第二章随机向量的分布和数字特征习题课

第二章第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课随机向量的分布和数字特征的习题课 一 选择题 一 选择题 1 1 若随机变量若随机变量 的分布函数为的分布函数为与与则则a a b b取值为取值为 21 X X 1 xF 2 xF 时 可使 时 可使F x aF x a b b为某随机变量的分布函数 为某随机变量的分布函数 1 xF 2 xF A 3 5 2 5A 3 5 2 5 B 2 3 2 3B 2 3 2 3 C 1 2 3 2C 1 2 3 2 D 1 2 3 2D 1 2 3 2 分析分析 由分布函数在 由分布函数在 的极限性质 不难知的极限性质 不难知a ba b应满足应满足a a b 1b 1 只有选项只有选项A A正确 正确 答案答案 选 选 A A 2 2 设设 X X x x 且且 x x x x 其分布函数为其分布函数为F F x x 则对任意则对任意 实数实数a a F F a a A A 1 1 d d B B d d C C F a F a D D 2F a 1 2F a 1 a x 0 x 2 1 a x 0 x 分析 分析 是偶函数 可结合标准正态分布来考虑 是偶函数 可结合标准正态分布来考虑 d d a x 0 F a F a F 0 F 0 F 0 F 0 0 50 5 F a F a F a 1F a 1 答案答案 选 选 x B B 3 3 设设X X N N 则随着则随着的增大 的增大 P P X X 2 A A 单调增大单调增大 B B 单调减少单调减少 C C 保持不变保持不变 D D 增减不定增减不定 答案答案 选 选 C C 4 4 设随机变量设随机变量 X X 与与 Y Y 均服从正态分布 均服从正态分布 X X N N 16 16 Y Y N N 25 25 记记 P XP X 4 4 P Y P Y 5 5 则 则 正确 正确 1 p 2 p A A 对任意实数对任意实数 均有 均有 B B 对任意实数对任意实数 均有 均有 1 p 2 p 1 p 2 p 答案答案 选 选 A A 5 5 设设是随机变量且是随机变量且 则对任意常数 则对任意常数 X 0 2 XDXEc 成立 成立 222 cEXcXEA 22 BE XcE X 22 XEcXEC 22 XEcXED 分析 分析 答案答案 选 选 D 由由 得 得 2 XDXE 2222 EXXDEX 2 222 ccXXEcXE 22222 22 2 2 ccc ccEXEX 2 222 XXEXE 22222 22 2 2 EXEX 显然显然 22 XEcXE 二 题空题二 题空题 1 1 设在每次伯努里试验中 事件设在每次伯努里试验中 事件 A A 发生的概率均为发生的概率均为 p p 则在则在 n n 次伯努里试验中 事件次伯努里试验中 事件 A A 至少发生一次的概率为 至少发生一次的概率为 至 至 多发生一次的概率为 多发生一次的概率为 答案答案 填 填 1 1 p 1 1 p 1 p 1 p np 1 p np 1 p nn1 n 由伯努里概型的概率计算公式 由伯努里概型的概率计算公式 据题意可知 据题意可知 事件事件A A至少发生一次的概率为至少发生一次的概率为或或 knk n k k n ppC 1 1 n n ppC 1 1 00 事件事件A A至多发生一次的概率为至多发生一次的概率为 knk k K N ppC 1 1 0 n n ppC 1 00 111 1 n n ppC 2 2 设随机变量设随机变量Y Y在区间在区间 1 1 6 6 上服从均匀分布 则方程上服从均匀分布 则方程 有实根的概率为 有实根的概率为 01 2 Yxx 分析分析 方程 方程有实根当且仅当有实根当且仅当 0 0 即 即 Y Y 2 2 01 2 Yxx 则则 P Y P Y 2 2 d dx 0 8x 0 8 答案答案 填 填 0 8 0 8 6 2 5 1 3 3 设设 X X 对 对X X的三次独立重复观察中 的三次独立重复观察中 其他 0 10 2 xx xf 事件事件 X X 0 5 0 5 出现的次数为随机变量出现的次数为随机变量Y Y 则则P Y 2P Y 2 分析分析 P XP X0 5 0 25 0 5 0 25 Y Y服从服从B B 3 0 25 3 0 25 分布分布 则则P YP Y 2 2 答案答案 填填 75 0 25 0 22 3 C 64 9 64 9 4 4 设设X X B 2 p YB 2 p Y B 3 p B 3 p 且且P P X X 1 1 则则P P Y Y 1 1 9 5 分析分析 由 由P XP X 1 1 P X 0 1 1 P X 0 可得 可得 p p 则则P P Y Y 1 1 2 2pp 9 5 3 1 1 P Y 0 1 P Y 0 答案答案 填 填 27 19 27 19 5 5 设随机变量设随机变量X X服从均值为服从均值为 1010 标准差为 标准差为 0 020 02 的正态分布 的正态分布 设设 x x 为标准正态分布函数 已知为标准正态分布函数 已知 2 52 5 0 993 0 993 8 8 则则 X X 落在区间 落在区间 9 95 10 059 95 10 05 内的概率为 内的概率为 分析分析 P 9 95 x 10 05 P 9 95 10 x 10 10 05 10 P 9 95 x 10 05 P 9 95 10 x 10 10 05 10 P 2 5 x 10 0 02 2 5 2 5 2 5 P 2 5 x 10 0 02 2 5 2 5 2 5 2 2 5 1 2 0 9938 1 1 9876 1 0 98762 2 5 1 2 0 9938 1 1 9876 1 0 9876 答案答案 填 填 0 9876 0 9876 6 6 设设随机变量随机变量X X的概率密度为的概率密度为 其他 0 6 3 9 2 1 0 3 1 x x xf 若若k k使得使得P P X X k k 2 3 2 3 则则k k的取值范围是 的取值范围是 分析分析 1 9 2 3 1 6 3 1 9 2 3 2 9 2 3 1 9 2 0 3 1 63 3 1 0 3 1 31 3 1 3 1 10 0 0 6 3 1 0 3 3 1 1 0 3 2 1 0 0 dtdtxFx xxdtdtdtxFx dtdtxFx xdtxFx xFx x x 画图 画图 答案答案 填 填 1 1 3 3 7 7 设随机变量设随机变量X X f x f x x x 则则X X F x F x 2 1 x e 答案答案 填 填 0 2 1 1 0 2 1 xe xe xF x x 分析 分析 当当x x 0 0 时时 F xF x dtdtdtdt x tf 1 e 2 x t 1 e 2 x 当当 x x 0 0 时 时 F x F x dtdtdtdtd dt t x tf 01 2 t e 0 1 2 x t e x e 2 1 1 8 8 设设X X U U 0 2 0 2 则则Y Y 在在 0 4 0 4 内的概率密度内的概率密度 2 X yfY 均匀分布 均匀分布 答案答案 填 填 y4 1 分析 分析 当当0 0 y y 4 4时 时 2 yFyXPyXPyYPyF XY 此时 此时 yfY y yf y yFyF XxY 2 1 2 1 y4 1 注 注 由于由于Y Y 在在 0 4 0 4 内内是单调函数 可直接用公式做 是单调函数 可直接用公式做 2 X 1 Y X fyg y fg y 9 9 设设 X X 的分布函数的分布函数 则则A A P P x x 2 1 0sin 00 2 x xxA x xF 6 答案答案 填 填 1 1 2 1 10 10 设设X X的分布函数的分布函数F x F x 为 为 则则X X的概率分布为 的概率分布为 31 318 0 114 0 10 x x x x xF 分析 其分布函数的图形是阶梯形 故分析 其分布函数的图形是阶梯形 故 x x 是离散型的随机变量是离散型的随机变量 画图画图 答案 答案 P X 1 0 4 P X 1 0 4 P X 3 0 2 P X 1 0 4 P X 1 0 4 P X 3 0 2 11 11 设随机变量设随机变量 X X 的概率密度函数的概率密度函数则则 E X E X 1 12 2 xx exf XD 分析 分析 由由 X X 的概率密度函数的概率密度函数可见可见X X N N 1 1 则则 E X E X 2 1 1 1 答案答案 填 填 1 1 XD 2 1 2 1 12 12 设随机变量设随机变量X X服从参数为服从参数为 2 2 的泊松分布 且的泊松分布 且Z 3X 2 Z 3X 2 则则 E Z E Z 答案答案 填 填 4 4 泊松分布泊松分布 13 13 设设X X N N 2 2 且且P P 2 2 X X 4 0 3 4 0 3 则则P P X X 0 96 1 96 1 P P X X 96 1 96 1 0 023 0 023 24 即即 0 977 0 977 查表得查表得 2 2 则 则 12 12 即且 即且X X N N 72 144 72 144 24 24 故故P P 60 60X X84 84 P P 1 11 21 2 1 1 0 682 1 1 0 682 12 72 X excelexcel 计算的函数为计算的函数为 NORMINVNORMINV NORMDISTNORMDIST 8 8 设设测量误差测量误差X X N N 0 0 100 100 求在 求在 100100 次独立重复测量中至次独立重复测量中至 少有三次测量误差的绝对值大于少有三次测量误差的绝对值大于 19 619 6 的概率 并用泊松分布的概率 并用泊松分布 求其近似值 精确到求其近似值 精确到 0 010 01 解 由于解 由于X X N N 0 0 100 100 则 则 P P X X 19 6 1 19 6 1 P P X X 19 6 2 1 19 6 2 1 1 96 0 05 1 96 0 05 且显然且显然 Y Y B B 100 0 05 100 0 05 故故 P YP Y 3 3 1 1 P P Y Y 2 1 2 1 9822 100 99100 95 0 05 0 95 0 05 0 10095 0 C 设设 np np 100 0 05 5 100 0 05 5 且 且Y Y P P 5 5 则则 P P Y Y 3 1 3 1 P P Y Y 2 1 2 1 0 875348 0 875348 124652 0 15 1 2 0 5 k k e k 9 9 设设一大型设备在任何长为一大型设备在任何长为t t的时间内 发生故障的次数的时间内 发生故障的次数N t N t 服服 从参数为从参数为 t t的泊松分布 求 的泊松分布 求 1 1 相继两次故障之间的时间间隔 相继两次故障之间的时间间隔T T的概率分布 的概率分布 2 2 在设备已无故障工作 在设备已无故障工作 8 8 小时的情况下 再无故障工作小时的情况下 再无故障工作 8 8 小时的概率 小时的概率 解 解 1 1 只需求出只需求出T T的分布函数的分布函数F t F t 当当 t t t t 1 1 P P N N t t 0 0 tt eet 1 0 1 1 0 可见可见 T T 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布 2 2 P P T T 16 16 T T 8 8 16 8 8 16 1 16 1 1 8 1 8 1 1 t t t P TP Te e P TP Te 10 10 设设X X服从参数为服从参数为 2 2 的指数分布 求证 的指数分布 求证 Y Y 1 1 在在 0 0 1 1 上上 X e 2 服从均匀分布 服从均匀分布 证明 证明 由由X X的分布可见其有效取值范围是的分布可见其有效取值范围是 0 0 则则Y Y的有的有 效取值范围是效取值范围是 0 0 1 1 从而 从而 当当 y y 0 0 时 时 F F y y 0 0 当当y y 1 1 时 时 F F y y 1 1 当当 0 0 y 1 y 1 F F y y P P Y Y y y P P 1 1 y y X e 2 P P X X 1 1 1 1 1 1 y y y y 1ln 2 1 y 1ln 2 1 2y e 对对F F y y 关于关于y y求导数即得求导数即得Y Y的密度函数 的密度函数 其他 0 10 1 y yf 故故Y Y在在 0 0 1 1 上服从均匀分布 上服从均匀分布 11 11 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗 设在各交通从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗 设在各交通 岗遇到红灯的事件是相互独立的 其概率均为岗遇到红灯的事件是相互独立的 其概率均为 0 40 4 用 用X X表示表示 途中遇到红灯的次数 求途中遇到红灯的次数 求X X的分布律 分布函数和数学期望 的分布律 分布函数和数学期望 解 显然解 显然X X B B 3 0 4 3 0 4 其分布律为其分布律为 131 3 6 04 0 i CiXP i 0 1 2 3 i 0 1 2 3 分布函数为 分布函数为 E X E X x2 1 2x1 125 81 1x0 125 27 0 0 x xF 5 6 12 12 设设 求随机变量 求随机变量的期望的期望 0 0 0 2 2 2 2 x xe a x xfX a x X Y 1 YE 解 由解 由 可知 可知 0 0 0 2 2 2 2 x xe a x xfX a x dxe a x x dxxf xX EYE a x 0 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 21 1 0 2 0 2 0 2 1 22 2 dxe a dte a t a x a x de a xt a x 泊松分布令 13 13 设设且且 与与同分布 同分布 与与 其它 0 20 8 3 2 xx xfXYX aXA 独立 独立 求 求 1 1 值 值 2 2 的期望 的期望 aYB 4 3 BAPa 2 1 X 解 解 1 1 由设 由设且且 与与同分布 同分布 其它 0 20 8 3 2 xx xfXYX 与与独立 可知当独立 可知当时时 aXA aYB 0 a a dxxfaXPAP 1 8 1 0 8 3 0 2 0 3 2 2 0 2 0 xdxdxxdx a 即 即 1 a dyyfaYPBP 与与相矛盾 相矛盾 11111 BPAPBPAPBAP 4 3 BAP 因而因而 即 即0 a a dxxfaXPAP 8 8 1 8 1 0 8 3 323 2 2 2 axdxdxx a a 即即 a dyyfaYPBP 8 8 1 3 a BPAPBPAPBAP 8 8 1 3 a 8 8 1 3 a 8 8 1 3 a 8 8 1 3 a 4 3 即即 即 即 不合题意 舍去 不合题意 舍去 048 8 16 8 323 aa 3 4 a 3 4 a 2 2 4 3 8 3 8 31 1 1 2 0 2 2 0 222 xdxx x dxxf xX E 14 14 由由自动线加工的某种零件的内径自动线加工的某种零件的内径 毫米 服从正态分布 毫米 服从正态分布X 内径小于 内径小于 1010 或大于或大于 1212 的为不合格品 其余为合格品 的为不合格品 其余为合格品 1 N 销售每件合格品获利 销售每件不合格品亏损 设销售利润销售每件合格品获利 销售每件不合格品亏损 设销售利润 元 与销售零件的内径 元 与销售零件的内径的关系为的关系为LX 12 5 1210 20 10 1 X X X L 问平均内径问平均内径取何值时 销售一个零件的取何值时 销售一个零件的平均利润平均利润最大 最大 解 由解 由 即 即且且 可知 可知 1 NX 1 0 1 N X 2 2 2 1 x ex 10 10 10 XPXP 10 12 1210 1210 XPXP 12 1 12 12 XPXP 由由 12 5 1210 20 10 1 X X X L 得得 12 55 10 20 12 20 10 EL 5 10 21 12 25 d dEL 10 21 12 25 令令 即 即0 d dEL 0 2 1 21 2 1 25 22 10 2 1 12 2 1 ee 即即 11 2 10 2 1 12 2 1 22 25 21 ee 即即 25 21 ln 11 2 9 10 25 21 ln 2 1 11 平均内径平均内径取取时 销售一个零件的平均利润最大 时 销售一个零件的平均利润最大 9 10 1515 设一部机器在一天内发生故障的概率为设一部机器在一天内发生故障的概率为 机器发生故障 机器发生故障2 0 时 全天停止工作 一周五个工作日 若无故障 可获利时 全天停止工作 一周五个工作日 若无故障 可获利 1010 万万 元 若发生一次故障 仍可获利元 若发生一次故障 仍可获利 5 5 万元 若发生两次故障 获万元 若发生两次故障 获 利为零 若至少发生三次故障 要亏损利为零 若至少发生三次故障 要亏损 2 2 万元 求一周内的利万元 求一周内的利 润期望 润期望 解 设解 设 一周共五个工作日 机器发生故障的天数一周共五个工作日 机器发生故障的天数 且且 X 2 0 5 BX 则 则 32768 0 8 02 0 0 500 5 CXP 4096 0 8 02 0 1 411 5 CXP 2048 0 8 02 0 2 322 5 CXP 3 1 3 XPXP 05792 0 2 1 0 1 XPXPXP 3 2 2 0 1 5 0 10 X X X X XL 05792 0 2 2048 0 04096 0 532768 0 10 EL 20896 5 所以一周内的利润期望为所以一周内的利润期望为万元 万元 20896 5 16 16 设设商店经销某种商品的每周需求量商店经销某种商品的每周需求量服从区间服从区间上的均上的均X 30 10 匀分布 而进货量为区间匀分布 而进货量为区间中的某一个中的某一个整数整数 商店每售一单 商店每售一单 30 10 位商品可获利位商品可获利 500500 元 若供大于求 则削价处理 每处理一单元 若供大于求 则削价处理 每处理一单 位商品亏损位商品亏损 100100 元 若供不应求 则从外部调剂供应 此时每元 若供不应求 则从外部调剂供应 此时每 售出一单位商品仅获利售出一单位商品仅获利 300300 元 求此商店每周最小进货量为多元 求此商店每周最小进货量为多 少 可使获利的期望不少于少 可使获利的期望不少于 92809280 元 元 解 设一商店经销某种商品的每周进货量为解 设一商店经销某种商品的每周进货量为 且且a3010 a 当当时 时 aX 10aXXaXL100600 100500 当当时 时 30 XaaXaXaL200300 300500 即即 30200300 10100600 XaaX aXaX L 且且 其它 0 3001 20 1 x xfX dxxfxLXLE 2 302 10 2 10 30 5 73505250 10 2 15 515 20 1 200300 20 1 100600 aa axxaxx dxaxdxax a a a a 令令 即 即 即 即 取 取9280 XLE92805 73505250 2 aa26 3 2 20 a 21 a 答 此商店每周最小进货量为答 此商店每周最小进货量为 2121 个单位 可使获利的期望不少个单位 可使获利的期望不少 于于 92809280 元 元 17 17 设随机变量设随机变量与与 相互独立 均在区间相互独立 均在区间上服从均匀分布 上服从均匀分布 XY 3 1 引进事件引进