 1 3 2 Ew 因 22 21310 1 224 n n c 所以未归一化的波函数 则几率求法应为 x 2 2 n n n c W c 10 对应几率 0 1 2 Ew 2 1 12 n n c w c 2 122 1 12 10 13 22 w 对应几率 1 3 2 Ew 2 2 22 n n c w c 2 222 3 92 10 13 22 w 12 1ww 平均值 即第 11 题 方法 I 由平均值公式 2 2 nn n n n c F c 1193 4242 19 44 ww E 2810 84 w 7 5 w 方法 未归一化 F d F d n Hdd E dd 0 011 0101 313 2222 1313 2222 xxxx d xxxx d 0 001101110 00110110 33 4444 133 4444 q dddd q dddd 由正交归一性可得 11 22 0 01 22 01 44 1 44 q dd E q dd 1 127 8844 110 444 q wxw q 7 5 Ew 12 设粒子处于态 求该态中平均值 1 m Y xyz L L L 解 是的本征函数 lm Y z L 2lm IY zlmlmlm L Y dY m Y d lmlm mY Y d m 3 yx LLi L 1 xyzzy LL LL L i 1 xlmxememyzzyem IY L Y dYL LL L Y d 11 emyzememzyem Y L L Y dY L L Y d i 1 emyemzemyem im Y L Y dL YL Y d i emememyem im Y LY dim Y L Y d y y imLimL 0 同理 1 yzxxz LL LL L i 1 yemyememzxxzem IY L Y dYL LL L Y d i 11 emzxememxzem Y L L Y dY L L Y d i 2 11 emxememxem L YL Y dY L m Y d id emyememxem im Y L Y dim Y L Y d 0 13 一刚性转子的转动惯量为 I 它的能量经典表达式是 H L2 2I 这儿 L 为角动量 求与此 对应的量子体系在下列条件下的定态波函数和定态能量 1 转子绕一固定轴转动 2 转子绕一点转动 12 解 1 设该固定轴沿 Z 轴方向 则有 22 Z LL 哈米顿算符 2 22 2 2 2 1 d d I L I H Z 其本征方程为 无关 属定态问题 tH与 2 2 22 2 2 22 IE d d E d d I 令 则 2 2 2 IE m 0 2 2 2 m d d 取其解为 可正可负可为零 im Ae m 由波函数的单值性 应有 imim ee 2 2 即 1 2 mi e m 0 1 2 转子的定态能量为 m 0 1 2 I m Em 2 22 可见能量只能取一系列分立值 构成分立谱 定态波函数为 im m Ae A 为归一化常数 由归一化条件 2 1 21 2 2 0 2 2 0 A AdAd mm 转子的归一化波函数为 im m e 2 1 综上所述 除 m 0 外 能级是二重简并的 13 2 取固定点为坐标原点 则转子的哈米顿算符为 2 2 1 L I H 无关 属定态问题 其本征方程为tH与与 2 1 2 EYYL I 式中设为的本征函数 为其本征值 YH E 2 2 IEYYL 令 则有 2 2 IE 22 YYL 此即为角动量的本征方程 其本征值为 2 L 2 1 0 1 222 L 其波函数为球谐函数 im m mm ePNY cos 转子的定态能量为 2 1 2 I E 可见 能量是分立的 且是重简并的 12 14 若都是厄米算符 问 FG FG GF 1 是否是厄米算符 FG GF 2 是否是厄米算符 i FGGF FGGFd FG dGF d FG dGF d GFdFGd GFFGd 14 GFFGd FGGFd FGGFd 不是厄米算符 FGGF 其中为两任意函数 2 同样为两任意函数 i FGGFd iFG diGF d iGFdiFGd iFGiGFd i FGGFd 是厄米算符 i FGGF 判断是否是厄米算符可用厄米算符定义 来判断 F dFd 15 设 证明是厄米算符 其中均是厄米算符 0G F FG F G 证明 FG dFG dGFd 0GF GFFG FG dFGd 是厄米算符 FG 16 t 0 时 粒子处于态 2 1 2 sincos xAkxkx 求此时粒子平均能量和平均动能 解 cos 2cos1 cos sin 2 1 2 1 2 1 2 kxkxAkxkxAx 15 cos2cos1 2 kxkx A 1 2 2 1 22 2 1 ikxikxkxikxi eeee A 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 0 ikxikxkxikxixi eeeee A 可见 动量的可能值为 n p kkkk 2 2 0 动能的可能值为 2 2 n p 2 2 2 2 0 22222222 kkkk 对应的几率应为 n 2 16 16 16 16 4 22222 AAAAA 2 8 1 8 1 8 1 8 1 2 1 A 上述的 A 为归一化常数 可由归一化条件 得 2 2 2 16 4 4 1 222 AAA n n 1 A 动量的平均值为p 02 16 2 16 2 16 22 16 20 2222 A k A k A k A k pp n nn n n n pp T 22 22 2 8 1 2 2 8 12 0 2222 kk 8 5 22 k 17 证明若两算符对易 则两算符有组成完全系的共同本征函数 证明 设 为两任意算符 且 0 F G FG 设的本函为 本征值为 只需证也是的本征函数即可 F n n n G 16 因 给上式右乘 GF FG n GF n FG n F n n n FG n G n n n G n 是算符本征值为的本征函数 由 F 是非简并的分立谱与应是同 G n F n G n n 一状态 它们之间互多差一常数 即 是任意常数 G n n nn C n C 也是的本征函数 n G 0 有共同的本征函数 FG F G 逆命题 若两算符有组成完全系的共同本函 则这两算符对易 证 设的共同本函为 本征值为 F G 12 n 12 n F n n n 设为任一量子态 则 nn n c FG FG GF n n c FG n n n c GF n n n c n F n n n c n G n n n c 2 n n n n c 2 n n 0 0 FG0 18 下列算符哪些是厄米算符 d dx 2 2 d dx d i dx 2 2 d i dx 解 是厄米算符 2 2 d dx 2 2 d i dx 不是厄米算符 d dx 2 2 d i dx 是厄米算符 x d p dx 也是厄米算符 xpd i dx 17 是厄米算符 22 2 2 x d p dx 也是应厄米算符 2 2 22 xpd dx 我们在前边第 14 题已证明是厄米算符 且则 不是厄米算符 FG FG GF F G 且却是厄米算符 i FG 不是厄米算符 即不是厄米算符 x ip d dx 同样 也不是厄米算符 即不是厄米算符 2 2 x p i 2 2 d i dx 19 设氢原子处于 2110211 1 13 22 rR YR Y 求氢原子能量 角动量平方及 z 分量的可能值 可能值出现的几率 并求其平均值 解 在此能量中 氢原子能量有确定值 2 2 22 2 2 82 ss e n e E 2 n 角动量平方有确定值为 222 2 1 L 1 角动量 Z 分量的可能值为 0 1 Z L 2Z L 其相应的几率分别为 4 1 4 3 其平均值为 4 3 4 3 0 4 1 Z L 20 证明自由粒子能级是简并的 证明 动量算符 其本征函数 p i i p r p rAe pp pp 自由粒子的哈密算符 2 2 2 H 18 显然 0 因此它们肯定有共同本函 即 pH i p r p Ae 本征值求法如下 222 322 ii p rp r pp ip HAepAe 所以能量 2 2 p E 对应和对应两个状态 p p p i p r Ae p i p r Ae 但能量 pp EE 所以自由粒子能级是二度简并 21 求的本征方程 x d pi dx 解 设的本征函数为 xp x x xxx pp xx d ixp dx x x x d ip dx 两边积分 x ipd dx dx 1 ln x px xc 1 2 xx ii p x cp x x ec e C 为归一化常数 x i p x xce 由归一化条件 8 1 1 x xdx 11 22 1 xxxx iii p xp xppx c eedxc edx 1 2 1 xx i ppx cedx 2 2 1 xx cpp 1 2 c 1 2 i ce 0 1 2 c 1 2 x i p x xe 19 本征方程为 xxx d ip dx 0 x xx d i p dx 其中 1 2 x i p x x e 22 求解自由一维粒子的能量本征方程 解 自由粒子的哈密顿算符为 22 2 2 1 22 x d Hp dx 设其本征函数为 则 x xxx HE 22 2 2 xxx xd E dx 2 22 2 x xx Ed dx 2 22 2 0 x x Ed x dx 令 则 2 x E k 2 2 2 0 x d kx dx 此微分方程的特解为 ikx k xAe k k 可取一切实数值均为全空间的连续有限函数 所以能量 E 的取值可以连续变化 k x 能谱是连续的 定态波函数可以表示为 x i kx E t k x tAe 由归一化条件 p xx dxpp 20 又 1 2 i k kx kkedx 1 ppkkkk 即 2 1 2 i k kxi k kx A edxedx 所以 2 1 2 A 1 2 A 即 1 2 ikx p xe 2 x x Ep k 本征方程为 2 22 2 0 x pp Ed xx dx 其中 1 2 x p ix p xe 推广到三维 x y z 运动 动量本征函数取为 33 22 2 2 p r i ik r p ree 23 一维运动粒子的状态是 0 x0 x0 x Axe x 其中 0 求 1 粒子动量的几率分布 2 粒子平均动量 解 1 先求归一化常数 由 0 222 2 1dxexAdxx x 2 3 4 1 A 2 3 2 A x xex 22 3 2 0 x 0 x 0 x dxxxedxxepc xikikx 2 2 1 2 1 2 32 1 21 dxe ik e ik x xikxik 0 2 1 3 1 2 2 2 2 1 3 2 2 1 3 1 2 2 2 2 p i ik x 动量几率分布函数为 2222 33 2 2 2 2 3 2 12 12 pp pcp 2 dxe dx d xeidxxpxp xx 4 3 dxexxi x 23 1 4 dxexxi x 223 4 4 1 4 1 4 22 3 i 0 24 证明 z L yi x 0 y L y x L yi z 证明 1 zzz L yL yyL Lrp zyx Lxpyp 2 zzyxxyx L yyLxp yyp yy py p 与无关 xp y 2 xx yp yy p 22 zzyxxyx