椭圆、双曲线、抛物线综合测试题

椭圆 双曲线 抛物线综合测试题椭圆 双曲线 抛物线综合测试题 一 选择题 本大题共 12 小题 每题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合要求的 1 设双曲线的一个焦点为 则双曲线的离心率为 22 1 2 yx m 0 2 A B 2 C D 262 2 2 椭圆的左 右焦点分别为 一直线经过交椭圆于 两点 则 22 1 167 xy 12 F F 1 FAB 的周长为 2 ABF A 32 B 16 C 8 D 4 3 两个正数 的等差中项是 等比中项是 则椭圆的离心率为 ab 5 2 6 22 22 1 xy ab A B C D 3 2 13 3 5 3 13 4 设 是双曲线的两个焦点 是双曲线上的一点 且 1 F 2 F 2 2 1 24 y x P 3 4 1 PF 2 PF 则的面积为 12 PFF A B C 24 D 48 4 28 3 5 是双曲线 1 的右支上一点 M N 分别是圆和P 22 916 xy 22 5 1xy 4 上的点 则的最大值为 22 5 xy PMPN 6 7 8 9ABCD 6 已知抛物线上的动点在轴上的射影为点 点 则 2 4xy PxM 3 2 A 的最小值为 PAPM A B C D 101 102 101 102 7 一动圆与两圆和都外切 则动圆圆心的轨迹为 22 1xy 22 8120 xyx A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 8 若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长 则双曲线的离心 22 22 1 0 0 xy ab ab 率为 A B C D 2235 9 抛物线上到直线距离最近的点的坐标 2 yx 20 xy A B C D 3 5 2 4 1 1 3 9 2 4 2 4 10 已知是椭圆的半焦距 则的取值范围 c 22 22 1 xy ab 0 ab bc a A B C D 1 2 1 2 1 2 11 方程0 与1表示的曲线在同一坐标系中图 2 mxny 22 mxny 0 0 mnmn 象可能是 12 若是抛物线的动弦 且 则的中点 M 到AB 2 2 0 ypx p 2 ABa ap AB 轴的最近距离是 y A B C D 1 2 a 1 2 p 11 22 ap 1 2 a 1 2 p 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填写在题中横线上 13 设 分别是双曲线的左 右焦点 是双曲线上一点 且 60 1 F 2 FP 12 FPF o 离心率为 2 则双曲线方程的标准方程为 1 2 PF F S 12 3 14 已知椭圆与双曲线 有共同的焦点 22 1 xy mn 22 1 xy pq m n p qRmn 1 F 点是双曲线与椭圆的一个交点 则 2 FP 12 PFPF 15 已知抛物线上一点 A到其焦点的距离为 则 2 2 0 xpy p 0 4 17 4 p y x o B y x o C y x o D y x o A 16 已知双曲线 1的两条渐近线的夹角为 则双曲线的离心率为 22 2 2 xy a 2a 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 求适合下列条件的双曲线的标准方程 焦点在轴上 虚轴长为 12 离心率为 x 5 4 顶点间的距离为 6 渐近线方程为 3 2 yx 18 12 分 在平面直角坐标系中 已知两点及 动点 Q 到点 A 的距离 3 0 A 3 0 B 为 10 线段 BQ 的垂直平分线交 AQ 于点 P 求的值 PAPB 写出点的轨迹方程 P 19 12 分 设椭圆的左 右焦点分别为 过右焦点且 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 F 2 F 与轴垂直的直线 与椭圆相交 其中一个交点为 xl 2 1 M 求椭圆的方程 设椭圆的一个顶点为 直线交椭圆于另一点 求的面积 0 Bb 2 BFN 1 FBN 20 12 分 已知抛物线方程 过点作抛物线的两条切线 切 2 4xy 4 P t PAPB 点为 AB 求证 直线过定点 AB 0 4 求 O 为坐标原点 面积的最小值 OAB 21 12 分 已知双曲线的左 右焦点分别为 点 22 22 1 0 0 xy ab ab 1 F 2 F 在双曲线的右支上 且 3 P 1 PF 2 PF 求双曲线离心率的取值范围 并写出取得最大值时 双曲线的渐近线方程 ee 若点的坐标为 且 0 求双曲线方程 P 43 10 10 55 12 PFPF 22 12 分 已知 O 为坐标原点 点 满足 FTM 1 POF 1 0 1 OTt FMMT 1 PM FT 1 PT OF 求当 变化时 点的轨迹方程 t 1 P 若是轨迹上不同于的另一点 且存在非零实数使得 2 P 1 P 12 FPFP 求证 1 12 11 FPFP 参考答案 1A 提示 根据题意得 4 2 222 cab 2m m 22 2 cab e aa 故选 A 2 2 2 11 2 b a 2 2B 提示 的周长 16 故选 B 2 ABF 12 AFAF 12 BFBF 4a 3C 提示 根据题意得 解得3 2 5 6 ab ab a b c5 c e a 5 3 4C 提示 是双曲线上的一点 且 3 4 P 1 PF 2 PF 2 解得 8 6 又 10 1 PF 2 PF 1 PF 2 PF 12 FF2c 是直角三角形 24 故选 C 12 PFF 1 2 PF F S 1 8 6 2 5 D 提示 由于两圆心恰为双曲线的焦点 1 PM 1 PF PN 2 PF2 1 PMPN 1 PF 2 PF2 3 3 9 1 PF 2 PF2a 6A 提示 设为点到准线的距离 为抛物线的焦点 由抛物线的定义及数形dP1y F 结合得 1 1 1 故选 A PAPM d PA PA PF AF101 x y P MN OF1F2 2 题图 7C 提示 设圆的圆心为 半径为 1 圆的圆心为 22 1xy 0 0 O 22 8120 xyx 为动圆的圆心 为动圆的半径 则 1 1 4 0 O O r 1 O OO O 2 1 rr 所以根据双曲线的定义可知 故选 C 8C 提示 设其中一个焦点为 一条渐近线方程为 根据题意得 0 F c b yx a 化简得 故 2 1 b c a b a 2a2ba e c a 22 2 ab a 2 1 b a 14 5 选 C 9 B 提示 设为抛物线上任意一点 则点到直线的距离为 2 P x x 2 yx P 当时 距离最小 即点 故选 B 2 24 5 xx d 2 1 3 5 x 1x P 1 1 10 D 提示 由于 2 则 2 22 2 2bcbcbc aa 2222 2 bcbc a bc a 2 又 则 1 故选 D bca bc a 11 C 提示 椭圆与抛物线开口向左 12 D 提示 设 结合抛物线的定义和相关性质 则的中点 M 到 11 A x y 22 B xyAB 轴的距离为 显然当过焦点时 y 12 2 xx 22 2 pp AFBF 2 AFBFp AB 其值最小 即为 故选 D 1 2 a 1 2 p 二 填空题 13 提示 设双曲线方程为 22 1 412 xy 22 22 1 xy ab 48 2 c e a 2ca 1 2 PF F S 12 3 1 PF 2 PF 2 2c 2 1 PF 2 解得 4 12 2 2 PF 1 PF 2 PF 12 cosFPF 2 16c 2 a 2 b 14 提示 根据题意得 解得 mp 12 12 2 2 PFPFm PFPFp 1 PFmp 2 PFmp 12 PFPF mp 15 提示 利用抛物线的定义可知 4 1 2 2 p 17 4 p 1 2 16 提示 根据题意得 2 3 3 23 3a 6a 2 2c c e a 2 3 3 三 解答题 17 解 因为焦点在轴上 设双曲线的标准方程为 x 22 22 1 0 0 xy ab ab 解得 双曲线的标准方程为 222 212 5 4 abc b c a 8a 6b 10c 22 1 6436 xy 设以为渐近线的双曲线的标准方程为 3 2 yx 22 49 xy 当时 2 6 解得 此时所求的双曲线的标准方程为 0 4 9 4 22 1 81 9 4 xy 当时 2 6 解得 此时所求的双曲线的标准方程0 9 1 为 22 1 94 yx 18 解 因为线段 BQ 的垂直平分线交 AQ 于点 P PB PQ 10 PAPB PA PQ AQ 由 知 10 常数 又 10 6 点的轨迹是中 PAPB PAPB ABP 心在原点 以为焦点 长轴在轴上的椭圆 其中 所以椭圆的轨迹 A Bx210 26ac 方程为 22 1 2516 xy 19 解 轴 根据题意得 解得 lx 2 2 0 F 22 22 21 1 2 ab ab 2 2 4 2 a b 所求椭圆的方程为 22 1 42 xy 由 可知 直线的方程为 0 2 B 2 BF2yx 22 2 1 42 yx xy 解得点的纵坐标为 N 2 3 1 F BN S 1 2 F F N S 12 F BF S 12 2 2 2 23 8 3 20 解 设切点 又 11 A x y 22 B xy 1 2 yx 则切线的方程为 即 PA 111 1 2 yyx xx 11 1 2 yx xy 切线的方程为 即 又因为点是切线PB 222 1 2 yyxxx 22 1 2 yx xy 4 P t 的交点 PAPB 11 1 4 2 x ty 22 1 4 2 x ty 过 两点的直线方程为 即 AB 1 4 2 txy 1 40 2 txy 直线过定点 AB 0 4 由 解得 0 2 1 40 2 4 txy xy 2 216xtx 12 2xxt 12 16x x 2 2 16 OAB S 12 1 4 2 xx 2 1212 4xxx x 464t 当且仅当时 O 为坐标原点 面积的最小值0t OAB 21 解 3 3 1 PF 2 PF2a 1 PF 2 PF 1 PFa 2 PFa 由题意得 4 2 2 又因为 双曲线离心率 1 PF 2 PF 12 FFac c a 1e 的取值范围为 故双曲线离心率的最大值为 2 e 1 2 0 即 即 12 PFPF 2 1 PF 2 2 PF 2 4c 22 104ac 22 3 2 ba 又因为点在双曲线上 1 1 P 43 10 10 55 22 16090 2525 ab 22 16060 aa 解得 所求双曲线方程为 1 2 4a 2 6b 22 22 xy ab 22 解 设 则由得点是线段中点 则 1 P x yFMMT MFT 0 2 t M 1 PM 又因为 2 t xy FT 2 t 1 PT 1 x ty 1 PM FT 2 0 2 t xty 0 即 1 PT OF 1 0 1xty ty 由 和 消去参数得 2 4yx 证明 易知是抛物线的焦