第三章收敛与混沌(迭代)

第三章 收敛与混沌 迭代 迭代产生的数列可 2 1 0 1 nxfx nn n x 能是 1 收敛 2 周期性变化 3 分岔 4 混沌 如 用迭代产生的数列4 0 1 3 01 xxxx nnn 是否收敛 答 n x 0 4000 0 7200 0 6048 0 7171 0 6087 0 7146 0 6119 0 7125 0 6146 0 7106 0 6169 0 7090 0 6190 0 7075 0 6208 0 7062 0 6224 0 7050 0 6239 0 7040 0 6252 不收敛 3 1 不动点与迭代不动点与迭代 1 什么是迭代 什么是迭代 定义定义 任意给定一个输入 由一个函数表达式x 得到一个输出 再将作为新的输入 f xf xfx 由同一个得到下一个输出 重复 这中对某个函数对某个函数f 规则规则反复将输出作为新输入的重复执行过程反复将输出作为新输入的重复执行过程就称为f 迭代迭代 一个迭代过程的数学表示为 2 1 0 1 nxfx nn 其中 称为迭代函数迭代函数 产生的数列称为迭代 xf n x 数列 称为迭代初值 0 x 迭代函数是关键 迭代数列的变化趋势主 xf 要由它决定 例例 1 则迭代式为 xxf nn xx 1 分别取 0 0 1 0 8 1 2 99 计算 得下面数列 0 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 31 0 56 0 74 0 86 0 93 0 96 0 98 0 99 0 99 0 8 0 89 0 94 0 97 0 98 0 99 0 99 1 1 1 1 1 1 1 2 1 41 1 18 1 09 1 04 1 02 1 01 1 00 1 00 99 9 94 3 15 1 77 1 33 1 15 1 07 1 03 1 01 1 00 1 00 结论结论 迭代函数迭代函数对于初值对于初值保持不动保持不动xxf 1 0 0 x 称为不动点不动点 对于其余初值 对于其余初值 非 非 1 的任何正数 的任何正数 都收敛都收敛 于于 1 问 时 迭代规律 x xf 1 2 不动点 不动点 定义定义 若存在点 满足 则称点为uuuf u 迭代函数的一个不动点不动点 xf 对于同一个 其不动点不一定存在 不一定唯一 xf 在某个不动点附近取初值 迭代可能收敛于这个 不动点 称它为吸引的吸引的 如例 1 中的不动点 1 也可能 远离此不动点 称它为排斥的排斥的 如例 1 中的不动点 0 3 2 用图示法体现迭代数列的规律用图示法体现迭代数列的规律 线性迭代 baxxf 二次函数迭代 cbxaxxf 2 一种特殊的二次函数迭代 著名的 Logistic 函数 其中 参数在0到4之间取值 1 xaxxf a 对应的 Logistic 迭代迭代为 4 0 1 0 1 01 axxaxx nnn 本节就以 Logistic 迭代迭代为例 讨论揭示迭代数列规律揭示迭代数列规律的 图形方法图形方法 你将会看到某写全新的现象和问题 如分岔 混 沌等古怪现象 先求不动点先求不动点 令 解得两个 1 xaxxfx 不动点 与 0 x 1 1 a x 再分析迭代规律再分析迭代规律 1 若 则 1 0 a 因为 总有 从而10 x1 1 0 xx 所以 对于任意初值 都收敛于0 n n ax10 0 x 不动点 0 2 若 则对于任意初值 都收敛于 3 1 a10 0 x 不动点 1 1a 3 若 则迭代规律很乱 对于不同的分别 4 3 aa 呈现诸如收敛 周期性震荡 分岔 混沌之类的从有规律到 无规律 又从无规律到有规律等等的非常复杂的 有趣的 怪异的现象 定义定义 若迭代数列中 当下标 n 充分大时 每隔 k 个数就出现周期性重复 则称此迭代为 k 周期周期 下面介绍刻画迭代数列规律的三种图形方法 1 线性联结图 线性联结图 横坐标 纵坐标 3 2 1 0 n 把向邻的点用折线联结 看书 3210 xxxxxn P26 图 画 图 3 1 的程序为 a 3 8 x 1 0 2 for i 1 20 x i 1 a x i 1 x i end plot 0 20 x 画 图 3 2 的程序为 a 3 2 3 5 3 5644 3 8284 y 0 2 1 1 1 1 for i 1 10000 y a y 1 y end x 1 y for i 1 20 x i 1 a x i 1 x i end subplot 2 2 1 plot 0 20 x 1 subplot 2 2 2 plot 0 20 x 2 subplot 2 2 3 plot 0 20 x 3 subplot 2 2 4 plot 0 20 x 4 从线性联结图上 看不出当 a 3 5644 a 3 8284 时 Logistic 迭代迭代到底是几几 周期周期的 用下面蛛网图蛛网图 就可以看清楚 2 蛛网图 蛛网图 先计算出 再做下列工作 10000 x 1 画曲线和直线 1 0 1 xxaxyxy 2 出发点 1000010000 xxA 过 A 做竖直线竖直线交曲线于点 过 B 做水水 1000110000 xxB 平线平线交直线于新的点 再过新 A 做竖直竖直 1000110001 xxA 线线交曲线于新的点 过新 B 做水平线水平线 1000210001 xxB 交直线于新的点 重复多次 1000210002 xxA 画 图 3 4 中第 3 个图 的程序为 hold on x 0 0 05 1 y 3 5644 x 1 x plot x y plot 0 1 0 1 a 3 5644 x 0 2 for i 1 10000 x a x 1 x end for i 1 20 y 3 5644 x 1 x plot x x x y plot x y y y x y end hold off 从蛛网图蛛网图 3 4 容易看出 周期分别是 2 4 8 3 3 费根鲍姆图 费根鲍姆图 为了研究 Logistic 函数中参数 1 xaxxf 对迭代的影响 现以参数为横坐标 以为纵坐aa n x 标作图 为体现规律 从迭代了 10000 次以后的点开始 画 图 3 6 的程序为 a 2 9 3 2 3 5 3 5644 3 7 3 8284 x 0 2 1 1 1 1 1 1 for i 1 10000 x a x 1 x end hold on for i 1 1000 x a x 1 x for j 1 6 plot a j x j end end hold off 3 3 分岔与混沌分岔与混沌 上一节内容表明迭代结果很敏感地受到参数迭代结果很敏感地受到参数的的a 影响影响 利用费根鲍姆图费根鲍姆图可以很直观地刻画这种影响 现令从 2 到 4 以步长 h 0 02 逐步取值 对的每个aa 值都画出迭代了 10000 项后的 1000 项的费根鲍姆图费根鲍姆图 见书 P30 图 3 7 借此可分析得到一些结果 画 图 3 7 的程序为 a 2 0 02 4 x 0 2 ones 1 101 for i 1 10000 x a x 1 x end hold on for i 1 1000 x a x 1 x for j 1 101 plot a j x j end end hold off 1 倍周期 倍周期 当3 时 为 1 周期 即收敛 a 当3 44 时 为 2 周期 a3 当3 54 时 为 4 周期 a45 3 当3 56 时 为 8 周期 a55 3 称这种现象为倍倍 2 周期周期现象 2 分岔 分岔 随着 a 的增大 每过一段 图形就会分岔分岔 分岔 的本质就是周期扩大 2 倍 从 1 周期分裂成 2 周期的分岔点为 a 3 从 2 周期裂成 4 周期分岔点记为 449 3 1 aa 从 4 周期裂成 8 周期分岔点记为 5445 3 2 aa 从 8 周期裂成 16 周期分岔点记为 5645 3 3 aa 2 周期的区段长为 449 0 3 11 ad 4 周期的区段长为 0955 0 122 aad 8 周期的区段长为 02 0 233 aad 通常 记 周期的区段长为 费根鲍姆 k 2 k d 发现了下面结果 此数称为费根鲍姆数费根鲍姆数 669201609 4 lim 1 k k k d d 3 混沌 混沌 当时 迭代无规律 进入混沌 57 3 a 在很狭窄的区段上 迭代呈现743 3 738 3 a 出 3 周期 倍 3 周期 即 6 周期 12 周期 等 在另一个很狭窄的区段上 迭850 3 828 3 a 代呈现出 5 周期 倍 5 周期 即 10 周期 20 周 期 等 3 4 二元函数迭代二元函数迭代 由两个二元函数构造的迭代为 yxgyxf 11nnnnnn yxgyyxfx 此迭代将产生两个数列 可用前面的图形法 nn yx 研究此迭代 若 则称为二元迭代vvuguvuf vu 函数的不动点不动点 gf 1 高斯算术几何平均数列 高斯算术几何平均数列 由两个二元函数构xyyxgyxyxf 2 造迭代 产生的数列 2 11nnnnnn yxyyxx 就是著名的高斯算术几何平均数列高斯算术几何平均数列 nn yx 有无穷多个不动点 0 xxx 结论结论 1 对于任给的初值 高斯算0 0 00 yx 术几何平均数列总收敛 且 极限值依 n n n n yx limlim 赖于两个初值