泛函分析复习提要

泛函分析复习提要泛函分析复习提要 一 填空 1 设是度量空间 和是中两个子集 如果 则称集在集XEMXM 中稠密 如果有一个可数的稠密子集 则称是 空间 EXX 2 设是度量空间 是中子集 若 则称是第一纲XMXM 集 3 设为复 Hilbert 空间上的有界线性算子 若对任何 有TXxX 则 为 算子 T xTx T Hilbert 空间上的有界线性算子是正常算子的充要条件是 HT 4 若复 Hilbert 空间上有界线性算子满足对一切 是实数 XTxX Tx x 则为 算子 T Hilbert 空间上的有界线性算子是自伴算子的充要条件是 HT 5 设是赋范线性空间 是的共轭空间 泛函列 如X X X 1 2 n fX n 果存在 使得对任意的 都有 则称弱 收敛f X xX n f 于 f 6 设是赋范线性空间 若存在使得 X Y n TB X Y 1 2 n TB X Y 对任意的 有 则称强收敛于 xX n TT 7 完备的赋范线性空间称为 空间 完备的内积空间称为 空 间 8 赋范线性空间到赋范线性空间上的有界线性算子的范数 XYTT 9 设是内积空间 则称 是由内积导出的范数 X 10 设是赋范空间 的范数是由内积引出的充要条件是 XX 11 设是 Hilbert 空间的闭子空间 则与满足 YYY 12 设是赋范空间 的线性算子 当满足 时 X T D TXX T 则是闭算子 T 二 叙述下列定义及定理 1 里斯 Riesz 定理 2 实空间上的汉恩 巴拿赫泛函延拓定理 3 一致有界性定理 共鸣定理 4 逆算子定理 5 闭图像定理 6 Banach 压缩映象原理 7 内积空间 8 赋范线性空间 三 判断题 1 距离空间中的收敛点列必是柯西点列 2 距离空间中两个不相交的闭集的距离一定大于零 3 柯西点列是有界点列 4 赋范线性空间上的范数一定可以由内积导出 5 设是赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子 若的零空间是闭集 TXYT 则一定有界 T 6 赋范线性空间的共轭空间是 Banach 空间 7 Hilbert 空间中任一非空子集的正交补必是闭线性子空间 8 在赋范线性空间中 弱收敛的点列必定强收敛 9 任一非零 Hilbert 空间都有完全规范正交系 10 疏朗集没有内点 11 赋范线性空间上的连续线性泛函一定有界 12 Hilbert 空间上的自伴算子必为正常算子 13 度量空间中的单点集是疏朗集 四 证明题 1 Hilbert 空间中的正交投影算子为有界线性算子 X 2 设是内积空间 则当时 H nn xx yyH nn xx yy 即内积关于两变元连续 nn xyx y 3 证明完备 并叙述证明空间完备的一般步骤 C a b 4 证明为上范数 并论述证明范数的一般步骤 max ta b xx t C a b 5 若是度量空间 则也使成为度量空间 X 1 d X 6 设是赋范线性空间 证明当是 Banach 空间 也是 Banach 空间 XY B X Y 7 设是 Banach 空间 是上的两列有界线性算子 设和X n A n BX n A 分别强收敛于和 求证强收敛于 n BAB nn A BAB 8 若是 Hilbert 空间 是的线性子空间 则 HMH 1 MM 2 MM 9 设是赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子 则为有界算子的TXYT 充要条件为是上的连续算子 TX 10 求证 是 Hilbert 空间上的投影算子的充要条件是且 PX 2 PP PP 11 设为定义在复 Hilbert 空间上的有界线性算子 若存在常数使TX 0 0 证明此算子必有有界逆算子且 0 Tx xx x